摘 要：教學實踐表明，課堂教學的有效性離不開教師的引導，教師引導的有效性決定于教師的專業水平。根據初中數學概念教學的地位和特點，結合 PCK 內涵的四個組成部分進行數學概念的 PCK 內涵解析，能幫助教師深刻理解概念本質、認識概念教學的學科教育價值，能夠理解學生的經驗與困難，可以進一步闡釋概念的本質屬性，發展學生的數學素養，設計恰當的教學策略，可以提升概念教學的有效性。
關鍵詞：初中數學概念教學；PCK 內涵解析；數學概念 PCK 內涵。
一、初中數學概念教學的意義及一般方法。
（一）初中數學概念教學的意義。
概念是事物本質屬性在人腦中的反映，是思維的基本形式之一，是進行判斷和推理的基礎。數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，是形成數學知識體系的基礎，是數學思想方法的重要載體。而數學概念教學的意義不僅在于讓學生掌握數學概念本身，更重要的是在獲得概念本質屬性的過程中，通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數學活動，發展學生的推理能力、抽象思維，體會數學的思想方法，促進學生的數學學科素養的發展。因此，數學概念的教學對數學學科和學生發展都有重要的意義。
（二）初中數學概念教學的一般方法。
在初中數學課程中，概念眾多，南京師范學院的章飛教授就概念教學實施的角度，將概念分成 3 類（對象性概念、度量性概念、觀念性概念），其中的對象性概念是教學的重點之一。對象即數學的研究對象，如各種數、各種式、各種圖形的概念。概念教學的過程一般要經歷：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的獲得（揭示概念本質屬性的過程）；三是概念的鞏固與運用（了解概念的運用，在運用中進一步理解、鞏固概念）三個過程。其中概念的獲得最重要，它主要有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成（具體見圖 1、圖 2）。
從圖中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通過教師的講解、解釋，學生逐步明確概念的內涵；通過運用變式的材料和例證，學生明確概念的外延?！案拍畹男纬伞笔墙洑v對具體特殊實例的特征的歸納、類比，檢驗后明確概念的本質屬性；給出定義并用常用的形式符號表示概念。這就要求學生經歷一個對概念本質屬性的抽象過程，在此過程中發展學生的抽象思維、推理能力、符號意識、模型思想等，并使學生逐步形成數學的學科觀念。
可見，不管采用哪種方式，教師都必須準確、深刻地理解概念的本質屬性，了解概念的內涵外延，有清晰、完整的概念結構體系。同時，要了解不同概念適用哪種概念獲得的方式。這就依靠教師對概念本身的理解，并設計出有效的概念教學策略。如果教師對概念本質屬性的理解有偏差，對概念體系的認識不完整，對概念承載的數學教育價值不明確，那么，不論采取了怎樣的課堂模式和教學策略，都不能夠達成概念教學應有的目標，也就不能體現概念教學的意義。
二、進行初中數學概念 PCK 內涵解析的作用。
（一）運用 PCK 內涵解析進行概念教學可以進一步闡釋概念的本質屬性。
經過十多年的新課程改革實驗，《義務教育數學課程標準（2011 年版）》倡導的教學理念已經逐步轉化為教學行為，在概念教學中，教師一般都能讓學生經歷概念形成的過程，很少出現“一個定義、幾項注意”的概念教學方式。但是，在“引導學生探究概念本質屬性”的過程中，卻屢屢出現對本質屬性理解不準確的問題。尤其是，初中數學教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發生式定義”方式給出的，其定義并沒有揭示了概念的本質屬性。在這些概念的教學中，教師就更容易出現將“形式化定義”作為概念本質屬性的現象，在課堂上反復進行針對定義的辨析，而忽略引導學生體會概念所蘊含的豐富的問題情境、思想方法，使概念教學缺少了應有的教育價值。這樣，既不能使學生深刻理解概念，也不能通過概念教學的過程發展學生的數學能力。例如，在“方程概念”的教學中，有些教師認為“方程”概念的本質屬性是“含有未知數的等式”,由此可見，在課堂上讓學生大量進行“判定下列各式是不是方程”的訓練，使方程概念的教學成為辨析形式化定義的刻板過程，不能體現方程概念的教育價值。其實“方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”,其本質是：建立已知、未知之間的聯系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問題“.在方程概念的學習中，學生應經歷”用方程刻畫不同情境中的等量關系的過程“,抽象出”本質屬性“,并體會”方程是刻畫現實世界數量關系的重要模型“這一思想，以發展學生的抽象思維和模型思想，體現數學學科概念教學的價值。
（二）進行初中數學概念 PCK 內涵解析可以有效發展學生的數學素養。
正確理解概念的本質特征是教師進行數學概念教學的必要前提，是通過概念教學發展學生學科素養、體現概念教育價值的保證。那么，在概念教學中怎樣才能避免出現以上問題，從而體現概念教學的價值呢？
如二次函數概念的學習，有利于發展學生”數學抽象“的核心素養，發展符號意識。抽象是數學最本質的特征之一，也是數學最基本的思想之一。在二次函數概念教學時，學生將經歷從豐富的實際問題中建立出函數關系式，然后分析所得到的函數關系的特點，抽象出共性特征，從而建立二次函數的概念。在這個過程中，學生最主要的思維活動就是”抽象“,因此，合理設計二次函數概念的教學將有利于發展學生”數學抽象“的核心素養，同時在建立二次函數一般形式的過程中發展學生的符號意識。
再如，二次函數概念的教學，有利于發展學生”數學建?！暗暮诵乃仞B，體會數學應用的廣泛性。二次函數在軍事、體育、物理、心理、建筑等現實世界中都有廣泛應用，是一種重要的”數學模型“.在二次函數概念的學習中，學生需要分析不同情境中變量關系與變化規律，建立變量之間的函數關系式，這個過程就是”建?！?
二次函數概念教學這一重要概念的教育價值還體現在”過程與方法“層面。對于學生而言，獲得二次函數概念的過程是”從特殊到一般再到特殊“的認識事物的過程，而二次函數所刻畫的問題的復雜性，更實現了學生研究函數問題經驗與方法的進一步的積累與提升。
由引可見，對一個概念的”PCK 內涵“作透徹解析，可以幫助教師深入理解所教概念的本質，了解這一概念與其他內容的聯系，獲得概念教學目標中的知識技能目標。能夠幫助教師理解數學內容蘊含的數學思想方法、使學生在學習該知識的過程中能夠發展其數學素養、形成學科觀念。
關鍵詞：初中數學概念教學；PCK 內涵解析；數學概念 PCK 內涵。
一、初中數學概念教學的意義及一般方法。
（一）初中數學概念教學的意義。
概念是事物本質屬性在人腦中的反映，是思維的基本形式之一，是進行判斷和推理的基礎。數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，是形成數學知識體系的基礎，是數學思想方法的重要載體。而數學概念教學的意義不僅在于讓學生掌握數學概念本身，更重要的是在獲得概念本質屬性的過程中，通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數學活動，發展學生的推理能力、抽象思維，體會數學的思想方法，促進學生的數學學科素養的發展。因此，數學概念的教學對數學學科和學生發展都有重要的意義。
（二）初中數學概念教學的一般方法。
在初中數學課程中，概念眾多，南京師范學院的章飛教授就概念教學實施的角度，將概念分成 3 類（對象性概念、度量性概念、觀念性概念），其中的對象性概念是教學的重點之一。對象即數學的研究對象，如各種數、各種式、各種圖形的概念。概念教學的過程一般要經歷：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的獲得（揭示概念本質屬性的過程）；三是概念的鞏固與運用（了解概念的運用，在運用中進一步理解、鞏固概念）三個過程。其中概念的獲得最重要，它主要有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成（具體見圖 1、圖 2）。
從圖中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通過教師的講解、解釋，學生逐步明確概念的內涵；通過運用變式的材料和例證，學生明確概念的外延?！案拍畹男纬伞笔墙洑v對具體特殊實例的特征的歸納、類比，檢驗后明確概念的本質屬性；給出定義并用常用的形式符號表示概念。這就要求學生經歷一個對概念本質屬性的抽象過程，在此過程中發展學生的抽象思維、推理能力、符號意識、模型思想等，并使學生逐步形成數學的學科觀念。
可見，不管采用哪種方式，教師都必須準確、深刻地理解概念的本質屬性，了解概念的內涵外延，有清晰、完整的概念結構體系。同時，要了解不同概念適用哪種概念獲得的方式。這就依靠教師對概念本身的理解，并設計出有效的概念教學策略。如果教師對概念本質屬性的理解有偏差，對概念體系的認識不完整，對概念承載的數學教育價值不明確，那么，不論采取了怎樣的課堂模式和教學策略，都不能夠達成概念教學應有的目標，也就不能體現概念教學的意義。
二、進行初中數學概念 PCK 內涵解析的作用。
（一）運用 PCK 內涵解析進行概念教學可以進一步闡釋概念的本質屬性。
經過十多年的新課程改革實驗，《義務教育數學課程標準（2011 年版）》倡導的教學理念已經逐步轉化為教學行為，在概念教學中，教師一般都能讓學生經歷概念形成的過程，很少出現“一個定義、幾項注意”的概念教學方式。但是，在“引導學生探究概念本質屬性”的過程中，卻屢屢出現對本質屬性理解不準確的問題。尤其是，初中數學教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發生式定義”方式給出的，其定義并沒有揭示了概念的本質屬性。在這些概念的教學中，教師就更容易出現將“形式化定義”作為概念本質屬性的現象，在課堂上反復進行針對定義的辨析，而忽略引導學生體會概念所蘊含的豐富的問題情境、思想方法，使概念教學缺少了應有的教育價值。這樣，既不能使學生深刻理解概念，也不能通過概念教學的過程發展學生的數學能力。例如，在“方程概念”的教學中，有些教師認為“方程”概念的本質屬性是“含有未知數的等式”,由此可見，在課堂上讓學生大量進行“判定下列各式是不是方程”的訓練，使方程概念的教學成為辨析形式化定義的刻板過程，不能體現方程概念的教育價值。其實“方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”,其本質是：建立已知、未知之間的聯系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問題“.在方程概念的學習中，學生應經歷”用方程刻畫不同情境中的等量關系的過程“,抽象出”本質屬性“,并體會”方程是刻畫現實世界數量關系的重要模型“這一思想，以發展學生的抽象思維和模型思想，體現數學學科概念教學的價值。
（二）進行初中數學概念 PCK 內涵解析可以有效發展學生的數學素養。
正確理解概念的本質特征是教師進行數學概念教學的必要前提，是通過概念教學發展學生學科素養、體現概念教育價值的保證。那么，在概念教學中怎樣才能避免出現以上問題，從而體現概念教學的價值呢？
如二次函數概念的學習，有利于發展學生”數學抽象“的核心素養，發展符號意識。抽象是數學最本質的特征之一，也是數學最基本的思想之一。在二次函數概念教學時，學生將經歷從豐富的實際問題中建立出函數關系式，然后分析所得到的函數關系的特點，抽象出共性特征，從而建立二次函數的概念。在這個過程中，學生最主要的思維活動就是”抽象“,因此，合理設計二次函數概念的教學將有利于發展學生”數學抽象“的核心素養，同時在建立二次函數一般形式的過程中發展學生的符號意識。
再如，二次函數概念的教學，有利于發展學生”數學建?！暗暮诵乃仞B，體會數學應用的廣泛性。二次函數在軍事、體育、物理、心理、建筑等現實世界中都有廣泛應用，是一種重要的”數學模型“.在二次函數概念的學習中，學生需要分析不同情境中變量關系與變化規律，建立變量之間的函數關系式，這個過程就是”建?！?
二次函數概念教學這一重要概念的教育價值還體現在”過程與方法“層面。對于學生而言，獲得二次函數概念的過程是”從特殊到一般再到特殊“的認識事物的過程，而二次函數所刻畫的問題的復雜性，更實現了學生研究函數問題經驗與方法的進一步的積累與提升。
由引可見，對一個概念的”PCK 內涵“作透徹解析，可以幫助教師深入理解所教概念的本質，了解這一概念與其他內容的聯系，獲得概念教學目標中的知識技能目標。能夠幫助教師理解數學內容蘊含的數學思想方法、使學生在學習該知識的過程中能夠發展其數學素養、形成學科觀念。
