1 引言。

數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。整個數學的發展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數學領域的發展。

2 三次數學危機。

第一次數學危機發生在古希臘，源于畢達哥拉斯的以數為基礎的宇宙模型和數是可公度的信條。畢達哥拉斯認為，事物的本質是由數構成的，并以數為基礎，構造了宇宙模型[1].在畢達哥拉斯看來，數就是整數或整數之比。但這一信條后來遇到了困難。因為有些數是不可公度的。這一矛盾，導致了畢達哥拉斯關于數的信條的破產，并進一步導致了畢達哥拉斯以數為基礎的宇宙模型的破產。這在當時產生的震動太大了，因此歷史上稱之為第一次數學危機。

17、18世紀關于微積分發生的激烈的爭論，被稱為“第二次數學危機”[2].在17世紀晚期，形成了微積分學。牛頓和萊布尼茨被公認為微積分的奠基者。他們的功績主要在于把各種有關問題的解法統一成微積分，有明確的計算步驟，微分法和積分法互為逆運算[3].由于新誕生的微積分方法中隱含著邏輯推理上的嚴重缺陷，導致了“無窮小悖論”[4].當時牛頓等人不能自圓其說，而且，其后一百年間的數學家也未能有力的回答貝克萊的質問，由此而引起數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論，造成“第二次數學危機”.

19世紀末分析嚴格化的最高成就--集合論，似乎給數學家們帶來了一勞永逸擺脫基礎危機的希望。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數學大會上宣稱：“現在我們可以說，完全的嚴格性已經達到了！”[5]但就在第二年，一場搖撼整個數學大廈基礎的暴風雨來臨了，英國數學家羅素以一個簡單明了的集合論“悖論”打破了人們的上述希望，引起了關于數學基礎的新爭論。他把關于集合論的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。

它和其它一些集合論悖論一樣，對數學發展的影響是十分深刻、巨大的，甚至可以說是動搖了整個數學的基礎，并導致了第三次數學危機。

3 從我國數學的發展看三次數學危機。

中華人民共和國的誕生，為中國數千年的文明史揭開了新的篇章，我國數學科學的研究出現了生機勃勃的景象，這是我們國家社會主義建設的需要，也是我們黨和國家非常重視科學技術的結果。中國科學院于1950年開始籌建數學研究所，1952年正式成立。全國各高等院校普遍設置了數學系，《數學學報》和《數學通報》復刊。1958年~1960年的“大躍進”時期，在極左思潮影響下，數學基礎理論研究受到很大沖擊，積極的一面是明確了向世界先進水平看齊的奮斗目標，也重視理論聯系實際，線性規劃得到大力推廣并創造了切實可行的“圖上作業法”,運籌學由此在我國發展起來。在發展我國高科技過程中，例如1965年9月17日，我國科學工作者在世界上首次用人工方法合成結晶牛胰島素。

我們不能不承認，數學對于現實生活的影晌正在與日俱增。許多學科都在悄悄地經歷著一場數學化的進程?，F在，已經沒有哪個領域能夠抵御得住數學方法的滲透。因此，對于數學，特別是現代數學加以普及，使得數學和數學家的工作能對現實生活產生應有的積極影響，這已成為人們日益重視的課題。

4 總結。

綜上所述三次數學危機對數學的發展影響是巨大的。第一次數學危機中產生的歐幾里德幾何對樹立天文學的發展起了很大的推動作用，第一次數學危機使古希臘數學基礎發生了根本性的變化，使古希臘的數學基礎轉向幾何。第二次數學危機中波爾查諾給出了連續性的正確定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西指出無窮小量和無窮大量都是變量，并且定義了導數和積分；狄利克雷給出了函數的現代定義；美國數理邏輯學家羅賓遜又利用無窮小量引進超實數的概念，建立了非標準分析，同樣也能精確的描述微積分，解決無窮小悖論。第三次數學危機建立了實數理論，且在此基礎上建立了極限的基本定理，使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上，康托爾創立了集合論。而且還產生了公理化方法論和數理邏輯等一批新穎學科。我國以至世界各國的數學發展也都依賴于三次數學危機中產生的數學的新內容。整個數學的發展是一個層層深入、層層遞進的過程。

參考文獻：

[1]人民教育出版社中學數學室著?，F代數學概論[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]張光遠?，F代化知識文庫：二十世紀數學史話[M].知識出版社，1984.2
[3]袁小明。數學史話[M].山東教育出版社，1985.
[4]于寅。近代數學基礎[M].華中理工大學出版社，1999.3.
[5]王浩。數理邏輯通俗講話[M].北京：科學出版社，1991.