引言

梯形段面的渠道具有占地少，施工簡單，運行可靠等優點，在水利工程中運用非常廣泛。因此，在水利工程實踐中，經常會遇到梯形明渠正常水深和臨界水深的計算問題。 而常采用試算法和圖解法卻計算步驟繁雜，精度欠佳，且不適合于計算機編程計算。在本文中，作者將提出一個用于正常水深和臨界水深計算的迭代方程，它在水利工程中將是十分有用的。而最重要的是從純代數的角度證明了該方程的收斂性，從而對與此迭代方程，賦予任意有工程實際意義的初始值都是有效的。這樣，我們就可以簡單、有效地計算這些水深。

一、臨界水深迭代方程

對于如圖 1 所示的梯形明渠，臨界水深是由如下方程得出的：【1】

其中： g -重力加速度；Q-渠道流量；b -渠道底寬；1m ,2m -渠道邊坡?！緢D 1】


通過方程（1），我們可以得到：【2】

方程（2）是計算臨界水深的迭代方程。方程的收斂性證明是極其重要的，否則將不會有人使用它來計算臨界水深。

方程（2）要收斂就要求它對變量 h 的一階導數小于 1,因此我們先求取方程（2）的一階導數：【3】

注意到上式由方程（2）得到，所以我們可以代進方程（2）來簡化它，而這正是證明其收斂性的關鍵，因此：【4】

由此我們可以得出，在 h 取有工程實際意義的任何值時，上述迭代方程是無條件收斂的。

二、正常水深迭代方程
均勻流的正常水深由以下方程計算：【30】

其中：i -渠道底坡；n -渠道糙率。

將方程（3）改寫為：【40】

再對方程（4）求變量h 求一階導數：【5】

最后簡化為：【6】

所以，在 h 取有工程實際意義的任何值時，方程（4）也是無條件收斂的。

三、結論

迭代計算法法用于復雜方程的計算是非常便利的，但它的收斂性證明卻不是那么容易，這也是迭代法沒能廣泛用于水力計算的原因。要想成功地證明其收斂性就要求證明者真正理解其內在參數的本質聯系以及良好的代數技能來簡化方程。實際上，迭代法在水利工程計算中應用很多，在我國的一些水利期刊上也介紹過迭代法算收縮斷面水深；小流域洪峰流量計算。而本文作者提出了用于正常水深和臨界水深計算的迭代格式，并證明了它們是無條件收斂的，可以賦予任意有工程實際意義的初始值。我們可以利用這些迭代格式取代圖解法和試算法進行水力計算，特別是應用于計算機編程。

參考文獻
[1] 吳持恭。水力學[M].北京：高等教育出版社，1982（第二版）。
[2] 葛節忠，劉東康，劉金柱。明渠均勻流水深 h 和臨界水深hk的迭代計算法[J].河海水利，2006（6）。