格是一種特殊的偏序集，經過特殊化以后可以得到分配格，再特殊化以后可以得到布爾代數，是序結構的主體部分。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。例如，一組實數間的大小順序，一組命題間的蘊涵順序等。這種順序一般不是全序，即不是任意兩個元素之間都能排列順序，而是在部分元素之間的一種順序即偏序（ 或半序） .偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。具體地說，格是其非空有限子集都有一個上確界（ 叫并） 和一個下確界（ 叫交） 的偏序集合，它的公理增減之后可得到全序集及偏序集[1]
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在 19 世紀的后幾十年，德國數學家戴德金（ R.
Dedekind,1831-1916 ） 和 施 履 德 （ E. Schr\ue56eder,1841-1902） 分別從數論和邏輯代數兩個方向得出格的概念。但是其他數學家并未認識到它的重要性，就連范德瓦爾登（ B. L. Van der Waerden,1903-1996） 1930-1931 年出版的兩卷本《近世代數學》亦沒有格論的內容[2]
.直至 20 世紀 30 年代，在美國數學家伯克霍夫（ G. Birkhoff,1911-1996） 和挪威數學家奧爾（ O. Ore,1899-1968） 的共同努力下，格論才煥發生機，發展成為一門獨立的數學學科，在抽象代數、射影幾何、點集論、拓撲學、泛函分析、邏輯和概率論等諸多領域產生廣泛應用。本文通過對格概念的產生和發展進行研究，分析其歷史演化過程，以期人們對格論的早期歷史有更多的了解。
一 格論思想的起源---對偶群
第一個提出格概念思想的是戴德金。戴德金是高斯（ C. F. Gauss,1777-1855） 的關門弟子，1850年，跟隨高斯研究最小二乘法和高等測量學。他僅用 4 個學期，便在 1852 年完成關于歐拉積分的博士論文。孤傲的高斯不無贊賞地寫道： “戴德金先生的論文是關于積分學的一項研究，不僅對相關領域有充分知識，而且有獨創性，可預見他未來一定會做出成就。作為批準考試的試驗論文，我對它完全滿意?！绷硗?，戴德金還選修數論、物理和天文學等課程。
1854 年，戴德金開始在哥廷根大學擔任講師，講授概率論和幾何學。1855 年，高斯去世，狄利克雷（ P. G. L. Dirichlet,1805-1859） 繼任高斯在哥廷根大學的教授席位。戴德金開始聽狄利克雷的數論、勢論、定積分和偏微分方程課程，經常與狄利克雷進行富有創建性的討論，由此開拓了學術視野。
同時，他還聽分析大師黎曼 （ G. F. B. Riemann,1826-1866） 的阿貝爾函數和橢圓函數論課程。戴德金同時與狄利克雷和黎曼保持良好的關系，并編輯整理了他們二人的全集[3].1917 年，戴德金的紀念會在哥廷根大學召開，蘭道（ E. G. H. Landau,1877-1938） 對其評價道： “戴德金不僅是一位偉大的數學家，而且是有史以來數學史上真正杰出的人物。他是其所處偉大時代的最后一位英雄，高斯的關門弟子。40 多年來，他已成為經典作家，不僅我們，而且我們的老師乃至老師的老師都從他的工作中受到啟發?！?/p>
戴德金幾乎沒有學生，但對數學家們影響深遠。
他是近代抽象數學的先驅，提出了抽象數學的許多基本概念，對研究抽象結構有明確理解，當今的許多概念和定理以其名字命名。戴德金亦是格論的創始人，給出了對偶群概念。他秉承狄利克雷的概念方法，首先在其理想理論的 1894 年版本中有了對偶群的思想，1897 年正式提出對偶群的概念，1900 年把對偶群作為獨立的研究對象，蘊涵了他的格論思想演變過程，也表現了他數學觀念的進步。下面我們具體地進行討論。
（ 一） 對偶群概念的萌芽
格論的思想起源于對偶群，而對偶群的思想則源于戴德金理想理論的 1894 年版本，即狄利克雷數論講義第 4 版的附錄 11（ Supplement XI to Vorlesun-gen über Zahlentheorie von P. G. L. Dirichlet（ 4th ed. ） ） .
他在介紹模代數時，重點描述了一些理想所滿足的恒等式的特點，如模恒等式：（ A + B + C） （ BC + CA + AB） = （ B + C） （ C +A） （ A + B） ……（ τ）這個恒等式表明，若D是M的一個因子，則對任意的模 A,有M + （ A - D） = （ M + A） - D……（ σ）在證明這個恒等式的過程中，體現了對偶群的思想。一方面，從M\ue020（ M + A） 以及（ A - D） \ue020D,容易得出M + （ A - D） < （ M + A） - D.但是另一方面，卻不能從模的抽象運算性質直接得到 M + （ A - D）> （ M + A） - D.因此，他只好通過在每一個模中取一個特殊元素來證明第二個包含。由于戴德金一貫重視概念方法，所以他并不滿足選擇特殊元素的方法，而是努力尋找一般性的概念來證明第二個包含，自然產生了對偶的概念[4].但是此時，他只是清楚在某些情形下，模的交集與并集是對偶的，還沒有找到對偶的基礎。這是戴德金朦朧的對偶群思想，為其對偶群的正式產生埋下伏筆。
（ 二） 對偶群概念的正式產生
科學發現需要熱情和執著的品質，正如牛頓所說： “心里時常裝著思考的問題，等待著那靈光一閃的時刻?！贝鞯陆鸾涍^3 年的積累和深思，在1897 年的文章“其所有子群都是正規子群的群”（ überGruppen,deren s\ue562mtliche Teiler Normalteiler sind） 中第一次明確給出對偶群的定義和基本性質。
如果已知由 3 個或 4 個數組成的集合，那么可以得出它們的最大公約數和最小公倍數，然后繼續把這些數分解，通過各種運算重新組合因子得到新的數，把這些新的數進一步組成集合并分析其性質，從而引入對偶群的概念。
已知一個元集合，取其所有組合的全體構成的集合，且對集合上的元素定義并集（ 記為“+ ”） 和交集（ 記為“- ”） 兩種運算。戴德金用一張表列出運算的性質并記為 定理 A:α + β = β + α （ 1‘）α - β = β - α （ 1″）（ α + β） + γ = α + （ β + γ） （ 2’）（ α - β） - γ = α - （ β - γ） （ 2″）α + （ α - β） = α （ 3‘）α - （ α + β） = α （ 3″）定理 A 表明，交和并兩種運算的性質具有對偶性。顯然，只要交換一組性質中一條性質的運算符號，就能得到另一條性質。由定理 A 可直接推出，交與并兩種運算是冪等的：α + α = α （ 4’）α - α = α （ 4″）他還論述了另外兩組性質：（ α - β） + （ α + γ） = α - （ β + γ） （ 5‘）（ α + β） - （ α + γ） = α + （ β - γ） （ 5″）（ α - β） + （ α - γ） = α - （ β + （ α - γ） ）（ 6’）（ α + β） - （ α + γ） = α + （ β - （ α + γ） ）（ 6″）一般地，只有在自然數系統中，才能直接由定理A 得到這幾組性質。因此，戴德金提出模的基本性質在邏輯上是獨立的。雖然性質（ 5‘） /（ 5″） 不能由定理直接推出，但是（ 5’） 可以由定理 A 和性質（ 5″） 得到。反之，已知定理A以及（ 5‘） ,也能證明（ 5″） 成立。
定理 A 和性質（ 6’） /（ 6″） 的關系亦是如此。
因此，戴德金把對偶群定義為帶有“+”和“-”兩種運算且滿足定理 A 的集合。
從以上分析可以看出，戴德金之所以能夠取得這些結果絕非偶然，而是源于對數系，尤其是對模的長期大量研究的結果。這里的對偶群只具有輔助性作用。施履德在 1890 年曾得到過部分結果[5].
除了上面的對偶群定義形式，戴德金還給出其另一種定義形式。他在對偶群中定義了序，但是在這里只是把序作為一種速記方法，沒有探討對偶群的一般性質。他在包含有模的對偶群 A 中，引入兩個記號 a > a1或 a1< a.如果把它們轉化到其他對偶群中，雖然與通常的記號 > ,< 相沖突，但是不會影響一般理論的探討[6].
總之，戴德金在這篇文章中首先明確給出了一般的對偶群的兩種定義，使得模糊的對偶群思想有了清晰的概念。但是按照數學概念的產生、發展和演化規律，距離格概念的成熟還很遠，此時的對偶群仍然不是獨立的研究對象，還只是研究模運算的一種有用的輔助工具。
（ 三） 對偶群成為獨立研究對象
同樣是時隔 3 年，即 1900 年，戴德金在對偶群的研究方面上了一個新的臺階。他秉承一貫重視概念和縝密嚴謹的學術作風，再次發表文章“三個模生成的對偶群（ über die von drei Moduln erzeugte Du-algruppe） ”討論對偶群的概念。不再把對偶群作為模運算的工具，而是將其作為由模生成且滿足模公理的獨立研究對象。
這篇論文開篇明義，介紹對偶群和相應的序的抽象形式及其相關性質。然后，從由 3 個模生成的28 個元素組成的對偶群為起點進行研究，規定了運算，深入研究模公理的性質，考察模公理與鏈公理之間的關系。對偶群中的一個長鏈是指，已知對偶群的元素序列 a1,a2,…an +1,使得這個序列中的每一個元素都是前一個元素的因子，另外，對每一個 i（ 1≤ i ≤ n） ,不存在元素 b 使得 ai< b < ai +1.若兩個鏈的極端元素相同，則稱為等價鏈。鏈公理表明，對偶群中任兩個等價鏈的長度相同。
已知一個對偶群，其模公理成立當且僅當對偶群和它的全部子群滿足鏈公理。一個集合在對偶群中可能是鏈，而當它作為對偶群的正規子群的元素時就有可能不是鏈。戴德金給出的證明基本上與30 年后奧爾在關于抽象代數的格論基礎中給出的證明相差無幾。文章結尾依舊以 28 個元素的模為例，討論對偶群的一些更加抽象的性質?？傊?，這篇文章主要研究實例，即 28 個元素的對偶群，而對不同公理之間的邏輯關系沒有太多關注[7].
通過研究戴德金關于格論的這 3 篇論文，我們發現格概念在戴德金的文章中經歷了醞釀、產生和發展的過程，從最初的模糊意義到有明確的定義，再到成為獨立的研究對象，在思維層次上不斷提升，與戴德金擅于思考、擅于分析概念有關系，也與結構數學醞釀和產生的時代背景有密切聯系。
另外需要說明的是，雖然從 20 世紀來看戴德金的對偶群思想十分平常，但是在當時極為不符合常理，因此沒有得到應有的認可，也沒有產生大的影響。究其原因，主要有兩個。外在原因： 戴德金沒有嫡傳弟子，退休后又在一個與數學隔離的環境中工作，不太可能找到一個易于接受他的這項工作的人；內在原因： 戴德金后來的文章日益抽象化使得同時代數學家對他缺乏了解。甚至像韋伯（ H. Weber,1842-1913） 和 弗 羅 賓 尼 烏 斯 （ F. G. Frobenius,1849-1917） 這樣在代數方面深受戴德金影響的數學家似乎也忽視了戴德金的格，甚至對此敬而遠之。
雖然與此同時，施履德從邏輯代數出發獨立地闡述和研究了格，但同樣被束之高閣。后來的代數教科書，包括范德瓦爾登的《近世代數學》都沒有任何有關格的內容。經過約 30 年的沉寂，直到 20 世紀 30 年代，格論才因伯克霍夫和奧爾的工作重新得以迅速發展，成為一門獨立的數學學科，其結果應用在其他許多領域當中。因此，科學發現有時也需要等待，等待合適的時機和合適的人來進行挖掘和發展。
二 格論思想的發展者---奧爾
奧爾出生在挪威的克里斯蒂，父親是一位講師。
他對數學的興趣濃厚，1918 年中學畢業，進入克里斯蒂大學學習數學，1922 年畢業。在克里斯蒂大學，奧爾的研究受到斯科倫（ T. A. Skolem,1887-1963） 的影響。他曾在多個大學游學，作為國際教育委員會的資深會員訪問過德國哥廷根大學、巴黎的索邦大學。1924 年，其論文“代數數域理論”提交給克里斯蒂大學。1925 年克里斯蒂重新命名為奧斯陸，這時奧爾已在此做助理教授。在哥廷根大學學習時，受到諾特（ E. Noether,1882-1935） 的影響，發現其方法使代數學煥發生機。奧爾亦是瑞典斯德哥爾摩的米塔格 - 萊弗勒研究所的研究員。1926年，美國耶魯大學的皮爾龐特（ J. Pierpont） 訪問歐洲，試圖為耶魯大學招聘頂級數學家。奧爾獲得耶魯大學數學助理教授的邀請。1927 年，他離開奧斯陸去耶魯大學上任。在耶魯大學，他很快獲得升職，1928 年成為副教授，1929 年成為全職教授。1930年 8 月 25 日結婚，育有兩個孩子。
1931 年，奧爾獲得耶魯大學斯特靈教授職位，直到 1968 年退休為止，共在職 37 年。他擔任一些行政工作，比如，1936 年至 1945 年，曾任系主任。
他經常訪問歐洲，幾乎每個夏天都會返回奧斯陸。
1954 年，他在意大利作為古根海姆研究員從事歷史研究。
第二次世界大戰期間，奧爾為挪威人民服務，在“美國救濟挪威”和“自由挪威”組織中發揮了重要作用。挪威認識到了他的突出貢獻，1947 年，挪威國王授予他圣奧拉夫騎士榮譽。
奧爾早期從事代數數域工作，對由素數生成的理想的素理想分解問題感興趣。在 1928 年多倫多的國際數學家大會上，他以此為題作過報告，之后從事非交換環論的研究，證明了著名的非交換整環到除環的嵌入定理。他研究斜域上的多項式環，進一步嘗試把因子分解推廣到非交換環上。1930 年，3卷本的《戴德金全集》出版，就是奧爾和諾特共同編輯的。之后，奧爾開始和伯克霍夫一起研究格論，使得格論在 20 世紀 30 年代獲得長足發展。
奧爾是美國藝術與科學研究院院士、奧斯陸科學院院士。他也是計量經濟學會的創始人。他熱愛繪畫和雕塑、收集古地圖，能說幾種語言。
奧爾的工作以環論、伽羅瓦聯絡和圖論為主。
培養了兩個著名的博士。一個是霍普（ Grace Hop-per,1902-1996） ,最終成為美國的海軍少將和計算科學家，對第一代計算機的發明有重要貢獻。另一個是馬歇爾·霍爾（ Marshall Hall,Jr. ） ,美國數學家，在群論和組合數學領域貢獻卓越。
奧爾早期對格論的研究使得他開始了等價、伽羅瓦聯絡以及圖論的研究，直到去世一直從事圖論工作。奧爾對數學史很感興趣，寫了卡爾達諾（ G.Cardano,1501-1976） 和阿貝爾（ N. H. Abel,1802-1829） 的傳記。[8]
三 奧爾對格論的貢獻
格論經過戴德金等人的發掘，又經幾十年的沉淀之后，奧爾和伯克霍夫對格論進行了重要的研究工作，取得很大的進展，使得早期的格論逐步定型和完善。
伯克霍夫主要受到范德瓦爾登的《近世代數學》、戴德金的格以及其他人在群的分解工作的影響，關注格的概念本身，先后發表 3 篇格論方面的論文。第一篇幾乎被埋沒，他認為格論與群論具有相似的作用，群論是把對稱現象抽象化，而格論是更廣泛地研究階。第二篇文章提出格論和理想論的關系。第三篇討論給出泛代數學的格論基礎的可能性，得到一個定理，將任一確定的代數系統的所有子系統的格和關于它可以定義的等價關系的格聯系起來，證明了在它們之間可以定義一一映射[9].與伯克霍夫相比，奧爾對于格論能否成為代數基礎更感興趣。1935 年，他在耶魯大學正式提出這個問題。他相信，通過忽略代數系統里的元素以及研究任意確定系統的某些子系統的格性質，很有可能得出對所有代數系統成立的一般定理。
1935 年，奧爾在《數學年刊》上發表“抽象代數基礎”（ On the Foundations of Abstract Algebra） ,介紹格論。他從其數學觀念講起，論述了在過去的幾十年里，有許多代數定理同時出現在不同的代數學領域，希望找到一個一般性的概念，從它出發可以推出同時對所有的領域成立的等價定理。
奧爾在這篇文章中對格的定義、性質、關系、刻畫和分類進行了研究，此時格不再只是獨立的研究對象，已然漸成體系、形成理論。
奧爾給出了格的兩個等價定義。第一個定義以一個確定的系統的元素之間的一種抽象序關系“”“的定義為基礎，系統∑要求滿足通常集合論的包含性質。并和交是用包含術語定義的抽象運算。
對于每對元素 A 與 B,存在一個元素 D = （ A,B） ,稱為 A 與 B 的交，滿足 D≤A,D≤B 且對于其他具有同樣性質的元素 D1,均有 D1≤D; 存在一個元素 M =[A,B],稱為 A 與 B 的并，滿足 M≥A,M≥B且對于每個有同樣性質的其他元素 M1,均有 M1≥M.現在，我們稱帶有兩種運算且滿足以上性質的系統叫作格。奧爾證明了這些抽象運算滿足通常的并和交的性質。
奧爾從這兩個定義出發，期望通過給出一個一般性的定理得到不同代數分支的相應定理，尤其是分解定理，從而找到一種新的抽象代數學方法的概念基礎。
奧爾側重研究群論里的正規子群和環論里的理想這樣兩個子系統，觀察到的確可以用嚴格的格概念來表述這兩個子系統的代數性質。因為它們的交和并正好符合戴德金的模公理，即附加公理，奧爾稱之為戴德金公理，如果 C > A,則（ C,[A,B]） =[A,（ B,C） ] （ 1）因此，奧爾重點研究戴德金格，即滿足戴德金公理的格。由此，就要首先運用格概念重新給出代數學的一些主要的、重復出現的概念的定義，例如陪集和同構。其中升鏈條件和降鏈條件具有舉足輕重的地位，同時滿足二者的格稱之為阿基米德格。如果A > B 且 A 與 B 之間沒有其他元素，則稱 A 素于 B上。在格里的一列元素 A = A0> A1> … > An= B 稱作長度為 n 的主鏈，如果它的每個分支素于下一個分支上。如果格∑滿足戴德金公理（ 若 A、B、C 屬于∑且不等式 A < C < [A,B]成立，則 C = [A,（ B,C） ]） ,那么就把格∑稱為戴德金格。奧爾證明了這個公理與公理（ 1） 是等價的，與戴德金的原始表述相符。格還滿足分配性： [A,（ B,C） ]= [（ A,B） ,（ A,C） ].當 A > B 時，奧爾定義商 A/B 是格里比 A 小比B 大的元素構成的集合。很明顯，A / B 本身就是格。
已知任意兩種結構，如果從一種結構到另外一種結構的映射保持并和交的運算，那么這兩種結構稱為同態。同構定義為一對一的同態。他證明了戴德金曾經給出的一個主定理： 若 A 和 B 是一種戴德金格里的元素，則格（ A,B） /A 和 A/（ A,B） 同構。更具體地說，若已知在（ A,B） 和 A 之間的一個主鏈（ A,B）< A1< … < An= A,則鏈 B < [B,A1]<[B,A2]< …<[B,An]=[B,A]是 B 和[B,A]之間的一個主鏈。
[A,B]> A > （ A,B） 和[A,B]> B > （ A,B） 是最基本的主鏈[10].
上述兩個鏈是從另外一個鏈通過素變換的方式得到的。接著，奧爾闡述證明了一種針對戴德金格的若爾當 - 赫爾德定理的抽象形式，即若在戴德金格∑里存在一個 A 與 B 之間的有限主鏈，則 A 與 B之間的全部主鏈長度相同，且通過連續對換，可從一個主鏈得到另一個主鏈?？梢远x任一格里的等價類，證明非阿基米德格（ 即有無窮個主鏈的格） 的若爾當 - 赫爾德定理。格和商格滿足全部鏈條件。給定兩個商 A/B 和 B/C,把它們的積定義為： A/C = A/B × B / C.現在，取兩個有公分母的商 U = A / B 和 T= C / B,定義商 U‘為：U' = TUT- 1=[U,T]× T- 1=[A,C]/ C （ * ）我們把 U’稱作”A 通過 C 的變換“.顯然，這個概念和奧爾早期的非交換多項式的工作有著直接關系，于是，接下來主要努力將早期非交換多項式中的分解定理推廣到格論當中。同時，他也運用僅靠并、交、包含和變換性質的格闡述了另外一些分解定理。
在公式（ * ） 里，若規定（ A,C） = B,則稱 U‘是通過一個相似變換從 U 里得到的，且可以證明 U 和 U'同構。奧爾運用變換重新闡述了若爾當 - 赫爾德定理。若 A 和 B 為戴德金格，A 和 B 之間存在一個有限主鏈，則商 U = A/B 可以表示為素商的積 U = T1× … × Tr.奧爾運用格給出施賴埃爾（ O. Schreier,1901-1929） 定理一個一般性的合理表述形式。若A 與 B 之間不存在有限鏈，則這個定理就是若爾當- 赫爾德定理的一個推廣。因為具有模律的格就是戴德金格，因此利用模律，可以對群和模的某些結構性定理如若爾當 - 赫爾德定理、克魯爾 - 施密特定理等用格論的語言，作比較簡明也比較一般的證明。
1938 年，在美國維吉尼亞州的一座小城首次召開了格論專題會議，標志格論正式成為一門獨立的數學學科。1938 年也是美國數學會成立 50 周年，貝爾（ E. T. Bell,1883-1960） 應邀作大會報告，討論美國代數學前 50 年的歷史發展。貝爾認為，由于美國數學會的學術活動剛剛起步，所以美國的代數研究的重點是尋求一些概念，能證明一般的定理，其中奧爾的格概念正好就是其中最重要的概念之一。
四 結 語
從數學內容上來講，格論與群論、環論的關系非常密切，相互作用明顯。任意一個群的所有子群的集合、所有不變子群的一個集合、任意一個環的所有子環的集合以及所有理想子環的集合等都是格。特別地，在一個群的所有不變子群所組成的格以及在一個環的所有理想子環所組成的格當中，還滿足模律，具有模律的格就是戴德金格，在一般格論中占有重要位置。因為群論與環論中的大部分定理陳述子群、不變子群和理想子環的分布情況，所以這些定理可以作為子群或者理想子環的格的定理重新敘述。
在某些情形下，類似定理對于一般的格也成立。這種方法，能夠把群論、環論以及其他科目中的某些重要定理轉移到格論中來。另一方面，利用格論的工具，可以反過來更方便地在群論和環論中尋求具體的格的性質。
從數學哲學觀念上來講，格論思想誕生和發展的歷史就是 19、20 世紀主流數學哲學思想的外顯。
其中戴德金的概念哲學思想起到了很重要的作用，使得格概念思想從模糊不清發展到成為獨立的研究對象，從數發展到集合。奧爾進一步將格概念升華為具有結構性的概念，而且使格論發展成為一門獨立的具有結構性的學科。這樣，從數到集合，再從集合到結構，與 19、20 世紀的主流數學哲學觀念相符合。
從格論的應用范圍來講，近年來隨著格論的發展，其應用范圍進一步擴展，深入到數學的各個分支，在代數學中對于一個群 G 與其子群格 L（ G） 之間關系的研究，在數理邏輯中關于”不可解度“的研究，都早已提上日程。另外在射影幾何、點集論、拓撲學、泛函分析及概率論等許多領域亦逐步展開廣泛的應用。
致謝： 衷心感謝中科院數學與系統科學院胡作玄先生所提出的寶貴建議！
【參 考 文 獻】
[1]亞歷山大洛夫，扎爾加列爾，維金斯基，等。 數學---它的內容、方法和意義： 第三卷[M]. 王 元，萬哲先，劉紹學，等譯。 北京： 科學出版社，2001:333 -334.
[2]胡作玄。 近代數學史[M]. 濟南： 山東教育出版社，2006:13 - 14.
[3]王淑紅，鄧明立。 戴德金對理想論的貢獻[J]. 自然辯證法通訊，2013,35（ 4） :58 -63.
[4]Dirichlet P G L. Vorlesungen über Zahlentheorie[M]. 4thed. Braunschweig: Vieweg,1894: 1 - 222.
