數學模型是描述一個系統或性質的數學形式,具體形式有圖形、數據表、方程、不等式、函數等.《普通高中生物課程標準》將“模型”知識列為課程目標之一,提出領悟系統分析、數學模型等科學方法及其在科學研究中的應用要求.

一、高中生物教學中構建數學模型的方法和步驟

在新課標生物必修3的第4章《種群和群落》中的第2節《種群數量的變化》中,教材以“微生物種群數量的變化”為例,構建數學模型.

（一）模型準備要構建一個數學模型,首先我們要了解問題的實際背景,明確建模的目的,并搜集必需的各種資料和信息,盡量弄清楚對象的特征.在這一數學模型的構建中,研究對象是“細菌”,其特征是“進行二分裂,每20min分裂一次”,建模的目的是探究細菌種群數量的變動特點,進一步解釋生物現象,揭示生命活動規律.

（二）模型假設根據對象的特征和建模目的,對問題進行必要的、合理的簡化,用精確的語言作出假設,是建模至關重要的一步.假設不同,所建立的數學模型也不同.如此建模中提到的假設是“在資源和空間無限多的環境中,細菌種群的增長不會受到種群密度增加的影響”,也就是在“理想的環境中,此環境一般指的是資源和空間充足,氣候適宜,沒有天敵,沒有疾病等”.

（三）模型建構根據所作的假設分析對象的因果關系,利用對象的內在規律和適當的數學工具,構造各個量詞的等式關系或其他數學結構.這時,我們便會進入一個廣闊的應用數學天地.不過我們應當牢牢記住,構建數學模型是為了讓更多的人明了并能加以應用,因此工具越簡單越有價值.

通過上述的分析,得出細菌增殖的特點是以滿足指數函數的形式進行增長,因此用數學形式表達為Nn=2n,其中N代表細菌數量,n代表第幾代.

（四）模型求解一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算,可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法進行模型的求解.

如在這一數學模型的構建中,我們根據剛才的指數函數模型把細菌的數量進行計算統計,把數據進行整理,此時構建出另一種數學模型---表格（如表1）?！?】

表格具有一定的局限性,因此我們還可以把它構建成坐標圖的數學模型.利用建立坐標圖像使一些抽象的知識變得更具體,從而得到了在理想的環境中生物種群的一種增長曲線---“J型增長曲線”.

（五）模型修正完善生物學的大量現象與規律是極為復雜的,存在著許多不確定因素和例外的現象,在對模型解答進行數學分析基礎上,并通過實驗或觀察對原先的模型進行補充或擴充、檢驗和修正,使學生認識到模型的構建是一個不斷發展和完善的過程.

如讓學生進一步思考問題:

（1）其他的生物并不一定進行二分裂的生殖方式,那么它們的種群數量的變化是否也滿足上述的“J型增長曲線”呢?如果滿足那么它的函數模型又是怎樣呢?通過進一步的假設分析,得到Nt=Noλt,其中No為該種群的起始數量,t為時間,Nt為t年后該種群的數量,λ為該種群每年增長倍數.

（2）生物的實際生活環境是否真的這么理想呢?

讓學生對在實際環境（如資源和空間有限,氣候并不一直適宜,出現天敵和競爭者,同時還會受到疾病等的威脅中生物種群的數量變化進行進一步的假設分析,得出在自然界中,種群不能無限增長,因為它不僅受到物理因素和生物因素的制約,而且隨著種群數量的不斷增長,制約因素的作用也在增大,使出生率和死亡率達到一定的平衡,種群總是在增長到一定限度后達到相對的穩定,因此構建出另一增長曲線---“S型增長曲線”.

二、高中生物教學中構建數學模型經典例析

數學模型的建立:確定自變量、因變量或其他參數;建立變量間的數量關系,以圖形、數據表、方程、不等式、函數等形式表現出來;檢驗和修正（見表2）。人教版必修2教材P14之“四、思維拓展”:

根據兩對相對性狀的遺傳分析,討論3-n對相對性狀的遺傳結果,用數學式表示（見表3）?！?】

進行數據模型建立訓練的知識點舉例:遺傳平衡中的基因頻率計算;生態系統第n營養級的能量值范圍;DNA以及肽鏈種類的多樣性計算.

在生物學科中進行構建數學模型思維的滲透,把復雜的研究對象轉變為數學問題,經過合理簡化后,建立一個能用數學方法揭示研究對象規律的數學關系式,不僅可以使學生體會到生物學并非是一門理解型的自然科學,而且可以使學生感覺到利用構建數學模型的思維結合生物學理論知識,很好地解決一些生物學實際問題,能使學生的知識能發生正遷移,起到舉一反三的效果.而且數學模型在生物實驗中還有著重要的意義,能進行數量大的分析處理,從而克服了實際實驗中只能對少數生物進行分析的局限:能夠將復雜的多因素以獨立的形式進行分析,能重復研究實驗的各種信息、資料,這些都是在實際實驗中很難做到的.

由此看來,通過構建數學模型,以繁化簡,讓學生獲得知識,同時也獲得知識習得的方法.