摘要：組合數學作為計算機專業的基礎理論課，不僅需要從知識層面培養學生運用計算方法和分析工具的能力，更要培養其計算思維和創造性思維，從而提高他們的科學素養和專業素質，文章結合清華大學計算機系組合數學的教學實踐，闡述以啟發式教學引領思維、以創新實踐激發興趣的教學體系理念，提出通過創新性的教學設計將科學精神的培養融入到抽象的知識教育環節中。
關鍵詞：組合數學；創新；開放式；啟發式
1.背景
偉大的數學家高斯曾經說過“數學是科學的女王?！睌祵W對科學技術發展的重要作用不言而喻。而組合數學是計算機出現以后迅速發展起來的一門數學分支。組合數學的發展改變了傳統數學中分析和代數占統治地位的局面，從而奠定了本世紀的計算機革命的基礎。作為計算機相關專業的研究生基礎理論課，組合數學的重要性不言而喻。隨著信息技術的發展，知識的傳播和獲取已經完全脫離了以往對書籍和課堂的依賴。如果仍然保持以客觀知識的教授為目的，忽略了當前學生的學習需求，則不能很好地適應信息化社會創新人才的培養。如何在知識教授的前提下，更充分地調動學生的學習熱情，使他們不僅獲取知識，更提高能力。筆者白2008年開始教授組合數學課程，每年約有270名學生選修該課程，學生主要來自信息類院系。筆者經過近年來的教學實踐，認識到從抽象的知識教育來加強對科學精神的培養是組合數學課程的核心理念，逐漸探索出以啟發式教學引領思維、以創新實踐激發興趣的教學體系。
2.構建多維啟發式教學體系
啟發式教學不是單一的教學形式，而是一個全方位多維的教學體系，通過深度備課追求課堂教學的“專業性、示范性、藝術性和創新性”研究生教育培養的是具有專業知識的技術人員和科研工作者，因此要培養行業內的創新性人才，關鍵的不是知識概念掌握的多少，重要的是對科學知識本質的了解和延伸，從而達到對科學精神的培養。組合數學概念抽象，內容博大精深，經過歷史的沉淀，已經對知識體系有了高度的概括。如果課堂教學仍停留在字面的講授和理解上，而不能挖掘字里行間所蘊含的深刻本質，會使學生的學習興趣和學習效果大打折扣。深刻揭示知識的本質及其與相關知識的聯系是最重要的教學理念，真正做好它需要從教學形式和教學內容上進行深入的挖掘和研究。
2.1以知識的“再發現”引導學生主動思考
組合數學的很多內容具有很強的技巧性，如果以灌輸的形式進行教學會使學生在學習的過程中感覺被動。因此在近幾年的教學中，筆者重新組織了章節中的教學內容和教學順序，從現實生活中的具體例子出發，引導同學們去發現已有知識的瓶頸是什么？從懸念出發引導學生思考如何求解，是否有通用有效的解法？讓學生不再是被動、機械地接受理論，而是通過對問題思考再一次“發現知識”。
以《組合數學》第二章母函數的概念介紹為例，母函數概念的提出經歷了近100年的發展，凝練成如下的3行數學定義。
這樣的定義簡潔、清晰，學生看后雖然能學會，但是會感到疑惑：“究竟為什么要把函數和數列扯上關系呢？”雖然母函數的定義從概念上高度概括，但是作為初學者僅從字面上無法抓住其科學本質。要使學生做到對概念的“真理解”，關鍵在于教師自身要對知識本質“真理解”。筆者查閱了大量的組合數學相關教材和資料，逐漸理順了母函數定義的發展脈絡，在實際課堂教學中，設計了一個色子投擲問題――“兩個色子投擲總數為6點的可能方式可以枚舉出來有5種。那么如果投擲50個色子呢？投擲100個呢？”從已有知識的困境中出發，一步步引導學生發現我們所熟知的函數形式可以具備計數的能力，這就是知識的“再發現”。學生從淺顯的問題出發，通過思路的延伸，自主解決當前的困境。這樣的模式在每章的教學中都有所體現，通用模式的具體描述如下：
（1）問題的引入盡可能簡單直觀；
（2）問題的深入要留下懸念；
（3）問題的解決在情理之中、意料之外。
通過形象的例子引導學生知其然、知其所以然，盡可能通過簡單生動的例子闡述各項研究的根源以及如何總結歸納出相應理論的過程。從已學知識的瓶頸入手，構造一種如鯁在喉不吐不快的情景，再引入新的知識，逐漸在每個關鍵點上依次展開，講授的過程正是逐漸解決瓶頸的深入發展過程，使得學生的思維從被填鴨的被動式接受轉變為主動式思考。而這種瓶頸驅動式的教學充分調動了學生聽課的專注性和主動性，師生之間在課堂上的互動也因此變得自然而有效。
2.2以知識的“左鄰右舍”培養學生發散思維模式
組合數學本身是一個迷人的數學學科，歷史悠久，其中很多問題對于計算機從業人員來說都耳熟能詳，是現實生活中樸素而有趣的問題。有趣的問題并不是讓學生聽個熱鬧就夠了，每個問題的提出和解決有其偶然性和必然性，問題的背后除了一段數學的發展史外，更重要的是知識發展的客觀規律。數學發展史妙趣橫生的介紹，相關知識的觸類旁通，知識點的串聯，一題多解，多題一解，甚至是恍然大悟的精妙不僅僅給學生帶來心理上的沖擊，更重要的是幫助學生建立對知識更宏觀的認識，從歷史發展看科學進步，從具體方法體會深層次的規律。
1）通過知識發展的來龍去脈串聯相關知識點。
課程的教學中穿插著每個知識點背景歷史的介紹，尤其將相關數學家的介紹貫穿始終。據學生的統計，在課堂上提及的數學家共有59位，從伯努利、拉普拉斯到波利亞，從孫子算經到現代的計算機界大家高納德，將組合數學的知識點通過這些名人的事例講解出來，將他們貫穿到知識點發展的脈絡中去，提煉出數學家與知識發展之間千絲萬縷的聯系。比如在第二章母函數概念的介紹中，通過對數學史的研究，將母函數定義的發展歷程形象化為一個流程圖，將伯努利、歐拉和拉普拉斯的工作串聯起來。而在整數拆分數的介紹中，授課教師通過不同的時間發展把相關的數學家串聯起來。如圖1（a）、（b）所示，這樣形象生動的講授使學生對知識的把握更為形象化，產生更為深刻的感性認識。 2）從具體方法體會深層次的規律。
學習興趣的培養一方面需要形式上的生動活潑、清晰形象，而更深層次上是要滿足學生對思維收獲的追求。
在日常的課堂教學中我們采用猜想、合情推理、初證、反駁、重證的思路，或歸納，或演繹。不同的講授方法中蘊含著更深層的方法學和思維模式。學生的學習過程不僅僅以知識的理解和應用為任務，而是從知識的學習中去體會知識的創造發展過程中的共性，這也是科研創新能力的基礎。在進行母函數知識鏈接的過程中，如圖1（a）所示，筆者發現其形式和以往指數運算的對數轉換非常相似，因此通過這樣知識的類比，將母函數定義歸納為一種數學映射（如圖2所示）。將這種映射和日常生活中照鏡子相類比，使同學們認識到映射這種數學工具的本質和普適性。而類似知識的擴展使組合數學的教學不再是對一本教材的見解，需要在對知識深度理解的基礎上進行發散性思維和廣泛涉獵，不僅需要針對知識點進行數學方法論的提煉，更需要發揮發散性思維對不同領域知識進行聯系和對比。這樣才能既豐富課堂內容，又開拓學生視野。
3）以知識的“生命力”激發學生的研究熱情。
組合數學的知識博大精深，經歷了幾百年的發展，知識體系結構已經逐漸完善，但是作為一門隨計算機學科而發展的數學體系，仍然處于時代發展的前沿。如果局限于課本上的教學，學生會覺得效率不高，收獲不大。筆者及時跟蹤前沿知識點，給學生帶來更廣闊更新鮮的視野。而同時在教學形式上設計開放式的教學，以知識和實踐結果的不確定性激發學生的創新熱情。以整數拆分數為例，課堂上不僅介紹了母函數解法，并且通過程序演示，讓學生直觀地看到母函數解法的瓶頸。對比權威數據庫中的整數拆分數數值，激發同學們去研究如何克服設計瓶頸。同時聯系目前數學界懸而未決的十大問題，使同學們對該問題在學術界的地位產生感性認識。例如，第四章有關染色同類體的計數統計需要涉及初步的群的概念，教材通常羅列一系列有關群的概念，然后給出一個定理，接著就開始計數的介紹。群的概念看似簡單卻非常抽象。近年來，在教學中我們引人有關群的最新理論，如對“月光魔群”等問題進行簡單的介紹。雖然這樣的內容和后續的計數問題沒有直接關系，但是作為群的前沿知識可以極大地幫助學生建立對群概念的認同和感性認識。而前沿發展的開放性和不確定性更加激發了學生對未知世界的探求渴望，促使他們從不同的角度進行思考，以發散性思維去解決問題。
3.打造開放式的創新實踐平臺，鼓勵發散思維和創新實踐
組合數學本質上是一門數學學科且趨于穩定成熟，學生往往把這門課作為一門理論課來學習，認為做作業、通過考試就是學習該課程的全部。自2010年，筆者將創新平臺項目正式納入課程成績中，當年引入了兩個課程項目作業，第一個項目為與全排列生成算法相關的命題項目，第二個作為開放項目完全由學生自主選題。雖然沒有強制學生參與，但是幾個學期下來，學生的參與度逐年增高。經過事后調查反饋，參與項目研究的同學普遍反映創新項目很鍛煉人，通過調研和實踐更深入地了解問題，也許一開始是為了分數而參與，但漸漸地開始體會到思考帶來的快樂，從而大大激發了學生的主動參與性，體會到了創新的成就感。
3.1采用多樣機制鼓勵發散思維和創新實踐
本課程的項目設計以開放式的題目為主導，參考學術論文評價體系，一方面作為最終成績的一部分鼓勵同學參與，另一方面采取不同的機制對不同的項目進行評測和鼓勵。尤其針對全排列生成算法的設計，引入了“全排競賽”，對學生提交的代碼進行評測排序，讓他們感受競爭的同時，更深地體會到創新實踐是需要全盤考慮的。筆者在每學期的最后一節課上都會從各個角度對創新項目進行的總結，從幾百個提交的項目中選擇6-10篇最佳論文，舉行小型的頒獎活動，并針對學生提交的項目進行詳細點評。通過這樣的形式，同學們感到自己的付出得到了關注和認可，感到項目的實踐和反饋有始有終，對于論文寫作和科技創新有了新的認識。
3.2引入開放式項目實踐
筆者將項目實踐環節引入到日常教學中，形成了作業、考試和項目三項并舉的教學評價體系，并通過自選開放式項目激發學生的發散性思維。一些數據表明實踐項目激發了學生的學習熱情，將學生的期末考試成績進行對比能分析出學生的學習目的和學習目標的不同。在2011年秋季學期，學生選做項目的參與度達到64%（150/233）。從最終參與自選項目的聯合對比分析（見表1）可以看到參與自主創新項目是鍛煉優秀人才的一種有效手段，筆者在對比后仍然發現參與自選項目的同學如果不能得到很好的項日成績，那么最終的卷面也會低于平均分，這說明日后的項目機制還需要進一步的細化和磨合。
通過進一步分析近兩年的數據可以看到，參加自選項目的學生比例在逐年增加，而通過分析卷面成績和項目成績，可以看到兩者之間的正向相關性。2011年卷面成績和項目成績的相關系數為0.182，2012年卷面成績和項目成績的相關系數為0.199。
3.3依托在線百科的知識傳播體系
本課程中很多教學內容超出了課程教材，甚至有些內容在網絡上也并不多見。為了進一步推廣相關知識，并且鼓勵學生深入挖掘相關知識內容，筆者鼓勵學生在wikipedia.com以及百度百科等平臺上進行更新和提交（如圖3所示），通過創新加分等形式鼓勵學生進行開放式的探索。2013年秋季學期同學們在權威數據庫OEIs、中英文wikepedia、百度百科等在線平臺上貢獻或更新詞條近30余條。這為學生嚴謹的思考鉆研和廣泛深入調研提供了鍛煉的機會。
4.課程建設成果和展望
筆者近年來對課程進行了深入的課程體系改革和教學形式的調整，逐漸形成了具有計算機專業特色的研究型引導式的教學模式，收到了很好的教學效果，深受學生喜愛。筆者以該課程內容的講授代表清華大學參加北京高校第八屆青年教師教學基本功比賽，獲得理工組一等獎，同時獲得最佳教案獎以及最佳演示獎。
隨著對教學的深入，授課教師更加深刻地認識到教授一門課不只是講授一本書，除了要古今貫通、文史兼備，更需要在心理和技巧上平衡。教學中不僅要教具體的知識，更重要的是培養學生的思維方式和學習方法。正如康德的名言：“重要是給予思維，而不是給予思想?！痹谝运季S引領、激發學術志趣的教學理念引導下，我們要進一步加快教材建設，總結整理課程的特色內容，整理出版新的教材；逐漸摸索大課堂教育和在線資源的有效配合，嘗試通過優秀學生的帶動，形成公平分享、共同成長的開放式空間；努力在廣度和深度上進一步的發展，形成特色，在計算機專業的基礎理論課教學上形成優勢。
（編輯：彭遠紅）
