一、理論力學經典教材中約束的定義及分類

約束，為理論力學最基本也是最重要的概念，在靜力學和分析力學部分都有重要介紹。在靜力學部分，經典教材中對約束的定義[1,2]為：對物體的某些位移起限制作用的周圍物體，或是限制質點或質點系運動的條件。例如鐵軌對火車、軸承對轉子，鋼索對于重物等，都是約束。分析力學部分，尤其在運用功的概念分析系統平衡問題的虛位移原理中，為了便于原理的推導與應用，將上述約束的概念進行了擴充，增加了一些定義和約束分類。但現有的各理論力學教程中，對于約束的定義和分類有一些易讓人模糊、混淆的地方。本文將指出其中的問題，并提出一種新的約束定定義和分類方式，供力學教育工作者和學習者參考。

在現有的理論力學教材中，約束的分類是從約束方程出發的，即表示約束限制條件的數學方程[2,3].例如：若約束方程為等式方程，則稱為雙面約束，如圖 1 所示，滑塊 B 的約束方程為y =0;而若約束方程為不等式方程，則稱為單面約束，如圖 2 所示，滑塊 B 的約束方程為 y ≥ 0;若約束方程僅含有位移相關項，則稱為幾何約束，如圖 3 所示單擺，擺長為l,擺桿對質點的限制條件是質點必須在以點 O 為圓心、擺長l 為半徑的圓周上運動，則質點的約束方程為2 2 2x + y =l;而若約束方程僅含有速度相關項，則稱為運動約束，如圖4所示，圓輪沿地面純滾動，其約束方程為Cv =Rw.

二、新的約束定義及分類

這種通過數學方程的特征對物理約束進行定義或分類的方法是不恰當的。因為物理約束的數學描述不具有唯一性或其唯一性未作證明，即同一個物理約束可用不同的數學方程描述，是否能用不同特征（等式 / 不等式，含速度 / 不含速度）的方程描述很難講。例如對于簡單的等式方程，可等價表示為兩個不等式方程“?”和“?”,而有些含有速度項的方程可通過一次積分等階于不含速度項的方程（當然有初始條件問題的偏差）。這樣對同一個物理約束將可能歸于不同的類，如圖 4 所示運動，其約束方程Cv =Rw可積分為Cx =Rq,約束從運動約束變成了幾何約束。

為回避上述問題，可采取如下的分類或定義方式。對于物理約束，不能從其約束方程特征出發，而從物理約束本身的特征出發定義之。例如使兩點距離保持不變的約束稱為雙面約束，而使兩點距離不可超過某一值而可小于該值的約束稱為單面約束。當然，對于數學約束，仍然通過直接分析方程特征做出分類。這樣的分類，將使得物理約束的分類與數學約束的分類不具有完全的匹配性質。即在物理上屬于某類的約束，在數學上可屬于兩個對應的類。

上述做法可以完全滿足嚴格性要求，但應用起來不見得很方便。于是，在經典的教育體系中，通常采用了一種折衷的做法。即首先給出幾個物理約束，描述其物理特征，而后以直觀的方式寫出其約束方程，通過比較物理特征與約束方程特征的關系，通過約束方程的特征完成物理約束的分類。

這種做法在實質上暗含了物理特征的分類意義，從而在采用這種分類時，強行把兩種分類統一起來?？梢哉J為，上述做法設定了一條標準的寫出約束方程的路徑，從而回避了兩種分類的歧義。

上述討論，在光滑 / 非光滑，線性 / 非線性物理系統中均有類似問題出現，不歸于物理學的含混性。

三、結語

本文對理論力學經典教材中約束的定義和分類做出了統一規定，避免了原來約束的定義和分類有一些易讓人模糊、混淆的地方。新的規定嚴格、統一，避免了原來定義和分類中的歧義。

參考文獻：

[1] 哈爾濱工業大學理論力學教研室 . 理論力學（I）[M]. 北京 :高等教育出版社 ,2010.
[2] 馬爾契夫 . 理論力學 [M]. 李俊峰 , 譯 . 北京 : 高等教育出版社 ,2006.
[3] 陳濱 . 分析動力學 [M]. 北京 : 北京大學出版社 ,2012.