1 研究背景與問題提出
中學數學中有許多概念是不加定義的，比如“自然數”“集合”“點”“直線”“平面”等等，這些概念通常被稱為“原始概念”.原始概念在數學上有著非常重要的意義，它們“不僅滿足了人們在建立數學理論時必須有個出發點的需要，以此避免導致惡性循環或無窮倒退的窘境之中”,同時還“能使人們的思想從狹溢的概念內涵意義的束縛中解放出來，從而擴大了人們的視野和想象力，有可能發展出新的數學理論來”[1].在中學數學教材中，有些原始概念被直接回避，有些則采用描述性的方式去介紹。平面這一原始概念，教材一般是從客觀存在的現實模型（ 如平靜的海面、桌面、地面等） 中引出，然后引導學生理解平面的無限延展性，同時還注重強調平面的表示方式。
對于平面這個原始概念，人們的理解情況如何呢？ 數學教育工作者 Zormbala 和 Tzanakis 通過對51 位非數學專業畢業、從事各種職業的對象（ 德文教師、心理學家、律師、醫生等等） 的調查發現，他們的理解與歷史上一些數學家的理解之間存在一定的相似性。[2]
歷史相似性理論源于德國生物學家?？藸枺?E.Haeckel,1834 - 1919） ,他指出： 兒童的心理發展過程就是人類種族發展過程的重復。從 19 世紀末起，越來越多人支持“數學發展的歷程與學生學習的過程存在相似性”的觀點，其中包括法國數學家龐加萊（ H. Poincaré，1854 - 1912） ,德國數學家克萊因（ F. Klein,1849 -1925） ,匈牙利數學家拉卡托斯（ I.Lakatos,1922 - 1974） 等。[3]
許多實證表明，學生對某些數學概念的認知與概念的歷史發展之間具有相似性。
為研究我們的高中學生對平面概念的理解情況，確定如下兩個研究問題： （ 1） 高中生是如何理解平面概念的？ （ 2） 高中學生對平面概念的理解是否呈現出歷史相似性？
2 平面概念的歷史發展概述
追溯平面概念的歷史發展，有利于我們更深刻地理解這一數學概念。
根據古希臘評注家普羅克拉斯（ Proclus,公元 5世紀） 的記載，古希臘哲學家巴門尼德（ Parmenides,公元前 5 世紀） 將幾何對象分為三類： 平直的、彎曲的、平直與彎曲混合的。對于平面，巴門尼德的觀點是： 平面是直線在其中可以以任意方向與其相合的表面。[4]
公元前 3 世紀，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中給出平面的定義如下[5]:“定義 I. 7 平面是它上面的線一樣地平放著的面?！鄙鲜龆x語義較為含糊，而且平面的存在性也有待通過構造的方式予以說明。面對歐幾里得留下的問題，后世許多數學家做出了努力。[2]
古希臘數學家海倫（ Heron,約公元 1 世紀） 給出了平面諸多具有相同特征---“平”的定義： 平面是直線與之完全相合的表面。如果一條直線經過表面上的兩個點，那么這條直線的任意部位都和這個表面完全相合。
德國著名數學家萊布尼茨 （ G. W. Leibniz,1646 - 1710） 曾多次嘗試消除歐幾里得平面定義中的邏輯缺陷。在其著作 In Euclidis Prota（ 大約 1696年） 和 Initia rerum mathematicarum metaphysica（ 1714年至 1716 年） 中，萊布尼茨研究了一些基本的幾何概念（ 如直線、平面和圓） 的定義問題，并認為海倫對平面本質的描述是“重復語義的雜?！?在給荷蘭著名物理學家惠更斯（ Christiaan Huygens,1629 -1695） 的信中，萊布尼茨以一種全新的方式定義了平面的概念： 平面是到兩個已知點距離相等的點集。
在歐幾里得之后，平面的構建問題一直困擾著數學家，萊布尼茨的這個定義則使之成為可能。
英國數學家辛松（ R. Simpson,1687 - 1768） 認為，過表面上任意兩點的直線與這個表面完全相合，這個表面就是平面。在 18 世紀至 19 世紀末期，大多數幾何著作都認可這個定義。實際上，辛松的這個定義和海倫的定義是一致的。
19 世紀，許多著名數學家緊隨萊布尼茨的步伐，其中包括德國數學家高斯（ Carl Friedrich Gauss,1777 - 1855） 、匈牙利數學家 W. Bolyai 及其兒子 J.Bolyai.高斯將平面定義為： 過直線上一定點并與這條直線垂直的所有直線的表面； 而在對辛松的定義批判的同時，W. Bolyai 在空間中以運動的方式給平面下了定義： 在空間內，一條直線繞與其垂直的直線旋轉所形成的圖形； J. Bolyai 則繼承了其父親的思想，并創新性地把運動和對稱同時引入平面的概念中。
19 世紀末，幾何學有了飛躍性的發展，德國數學家希爾伯特（ David Hilbert,1862 - 1943） 于 1899年發表了他的名著《幾何基礎》。在這本經典著作中，希爾伯特仍把“點”“直線”“平面”作為基本對象不加定義，并把“點在直線上”“點在平面上”“一點在另兩點之間”“線段的合同（ 相等） ”“角的合同（ 相等） ”作為不加定義的基本對象之間的關系，稱為基本關系，對它們也不加以說明或解釋。三個基本對象和五個基本關系統稱為基本概念，這些基本概念受五組、共 20 條公理的制約。除了這八個基本概念以外的任何幾何對象、名詞、術語、關系等等，都必須加以嚴格定義。[5]
綜上所述，在希爾伯特之前，人們主要從直觀經驗（ 先是局限于二維平面內而后是在三維空間中）來探究平面概念的本質，并試圖在三維空間中構造出平面來； 希爾伯特之后，人們普遍接受了平面概念的邏輯本質，自此“平面”不再是需要定義的孤立的數學對象，它的全部意義存在于一組具有邏輯一致性的公理體系中。
3 研究方法
采用實證研究方法，通過問卷調查，對學生的解答進行定量與定性分析。
3. 1 樣本
被試來自滬、滇兩地三所中學，從高二年級隨機選取六個班級，共278 人，其中男生153 名，女生125名，收回有效問卷共 270 份，其中上海 173 份，云南97 份。
3. 2 工具
測試卷由 Zormbala & Tzanakis 所用問題改編而成，共含 2 道題，分別為：
（ 1） 你認為什么是平面？
（ 2） 請你作出一個平面。測試時間為 15 分鐘。
測試的主要目的是為了了解學生對平面概念的理解情況，并由此分析學生對平面概念的理解是否與概念的發展過程具有歷史相似性。
4 結果與分析
從整體情況來看，測試結果反映了學生對平面概念的理解情況，以下是對測試結果的逐題分析。
4. 1 學生對測試題 1 的回答情況
測試結果： 回答分為 3 類，分別是第 1 類： 通過描述平面的與“水平”無關的性質； 第 2 類： 通過描述平面“水平”的性質或者通過舉例描述的方式； 第3 類： 通過描述點、線與平面的位置關系。具體情況 如表 1 所示?！?】
對結果的分析： 可以看出所有學生對平面概念的理解都處于直觀水平，沒有學生認為“平面”是不需要定義的概念。大部分學生從實際生活中的例子或者從“平面”的字面涵義來說明什么是平面，盡管他們知道平面上的點、直線與平面之間的關系，但并未從這個角度來回答； 僅有不到四分之一的學生通過點、線與平面的位置關系來說明什么是平面（ 其中的一種解答如圖1） ,他們的理解與歷史上數學家歐幾里得、海倫以及辛松的理解類似，這其中還有 4 名學生動態地理解直線與平面的關系（ 其中的一種解答如圖 2） ,這與歷史上數學家 W. Bolyai 的理解類似。
4. 2 學生對測試題 2 的回答情況
測試結果： 回答分為 4 類，分別是第 1 類： 作出一個平行四邊形； 第 2 類： 作出其他圖形； 第 3 類： 沒有作出任何圖形； 第 4 類： 指出平面無法做出。具體情況如表 2 所示?！?】
對結果的分析： 可以看出絕大部分學生受教材的影響，把“平面的表示”與“平面”本身相混淆，因而把平行四邊形當作平面； 有 3 名學生表示平面是無法作出的（ 其中的一種解答如圖 3） ,體現了對平面概念理解的深刻性。
5 結論與建議
平面一直被廣大的師生認為是一個極其基本和簡單的幾何概念，往往容易被忽視。通過以上的數據統計分析以及對學生具體答卷的分析，我們可以發現學生對這個基本幾何概念的掌握不容樂觀，并得出以下兩個主要結論：
（ 1） 絕大部分的高中生對平面概念的理解處于直觀水平；（ 2） 部分高中生對于平面概念的理解與歷史上的數學家存在一定的相似性。
上述結論說明我們的現行教材和課堂教學還需要進一步完善。對此，給出具體建議如下：
（ 1） 平面是立體幾何的基本概念，在現階段的高中教學中一般是從實物的形態抽象出平面的概念，在此過程中教師要盡量注意引導和帶動學生發現幾何中的平面與具體實物之間的區別，特別是平面的表示與平面本身之間的區別。這實際上就是要滲透數學的特點： 研究對象雖然是從現實世界抽象出來的，但抽象出來之后便存在人類的理想世界中。
（ 2） 在平面概念的教學過程中，可以從點、線、面之間的位置關系，幫助學生從不同角度深入理解這個概念。
（ 3） 由于部分高中生在平面的概念理解方面與歷史上的數學家存在一定的相似性，因此，在教學過程中，教師可以通過學習一些數學的歷史與文化，提前預期學生對于數學概念理解的困難，并針對這些困難相應得加強指導。
參考文獻：
[1] 杜樹芳。 談數學原始概念的賦意性[J]. 大連教育學院學報。 1995,（ 1 -2） :87 -89.
[2] Zormbala,K. ,Tzanakis,C. The concept of the plane ingeometry: elements of the historical evolution inherent inmodern views[J]. Mediterranean Journal for Research inMathematics Education,2004,3（ 1 - 2） : 37 - 61.
[3] 趙瑤瑤，張小明。 關于歷史相似性理論的討論[J]. 數學教育學報。 2008,17（ 4） :53.
[4] Proclus. A Commentary on the First Book of Euclid's Ele-ments （ 2nd Print edition） [M]. Glenn R. Morrow trans-late. Princeton: Princeton University Press. 1992.
[5] （ 古希臘） 歐幾里得。 幾何原本（ 第 2 版） [M]. 蘭紀正，朱恩寬，譯。 西安： 陜西科學技術出版社。 2003.
