0、 引言

農業物料物理特性是以與農業工程直接相關的各種農產物料\\(包括植物和動物物料以及以它們為原料加工的半成品和成品\\) 為對象的農業物料的基本物理參數及力學、光學、電學等特性。農業物料物理特性的研究對其機械化生產、加工、運輸、儲藏過程以及產品質量評定等方面都具有重要的意義。其中，農業物料的力學特性與農作物的種植、收獲、運輸、加工等過程更是緊密相關，在農作物機械化設備設計與改進的過程中，其力學特性是需要參考的重要依據之一。

分形是一種新的數學理論，分形理論以其處理復雜不規則圖形、圖像的優勢被廣泛應用。隨著分形理論研究的深入和應用領域的擴展，分形理論為農業物料物理特性的研究提供了新思路和新方法，在農業物料的表面形貌特征的表征、孔隙率、流動性、應力應變特性等方面均有研究，在農業物料物理特性研究中有著廣闊的研究和應用前景。

1、分形與分形維數

分形的概念是由 Mandelbrot 于 20 世紀 70 年代提出的，研究對象為自然界的各種不規則現象。一個分形對象就是一個粗糙的或零碎的幾何形狀，它可以被分成若干部分，且每一部分都\\(至少近似地\\) 是整體形狀的一個縮小尺寸的復制品。相對于傳統的歐幾里得幾何，分形幾何更能展現出幾何圖形的復雜性。

例如，在歐幾里得幾何中，直線和曲線的維數均為 1;在分形幾何中，直線的分形維數為 1，而曲線的維數則根據曲線的復雜程度，其分維值則在 1 ～ 2 之間。由此可以看出，分形為認識和分析復雜不規則現象提供了一種行之有效的方法，因此被廣泛應用于自然科學和社會科學的眾多領域。分形被認為是 20 世紀數學科學的重要發現之一。

判斷一個對象是否具有分形形態的重要依據是該對象是否具有無標度性、自相似性或者自仿射性的特征。即在不同的尺度上，將該對象的任何一個局部區域進行放大或者縮小，其形態和復雜程度等不發生變化。物理過程或是自然現象中的分形特征往往是近似自相似或統計自相似的。與精確自相似不同，其分形特征僅存在于一定的尺度范圍內。因此，在分形應用于實際的過程中，往往要特別注意其尺度范圍，通過一定的方式來檢測所用尺度是否在其尺度范圍之內。

描述分形特征的一個重要參數是分形維數，簡稱分維，它是描述不規則物體或分形體的主要指標。分維不同，物體的復雜程度或它的動態演化過程也就不同。與經典幾何中的整數維相比較，分形維數的優勢在于它能描述圖形圖像對空間的填充程度。分形維數又可分為相似維數、容量維數、盒子維數、信息維數、關聯維數和廣義維數等，每一種分形維數都有其適用范圍。目前，常用的分形維數的基本測量方法主要有以下幾種: 改變粗視化程度求維數的方法、根據關聯函數求維數的方法、根據測度關系求維數的方法、根據波譜求維數的方法和分布函數求維數的方法。

2、 在農業物料力學特性研究中的應用

材料的力學特性是由材料內部微觀結構決定的，在一定作用力下的應變、裂紋、斷面等是其力學特性的宏觀表現，采用分形幾何的方法對農業物料在力的作用下產生的應變、裂紋、斷面等進行研究是力學特性研究的一個新領域。

2． 1 在農業物料應力裂紋和應力斷面研究中的應用

應力裂紋是材料在內部應力或外部應力作用下產生的裂隙，其形態復雜，在一定的尺度范圍內，往往具有近似的自相似性，這是利用分形理論來研究應力裂紋和應力斷面的前提。自分形理論興起之初，國內外學者已開始對應力裂紋分形特征進行了探索。早在1986 年，Xie H． 等即對具有分形特征的裂紋尖端的運動進行了跟蹤分析，指出分形維數是顯著影響動態應力強度因子和裂紋速度的因素之一; 隨后，Chiaia B．等人于 1998 年對 4 種不同成分的混凝土裂紋擴展模式進行了顯微觀察和分形分析，指出裂紋的分形維數一定程度上受混凝土材質的影響。這些研究表明，分形維數與應力裂紋之間存在某種關系，而這種相關性與物料的微觀構造密不可分。在此基礎之上，2002年，Carpinteri A． 等人引入分形的理念創建了準脆性材料的粘聚裂紋模型。同應力裂紋類似，應力斷面表面往往具有粗糙復雜的表面。1990 年，盧春生等人對材料損傷斷裂中的分形行為進行了綜述和分析，指出斷裂表面的粗糙程度從某種意義上反映了材料的力學性能和斷裂機理。而這種復雜的斷裂表面可以通過分形幾何的方法進行表征，從而為進一步深入了解材料的力學性能和斷裂機理提供了可行性的方法。

隨著分形理論研究的深入和分形應用領域的擴展，對農業物料應力裂紋、應力斷面的探究也逐漸引入分形分析的方法。

在國外，對農業物料應力裂紋的分形研究主要對象集中于土壤。例如，1997 年 Preston S． 等采用了質量分形維數和譜維數對 4 種不同粘土含量\\(6． 1%～ 24． 3% \\) 的土壤開裂裂紋進行了分形分析。結果表明，不同粘土含量的土壤其裂紋的分形維數亦不同，呈顯著的線性關系。此外，土壤的結構穩定性指數也與土壤裂紋的分形維數存在顯著的關系，當增大土壤的結構穩定性指數時，裂紋的分形維數亦增大。2009年，Baer J． U． 等人采用圖像處理和分形幾何的方法，對土壤的干縮裂紋進行了研究，得到土壤表面裂紋的分形維數和裂縫邊緣的分形維數，通過兩個樣點的分析和比較指出圖像處理技術和分形方法的結合具有用于描述土壤裂紋的可能性。

在國內，對農作物應力裂紋分形研究的對象則主要集中于農作物種子上，稻谷、玉米等農作物種子在收獲、儲存、加工等過程中因機械作用力或內部水分等的變化都會產生應力裂紋。1997 年，朱文學等人對玉米應力裂紋進行了研究，指出玉米應力裂紋是沿著一條不規則的曲折路徑擴展的，斷裂表面粗糙不平，裂紋線也是曲折的，在一定的尺度范圍內具有分形特征，可以用分形理論來分析。其根據顯微圖像分析將分形裂紋的擴展分為 4 種機制，即沿晶擴展、穿晶擴展、沿晶和穿晶偶合擴展及分叉擴展，建立了應力裂紋的分形模型，并對玉米應力裂紋進行了分形模擬，以直觀看出裂紋的生成和擴展過程。2003 年，李棟等人利用分形理論對稻谷產生的應力裂紋進行了分析研究，利用掃描電子顯微鏡的觀察結果指出稻谷產生的應力裂紋具有分形特征，建立了稻谷應力裂紋的沿晶脆斷、穿晶脆斷、沿晶和穿晶偶合脆斷 3種彎折擴展分形模型和分叉擴展分形模型。2011 年，楊國鋒等人將稻谷裂紋的生成看作籽粒內微缺陷擴展而成，建立了裂紋擴展分形模型，給出了分形模型背景下裂紋擴展的判據，推導出吸濕情況下斷裂面的表面能，分析了分形模型的動力學特性。結果表明: 吸濕性裂紋擴展路徑通過淀粉顆粒，且宏觀擴展方向受分形效應影響，分形效應降低了微裂紋擴展不規則程度。在吸濕膨脹情況下，淀粉對稻谷抗裂能力影響的本質是淀粉平均相對分子質量存在差異，由于淀粉顆粒的平均相對分子質量與直鏈淀粉含量的非線性關系的存在，使得裂紋率與直鏈淀粉的線性相關性并不顯著。

以上研究對利用分形理論研究農業物料應力裂紋、裂紋斷面進行了初步探索，研究結果顯示了分形理論應用于農業物料應力裂紋、應力斷面研究的可行性，同時表明分形理論具有將應力裂紋、應力斷面這種宏觀的物理現象與農業物料微觀的內部結構聯系起的特殊優勢，為后續的研究提供了一種思路。

2． 2 分形與應力應變特性曲線

應力應變特性是描述荷載作用下物料的變形特性的基礎，應力應變曲線、應力變性曲線描述了研究對象在應力作用下的應力、應變或變形之間的對應關系，反映了材料的力學特性，從中可以得到應力作用下材料的一些應變性能的若干特征參數。

1993 年，Micha P． 等人對兩種易碎微粒的力 －變形曲線進行了分形分析，結果指出單獨試樣的力 －變性曲線是不可復制的，但是其分形維數具有一定的恒定性。2001 年，Balankin A． S． 等對薄纖維網絡的應力應變特征進行了研究，以廁紙為試樣，進一步表明薄纖維網絡材料的應力應變曲線具有自仿射的標注不變性。這些研究都表明，應力應變曲線具有復雜不規則性，這是分形理論應用于應力應變曲線研究的基礎，應力應變曲線的分形維數可能反映以前未曾捕捉到的材料質構相關的某些信息 ，因此應力應變曲線的分形研究具有一定的價值。

農業物料的應力應變曲線的分形研究也已有一定的歷史，早在 1992 年，Barrett 等人即對農業物料的應力應變曲線的分形特征進行了研究。他們選擇玉米粉和玉米—稻谷混合粉為試驗材料，在一定的擠壓膨化條件下分別制成了兩種不同孔隙率的擠壓膨化物，對這兩類擠壓膨化物在不同含水量條件下測取的應力應變曲線并進行了定量分析和研究。結果表明，這兩類物質具有分形的特征，利用分形維數可表征其不規則程度，擠壓膨化物越干燥，應力應變曲線越復雜，分形維數值越高，將擠壓膨化物含水率與應力應變曲線以及分形維數三者聯系了起來。1995 年，邱白晶和趙杰文提出分形幾何在農業物料應力應變關系研究中的應用的可行性，指出分行維數可以作為應力應變曲線的不規則程度定量描述的有效手段。

2001 年，Meng Yang 等人對擠壓膨化大米的應力應變曲線進行了研究，并指出: 擠壓膨化大米的應力應變曲線是分形曲線，該曲線的分形維數與面積擠壓膨化度相比能反映更多的結構信息，有望成為評價擠壓膨化產品的客觀指標。以上研究表明，與農業物料的應力裂紋、裂紋斷面類似，其應力應變曲線或應力變形曲線的分形維數與農業物料本身的質構特性有較大的關聯性，其實用意義有待進一步的探索。

3、 發展趨勢

農業物料往往具有復雜的表面形貌和內部結構，在力學特性也表現出一定的復雜性。分形作為處理復雜圖形圖像的一種數學方法，在農業物料的力學特性研究方面具有廣闊的研究和應用空間。到目前為止，分形理論在農業物料力學特性的研究甚至是在農業工程中的研究方面仍然處于起步、探索的階段。綜合國內外農業物料力學特性分形分析的研究方法和研究成果，分形在農業物料力學特性研究中的探索可從以下幾個方面繼續深入:

1\\) 分形理論的適用性方面有待進一步的探索。無論是應力裂紋、裂紋斷面還是應力應變或應力變形曲線，其自相似性一般是統計自相似或局部自相似，也就是說分形維數的計算必須控制在一定的尺度范圍內，在計算過程中怎樣設計和選擇合適的步長是一個值得探討的問題。

2\\) 在農業物料力學特性分形研究對象上有待擴展。由于分形在農業物料力學特性研究中的應用還處于探索階段，研究對象相對較少，研究對象范圍的拓寬有助于不同類型農業物料力學特性相關分形維數的差異性。

3\\) 加強農業物料質構特征、力學特性、分形維數之間關聯性的研究，以深入的探索分形維數差異性的根源，并將其應用于農業物料的防損、破殼及粉碎等。

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