【第二篇】論文題目: 矩陣初等變換方法在高等代數中的應用
摘要:矩陣的初等變換是高等代數的一種非常重要的運算, 它是該課程的重要組成部分, 也是研究該部分的重要手段之一.它的應用主要體現在以下幾點:求矩陣的秩, 求向量組的極大無關組、秩, 求解線性方程組, 求多項式的最大公因式等方面.本文就它的具體應用展開闡述.
關鍵詞:高等代數; 矩陣; 初等變換;
一、矩陣初等變換的理論概述
線性代數當中, 矩陣初等變換主要有三種形式, 分別為:
第一, 交換矩陣兩行, 也就是將i, j對換, 兩行記為ri, rj;第二, 通過某一非0的數 \\(通常設為k\\) 乘以矩陣中某一行所有的元素, 第i行乘以k表示為ri×k;第三, 如果將矩陣某一行中的所有元素都乘以某個數k, 然后加到另一行的對應元素中, 那么第j行乘以k加到第i行記為ri+krj.
與之類似的, 將上述的"行"全部改成"列", 就可以得到矩陣初等變換的定義, 也就是將對應的記號"r"換為"c"來表示.矩陣的初等行變換以及初等列變換均被稱為矩陣的初等變換.
根據以上內容可以發現, 三種初等變換的方式均不會對某個方陣A中的行列式非0性質產生任何改變, 因此當矩陣為方陣時, 就可以通過初等變換的方式觀察矩陣是否可逆, 以此判斷原矩陣是否具有可逆性.根據這一點可以知道, 矩陣的三種初等變換均為可逆變換, 并且逆變換也是同種類的初等變換之一.
二、矩陣初等變換在多項式中的應用
通過矩陣變換的方式求多項式f \\(x\\) 、g \\(x\\) 的最大公因式, 主要方法為:
三、矩陣初等變換在行列式中的應用
所有的n階方陣A均可以被當成是行列式|A|中的矩陣, 若對方陣A施行一次初等變換, 得到n階方陣B, 那么根據行列式性質就可以知道|A|和|B|最多有一個常數因子的相差量, 此常數為可確定常數.根據這一原理可以得到行列式|A|, 具體為: \\(1\\) 通過對A進行初等變換使矩陣A成為三角形矩陣B, 算出|B|, 進而能夠得到|A|; \\(2\\) 先通過矩陣初等變換使矩陣A變為某行 \\(列\\) 僅存在一個元素非0, 然后根據該行 \\(列\\) 將|A|展開, 并降低高階行列式|A|為低階行列式, 進而求解|A|.
四、矩陣初等變換在矩陣中的應用
設A為m×n的矩陣, 經過一系列初等行變換后, A能夠變為行階梯形矩陣, 如下:再進行一系列的初等列變換后可以得到矩陣A的標準形為.
\\(一\\) 求矩陣的秩
對m×n矩陣A進行初等行變換, 就可以將A轉化成階梯形矩陣, 那么此階梯形矩陣中的非0行個數就是矩陣A的秩.
\\(二\\) 求矩陣的標準形
對于任意的m×n矩陣A都能夠通過初等變換的方式得到標準形, 即, 其中r為矩陣的秩.
\\(三\\) 求可逆矩陣的逆矩陣
\\(四\\) 求解矩陣方程
五、矩陣初等變換在線性方程組中的應用
通過矩陣初等行的變換, 將線性方程組AX=b的增廣矩陣=轉化為行階梯形的矩陣, 具體如下:
六、矩陣初等變換在二次型中的應用
n元二次型可以通過矩陣將其表示為
可以通過矩陣初等變換將二次型XAX作為標準形, 主要方法為:
第一, 構造矩陣, 然后對A采取相同的初等行和列的變換, 僅僅對E進行其中的初等列變換, 將A變換為對角矩陣B的時候, E就會成為C, 那么就能得到CAC=B.
第二, 構造矩陣, 然后對A進行同類型初等行及列的轉變, 但僅僅對E進行其中的初等行變換, 然后使A轉變為對角矩陣B的同時, E就會成為C, 那么就有CAC=B.
七、矩陣初等變換在向量空間P中的應用
\\(一\\) 判斷某向量是否能夠由一個向量組線性表示
\\(二\\) 判斷一個向量組能否通過另一向量組線性表示
通過矩陣初等行變換, 得到下列矩陣:
\\(三\\) 判斷一個向量組是否具有線性關聯
設a1, a2, ?, am∈p, 根據以上向量, 以列構造矩陣, 得到a1, a2, ?, am, 通過矩陣初等行變換將矩陣變為:
第一, 如果r=m, 那么a1, a2, ?, am線性無關;第二, 如果r 綜上所述, 利用矩陣的初等變換解決高等代數的各種問題時, 它可以將一些復雜問題簡單化, 抽象問題具體化等, 給我們的計算帶來方便.所以我們在以后的解題中只要涉及到此方面的內容, 一定要優先考慮爭取做到事半功倍. 參考文獻 [1]杜偉剛, 宋傳寧.從高等代數中引出的問題--關于求M-P逆的幾種方法[J].教育教學論壇, 2015, \\(2\\) :194-195. 點擊查看更多：高等代數論文
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