當前各個學科相互滲透、相互融合已經成為發展的必然趨勢。物理作為一門自然基礎學科也不是孤立存在，越來越多地融入了控制理論進行分析。許多物理現象，例如在橢圓軌道運行的人造衛星，小車上的柔桿運動，都可以簡化為慣量－阻尼－彈簧系統運動。本文針對慣量－阻尼－彈簧運動進行動力學分析，并利用ＰＩＤ控制方法研究其特性。
受外加扭矩的慣量－阻尼－彈簧系統的模型如圖１所示，其彈簧勁度為ｋ，阻尼系數為ｄ，外加扭矩為ＴＣ，轉子的轉動慣量分別為：Ｊ１和Ｊ２，轉角分別為：θ１和θ２。

１運動建模

由圖１所 示，列 出 該 系 統 的 動 力 學 方 程為：
Ｊ１¨θ１＋ｄ（\ue57fθ１－\ue57fθ２）＋ｋ（θ１－θ２）＝ＴＣ
Ｊ２¨θ２＋ｄ（\ue57fθ１－\ue57fθ２）＋ｋ（θ１－θ２）＝０（１）
當轉動慣量Ｊ１＝１，Ｊ２＝０．１時，該系統的傳遞函數為：根 據 式１， 選 取 狀 態 參 數 如 下：
ｘＴ=［θ２\ue57fθ２θ１\ue57fθ１］；式１，可以用矩陣３來表示，其中ＴＣ≡ｕ。為了便于對該系統分析，假設彈簧勁度為ｋ的變化范圍：
０．０９≤ｋ≤０．４，選?。耄剑埃埃梗?；阻尼系數為ｄ的變化范圍：選?。洌剑埃埃常?。矩陣（３）變為矩陣（4）。
２系統穩定性分析

系統能在實際中應用的首要條件是系統要穩定。分析系統穩定性是經典控制理論的重要部分。經典控制理論對與判定一個定常線性系統是否穩定提供了多種方法。本文主要應用Ｎｙｑｕｉｓｔ穩定判據和Ｂｏｄｅ圖判據兩種方法來對系統進行分析。

２．１利用穩定判據分析系統穩定性

２．１．１Ｎｙｑｕｉｓｔ判據

由于一般系統的開環系統多為最小相位系統，Ｐ ＝０，故只要看開環Ｎｙｑｕｉｓｔ軌跡是否包圍點（－１，ｊ０），若不包圍，系統就穩定。當開環系統為非最小相位系統Ｐ≠０時，先求出其Ｐ，再看開環Ｎｙｑｕｉｓｔ軌跡包圍點（－１，ｊ０）的圈數，若是逆時針包圍點（－１，ｊ０）Ｐ圈，則系統穩定。
圖２是該系統的根軌跡圖。從圖２可以看出，該系統Ｐ≠０，Ｐ＝１，但Ｎｙｑｕｓｉｔ軌跡沒有包圍點（－１，ｊ０），而是放射狀，因此該系統不穩定。
２．１．２Ｂｏｄｅ圖判據Ｂｏｄｅ圖同樣可以利用它來判別系統的穩定性。這種方法有時稱為對數頻率特性判據。對于穩定系統，相位裕度必在Ｂｏｄｅ圖橫軸以上，而且要具有相當的穩定性儲備。對于穩定系統，幅值裕度必須在０分貝線以下，Ｋｇ（ｄＢ）＞０，稱為正幅值裕度，反之，系統不穩定。
圖３是該系統的Ｂｏｄｅ圖。從圖３可以看出，該系統相位裕度為－１７２°，在Ｂｏｄｅ圖之下，具有負的穩定性儲備；幅值裕度為－３８．６ｄＢ，具有負的幅值裕度。根據判據，因此該系統不穩定。２．２ＰＩＤ校正設計

由于該系統不穩定，因此在實際中是沒有任何應用意義。利用ＰＩＤ控制方法，來實現該系統的穩定。ＰＩＤ調節原理簡單，使用方便，且ＰＩＤ補償系統使之達到大多數品質指標的要求。
由圖２和圖３所反應的該系統的性能。設計一個微分控制器串聯在該系統里。根據理想系統的要求，調試該微分控制器，最后確定傳遞函數為：
Ｄ（ｓ）＝０．００１（３５ｓ＋１）。因此該系統的整體傳遞函數變為：
ＫＤ（ｓ）Ｇ（ｓ）。
有ＰＩＤ校正后的系統的根軌跡圖４和Ｂｏｄｅ圖５。從圖４中看出，根軌跡圖包圍（１３５，ｊ０）一圈。
符合Ｎｙｑｕｉｓｔ判據對系統穩定性的要求。從圖５中看出，校正后系統相位裕度為５３．８°，在Ｂｏｄｅ圖之上，具有正的穩定性儲備，且儲備充足；幅值裕度為２．１５ｄＢ，具有正的幅值裕度。因此，校正后的系統具有較好的穩定性。
３結論

通過對慣量—阻尼—彈簧系統的動力學建模，利用ＰＩＤ方法對該系統的穩定性進行分析，可以看出，ＰＩＤ校正方法在控制系統的校正中，有著重要的意義，該方法在物理學模型分析中，可以得到廣泛應用。

參考文獻：
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