０引言
ＤＩＣＫＥＹ與ＦＵＬＬＥＲ提出了帶有獨立同分布且方差有限的誤差項情形下的單位根檢驗，即著名的Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ檢驗．近３０年來，該檢驗被廣泛地應用于計量經濟學的非平穩性檢驗．然而，現實的計量經濟模型中經常會遇到誤差項不具有獨立同分布這一特殊的屬性．因此該檢驗被大量地推廣以適應各種不同的情形，如相依的誤差、異方差或重尾等．ＡＲＣＨ模型和ＧＡＲＣＨ模型被廣泛地應用于刻畫金融市場的波動性，其反映了金融市場中的相依性和重尾屬性．本文將討論由ＧＡＲＣＨ誤差驅動的單位根過程的檢驗問題。
考慮如下帶有廣義自回歸條件異方差（ＧＡＲＣＨ誤差項）和常數趨勢項的單位根過程：
這里的μｎ，\ue788ｎ為２個未知參數，μｎ為隨著ｎ變動的參數，\ue788ｎ＝１，ｙ０ ＝０，ｐ和ｑ為已知的非負整數，ω＞０，對ｉ＝１，２，…，ｐ，αｉ≥０，對ｊ＝１，２，…，ｑ，βｊ≥０，且更新項｛ｚｔ｝是數學期望為０，方差為１的獨立同分布隨機變量序列．當μｎ＝０，且\ue788ｎ＝１時，式（１）即是熟知的單位根模型．對于帶有ＧＡＲＣＨ誤差項的單位根模型，已經有許多學者對其進行了深入的研究，如文獻［５］討論了ＧＡＲＣＨ（１，１）誤差下的單位根過程的最小二乘估計和極大似然估計；文獻［６］討論了同一模型的一步局部擬似然估計．這２篇文章中的估計量的漸近分布都是在Ｅｕ２ｔ＜ ∞與Ｅｚ４ｔ＜ ∞的條件下得到的．文獻［７］在誤差項與更新項都只有有 限 二 階 矩 的 條 件 下 得 到 了 這 一 模 型 的Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ檢驗統計量的漸近分布．文獻［８］討論了帶有ＡＲＦＩＭＡ－ＧＡＲＣＨ誤差的單位根過程的檢驗問 題；文 獻 ［９］利 用ＬＡＤ估 計 討 論 了 帶 有ＧＡＲＣＨ（ｐ，ｑ）誤差項的單位根過程，并在誤差項與更新項都只有有限二階矩存在的條件下推導出了估計量的漸近分布．當μｎ＝０，且\ue788ｎ ＜１為固定常數時，式（１）即為平穩過程．這時的最小二乘估計量＾\ue788ｎ的極限分布與單位根情形是完全不同的．當μｎ ≠０且\ue788ｎ＝１時，模型（１）為帶有常數趨勢的單位根過程，雖然只是形式上的微小區別，但是其估計量的漸近分布性質與μｎ＝０的情形是非常不同的．關于這個模型的統計推薦細節參見文獻［１０］．本文的目的是在誤差項與更新項都只有有限二階矩存在的條件下，研究帶有ＧＡＲＣＨ（ｐ，ｑ）誤差與常數趨勢的模型（１）的Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ檢驗統計量的漸近分布．這個結果推廣了文獻［７］的結果．
１主要結果
１．１模型與假設
假設ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ為觀察值．則模型（１）中的參數\ue788ｎ的最小二乘估計量為
如文獻［１１］所示，假設Ａ意味著｛ｕｔ｝是嚴格平穩序列且其二階矩Ｅｕ２ｔ＝σ２ｕ＜ ∞．且ｓ２ｎ＝ｎσ２ｕ，然而可能對任意小的δ＞０，有Ｅｕ２＋δｔ＝ ∞．
１．２Ｄｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ檢驗統計量的漸近分布
本文的主要結果如下．定理１令ｙｔ為模型（１）與（２）所產生的數據，且假設Ａ成立．那么
２．１幾個引理
首先需要下面２個引理．引理１假設Ａ成立，那么
理２假設Ａ成立，那么當ｎ→ ∞時，對所有的ε＞０，有
引理１與引理２的證明詳見文獻［１１］．
２．２定理１的證明
注意到｛ｕｔ｝是一個鞅差序列．由引理１、引理２和文獻［１２］的定理４．１，有這里的［ｘ］表示不大于ｘ的最大的整數，“\ue03c”表示在被賦予Ｓｋｏｒｏｈｏｄ拓撲的 空間上的弱收斂，且Ｗ（ｔ）為標準的布朗運動．再由引理１，有
［１］ＤＩＣＫＥＹＤＡ，ＦＵＬＬＥＲＷＡ．Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｓ－ｔｉｍａｔｏｒｓｆｏｒａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓｗｉｔｈａｕｎｉｔｒｏｏｔ［Ｊ］．ＪＡｍｅｒＳｔａｔｉｓｔＡｓｓｏｃ，１９７９，７４：４２７－４３１．
［２］ＤＩＣＫＥＹＤＡ，ＦＵＬＬＥＲＷＡ．Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｒａｔｉｏｓｔａｔｉｓ－ｔｉｃｓｆｏｒａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓｗｉｔｈａｕｎｉｔｒｏｏｔ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃａ，１９８１，４９：１０５７－１０７２．
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［４］ＳＴＯＣＫＪＨ．Ｕｎｉｔｒｏｏｔ，ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｂｒｅａｋｓａｎｄｔｒｅｎｄｓ［Ｍ］／／ＨａｎｄｂｏｏｋｏｆＥｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｅｌｓｅｖｉ－ｅｒ，１９９４：２７３９－２８４１．
［５］ＬＩＮＧＳ，ＬＩＷＫ，ＭＣＡＬＥＥＲＭ．Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｎｄｔｅｓ－ｔｉｎｇｆｏｒｕｎｉｔｒｏｏｔｐｒｏｃｅｓｓｅｓｗｉｔｈＧＡＲＣＨ（１，１）ｅｒ－ｒｏｒｓ：ｔｈｅｏｒｙａｎｄＭｏｎｔｅＣａｒｌｏｅｖｉｄｅｎｃｅ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏｍｅｔ－ｒｉｃＲｅｖｉｅｗｓ，２００３，２２：１７９－２０２．
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［９］ＬＩＧ，ＬＩＷＫ．ＬｅａｓｔａｂｓｏｌｕｔｅｄｅｖｉａｔｉｏｎｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｆｏｒｕｎｉｔｒｏｏｔｐｒｏｃｅｓｓｅｓｗｉｔｈＧＡＲＣＨＥｒｒｏｒｓ［Ｊ］．Ｅｃｏｎｏ－ｍｅｔｒｉｃＴｈｅｏｒｙ，２００９，２５：１２０８－１２２７．
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