0 引 言
離散數學是研究離散量的結構及其相互關系的數學理論，是現代數學的一個重要分支，也是計算機相關專業學生必修的專業基礎平臺課程。離散數學對于計算機相關專業來說非常重要，它為后續課程，如數據庫、數據結構、計算機網絡、操作系統等提供必要的數學基礎；同時通過該課程的學習可以提高學生的邏輯推理能力和抽象思維能力，并有助于提高學生的編程能力。這門課程為本科生后續課程和研究生課程學習打下堅實理論基礎，在專業課程體系中占有重要地位。
1 離散數學課程特點與教學現狀
離散數學是一門概念多、定理多、理論性強、內容豐富和高度抽象的課程。其核心內容分為 4 部分：第 1 部分是數理邏輯，其中包括命題邏輯和謂詞邏輯；第 2 部分是集合論，主要包括集合、關系和函數；第 3 部分是代數結構也稱近世代數；第 4 部分是圖論，主要包括圖的基本概念、基本定理和基本方法。離散數學一般開設在大二上學期，此時計算機相關專業學生已經修完高等數學、線性代數、概率論、大學物理等理論課程。就難易程度而言，離散數學與這幾門先修課程相比更容易理解和掌握，因為大部分離散數學中的概念簡單易懂、定理證明清晰明了，很多內容學生在初、高中都接觸過，只是沒有進行系統抽象的學習。但實際上很多學生仍感覺這門課程學習起來比較困難，主要原因是概念繁多，容易遺忘，同一學期還開設許多其他課程，如果學生課下不抽出時間鞏固，就很難保證對概念和定義的理解和掌握。同時，多方面的因素導致學生不重視離散數學的學習，產生學習興趣不高、教學效果不理想的狀況。
2 教學方法改革措施
教學方法是實現教學目的和教學任務的重要手段，是教學活動中最重要的組成部分[1].同樣的知識點，可以用多種方法教授給學生。
2.1 強調重點和難點的講解
許多教師講到集合知識時講解速度都很快，認為集合基本知識已經在高中學過，但是學過并不代表已經學會并掌握。比如在集合一節有一個例題[2]84,A={{a},a} 和 {a} 這兩者之間的關系，{a} ∈ A 和 {a} A 都成立。學生往往不明白為什么二者都成立，因為元素與集合之間是屬于和不屬于關系，而集合與集合之間是包含和不包含關系。對于這類題要告訴學生分 2 步走：第 1步，先看關系符，如果關系符是∈，則判斷前后是否為屬于關系，如果關系符是 ,則判斷前后是否為包含關系；第 2 步，如果關系符是∈，則看前者是否為后者集合里的元素，如果是，則屬于關系成立，否則屬于關系不成立，如果關系符是 ,則看后者集合的子集里有沒有和前者相等的集合，如果相等則包含關系成立，否則包含關系不成立。另外，書上講解屬于關系為不同層次上的 2 個集合，并畫出了圖形示意，學生看后很好理解；而包含關系為同一層次上的 2 個集合，學生就不好理解， 應該同樣用圖形表示。對于前一個例題，可畫出同一層的圖示，如圖 1 所示。根據子集的定義[2]84,由定義和圖示可知，a ∈ {a} → a ∈ A ,因此得到 {a} A.這樣，同一個問題可以從不同角度分析和理解。
對于難點和不易理解的部分，要用直觀和學生易懂的語言來講解。以離散數學數理邏輯部分中的一階謂詞邏輯公式類型判斷（即給定一個公式，判斷公式的類型）為例，根據前面的知識可知，命題公式和謂詞公式都分為3類：重言式、矛盾式和非重言式的可滿足式。命題公式是重言式的置換和矛盾式的置換，則謂詞公式仍然是重言式和矛盾式，因此判斷一個謂詞公式是重言式和矛盾式比較容易，根據命題公式即可直接判斷。但是對于學生來說，判斷非重言式的可滿足式比較困難，即給定一個抽象的謂詞邏輯公式，要找到一個成真解釋和成假解釋比較難，原因在于學生不知道如何找到這樣的解釋。這就需要教師給學生分析并用簡易的語言來說明，找到問題的本質。在一階邏輯命題符號化中先有一段話，并且這段話無論真假 , 其真值已經確定，可以用謂詞符號化，而邏輯公式的類型判斷正好是這個過程的逆過程。首先，找一句話，這句話為真，并且能夠符號化為這個公式形式，則此公式不是矛盾式；其次，再找一句話，這句話為假，并且能夠符號化這個公式形式，則此公式不是重言式，結合這兩種情況就可以推出此公式為非重言式的可滿足式。這樣就把不易理解的內容講得清楚易懂，并且教給了學生解題的思路方法。
2.2 強調前后章節的聯系
一般離散數學教材將數理邏輯放在集合論之前。這兩部分看似關聯不大，實際上內容聯系比較緊密，如果將二者之間的聯系講解清楚，學生就更容易理解和掌握。講到真值表時，可知有n（n ≥ 1） 個命題變項的公式共有 2n 個不同的賦值。在計算機導論中已經學過，每一個命題變項的取值非 0 即 1,共有 2 種情況，因此 n 個命題變項根據高中排列組合知識可以得到共有 2n 種情況。
在后面集合論中，集合 A 有 n 個元素，集合 A 的冪集有 2n 個元素，因為冪集是 A 的所有子集構成的集合，而在 A 的子集里面，A 中的每個元素可以出現或不出現，即每個元素都有 2 種可能，因此，共有 2n 個。也可以按真值表的形式求解，n 個元素賦值從 00…0 開始，然后按二進制加法依次寫出每個賦值，直到 11…1 為止。n 個 0 對應于 A 的子集 ,也即 A 中的 n 個元素一個也不出現；n 項中哪一位有 1,則 A 中對應位的元素在 A 的子集中出現；當 n 位全為 1 的時候，就是對應 A 的子集為 A 本身。另一方面，命題公式中的命題變項個數可以構成一個集合，該集合的冪集元素個數也正好為 2n.在講到函數時，函數的類型分為 3 種：單射函數、滿射函數和雙射函數。由此部分知識可以推出，n 個命題變項的賦值與 n 個元素集合的冪集之間存在一個雙射函數。這樣就可以把前后知識聯系起來，達到融會貫通的目的。
2.3 強調習題和作業
離散數學本質上是一門數學課，數學知識需要通過練習各樣習題來鞏固和檢驗。學生在解題的過程中，應用所學知識或是將之前講的知識聯系起來解題，這樣不僅復習了知識，也綜合應用了前面所學。
教師要認真批改作業，布置的作業不能太多，要有針對性和代表性。比如在集合論講到二元關系的時候，在等價關系一節，等價關系的性質是自反的、對稱的和傳遞的，證明一個關系是等價關系，要證自反性 xRx,對稱性若 xRy 則yRx,傳遞性若 xRy 且 yRz,則 xRz,這就用到了命題邏輯的知識。同時要指出，這里的 x、y 和z 都是抽象的元素符號，既可指簡單的數字，也可指給定的單一字母，還可以是集合、有序對等形式。再比如在圖論中，樹的定義是[2]308連通無回路的無向圖。根據命題邏輯知識可知，這是一個命題，并且是一個復合命題，由 3 個簡單命題復合而成，即 p（表示連通圖）、q（表示無回路的圖）和 r（表示無向圖），則樹定義可以符號化為 p ∧ q ∧ r.由合取的定義可知，當且僅當 p、q 和 r 的真值為 1,上面的復合公式真值才為 1.通過講解這樣的習題和作業，讓學生深刻體會離散數學的抽象含義。
2.4 增加期中考試
由于課時的限制，一般高校離散數學課程都沒有期中考試和實踐內容，最終成績由平時成績（占 30%）和期末成績（占 70%）構成，學生最終關心的是期末考試，以為只要到最后好好看書就可以通過，一般快到期末考試時才開始重視。對于理工科課程來說，這個時候復習比較晚，教師應盡早告訴學生功夫要下在平時，尤其第一節課須告知學生離散數學的學習方法和課時安排。
增加期中考試有兩方面作用：一是檢驗學生對所講知識的掌握程度，以便及時進行查漏補缺；二是對學生起到導向作用，通過一次實戰考試，讓學生了解知識的重點和難點所在，確立以后學習的目標。期中考試結束后，教師要認真評閱試卷，之后將試卷分發給學生，讓他們清楚自己知識的掌握情況，并抽出一定學時對試卷中出現的問題進行講評，給學生一個及時總結的機會。
3 結 語
離散數學這門理論性和實踐性強的課程要達到好的教學效果，主要依靠以下因素：①老師的理論知識，“老師要給學生一碗水，老師自己就必須擁有一桶水”;②老師的教學方法，不論老師的理論功底多么深，如果教學方法不當，教學效果也不會很理想；③學生的學習熱情和積極性，如果學生根本沒有學習積極性，就不可能把這門課學好。經過近 2 年的教學實踐，本文的教學方法提高了學生學習離散數學的積極性，增強了其自學能力，很多學生反映對其后續專業課程學習幫助很大。本課程的進一步建設還需要引入實踐課，同時不斷補充和完善教學內容，編寫分別適合計算機科學與技術、軟件工程和網絡工程專業的教學內容。
參考文獻：
[1] 劉鐸。 離散數學結構課程研究性教學改革初探[J]. 計算機教育， 2012（24）： 41-44.
[2] 屈婉玲， 耿素云， 張立昂。 離散數學[M]. 北京： 高等教育出版社， 2007: 84, 308.
