【第四篇】論文題目: 數學實驗融入高等代數課程的一個案例研究

摘要:本文以線性方程組的最小二乘解的求法為背景, 設計了在高等代數課堂教學中融入數學實驗內容的一個具體案例, 課堂教學由淺入深, 闡述了歐氏空間中正射影概念的幾何背景及實際應用案例.

關鍵詞:高等代數; 數學實驗; 正射影; 最小二乘解;

高等代數課程是大學數學的基礎課程之一, 既是中學數學的繼續和提高, 又為后繼專業課程的學習提供理論基礎和必要的計算工具, 在教學地位中起到了承上啟下的作用.高等代數的理論內容和講授的計算方法在很多學科中有廣泛的應用, 在傳統的高等代數課程中比較重視理論知識的傳授和學生計算能力的培養, 對于知識的應用涉及的很少, 隨著計算機技術的發展, 高等代數中的很多計算問題可以由軟件來實現, 這大大推進了高等代數學科在科學技術發展中的應用, 也使數學實驗融入高等代數的教學成為一件水到渠成, 順應時代發展的事情.下面是筆者在講授歐氏空間中正射影概念時, 以線性方程組的最小二乘解為背景, 融入數學實驗問題的一個案例.

1 正射影的幾何背景

我們所采用的教材是張禾瑞, 郝鈵新編著的《高等代數》第五版, [1]在第8.5節以解析幾何中的向量空間為背景, 給出了一個向量ξ在歐氏空間的某個子空間中的正射影的定義, 并證明了在該子空間的向量中, ξ的正射影到ξ的距離是最短的.雖然有幾何空間做背景, 這一知識點對大多數學生來講還是過于抽象而不好理解.熟悉高等代數知識的人都知道線性方程組的最小二乘解的求解與正射影的概念密切相關, 在生活實際中也有非常廣泛的應用.于是利用一節課的時間對正射影的性質在線性方程組的最小二乘解問題中的應用及相關內容進行了深入討論.

課堂的一開始首先從向量的角度考察線性方程組, [2]m個未知量n個方程的線性方程組可以用向量的方法表示如下

從向量的角度看, 方程組有解的時候, 右端列向量能夠由系數矩陣的列向量線性表示, 也就是列向量b在系數矩陣的列空間里, 線性方程組無解, 右端列向量不能由系數矩陣的列向量線性表示, 也就是b不在系數矩陣的列空間里.

在求解實際問題的時候經常遇到的線性方程組是無解的方程組, 這時可以在系數矩陣的列空間中找一個和右端列向量b距離最近的向量來代替b, 把新方程組的解作為已知方程組的解.

列空間中任意一個向量可以表示為列向量的線性組合

要找一組系數x1, x2, …, xn, 使它對應的列空間中的向量與向量b的距離的平方最小:

我們稱使 \\(1\\) 式取最小值的解為線性方程組的最小二乘解.

例1:要測量某個物體的長度, 第一次測得的值是a, 第二次測得的值是b, 有

顯然a和b不相等時方程組沒有解, 這時候找一個x, 使

最小, 解得是方程組的最小二乘解.這與通常取平均值的做法是一致的.

通過第一個例子學生對最小二乘解有了直觀的初步的了解, 再進一步加深難度.給出第二個例子.

例2:求解線性方程組.

分析:這個方程組顯然無解, 因為它的前兩個方程是互相矛盾的.要找一個解使得平方和

最小.

解:設系數矩陣的列向量和常數列向量分別是α1, α2和β, 這里α1, α2和β是不在同一個平面的三個向量, 而α1, α2的任意一個線性組合都在α1, α2所確定的平面W內, 要在W內找一個與β最近的向量β', 在方程組中用β'替換掉β, β顯然與它的正射影距離最近.

已知β'是β的正射影當且僅當β-β'與平面W垂直.當且僅當β-β'與α1, α2都正交.有

也就是 \\(α1α2\\) \\(β-β'\\) =0, 變形得 \\(α1α2\\) β= \\(α1α2\\) β',

把β'用α1, α2線性表示出來, 再代入方程

解這個方程得到的就是方程組的最小二乘解.

根據對例2的分析, 可以用對一般的線性方程組進行推導, 得到線性方程組最小二乘解的求解方法:

把線性方程組AX=B的兩端同時左乘A, 得到AAX=AB, 解這個新的方程組就得到方程組的最小二乘解.

線性方程組的最小二乘解借助數學軟件可以很方便地求解, 結合應用案例給出具體的求解過程.

2 應用案例

汽車司機在行駛過程中, 發現前方出現突發事件, 會緊急剎車, 剎車時走過的距離必須小于車輛與前方目標之間的距離, 才能保證人車的安全.知道剎車距離與車速之間的函數關系, 就能夠知道在以某一車速行駛的時候, 與前車保持多遠的距離是安全距離[3].

利用物理知識很容易建立汽車行駛速度與剎車距離之間關系的數學模型.剎車距離等于開車司機決定剎車到車完全停止這段時間內汽車行駛的反應距離與司機決定剎車到真正踩下剎車這段時間車走過的制動距離之和.

反應距離是司機反應時間內汽車勻速運動走過的距離, 制動距離是汽車在制動力下勻減速運動走過的距離, 可以推導出剎車距離關于汽車行駛速度是一個常數項為0的一元二次函數:

求出模型中的未知系數k1, k2, 就確立了汽車行駛速度與剎車距離之間的函數關系.

用固定牌子的汽車, 由同一司機駕駛, 在不變的道路, 氣候條件下, 對不同的車速測量其剎車距離, 得到數據如下表

人們不會因為只有兩個未知量就帶入兩組數據, 而是要把測得的n組數據都代入函數關系式, 得到一組線性方程

通常情況下, 這組方程是沒有解的, 要求的是它的最小二乘解.把方程組寫成矩陣形式

如果系數矩陣V是可逆方陣, 可以求出唯一的解K=VD;這里V是個一般的矩陣, 我們利用Matlab中的右除命令"V=K\\D"可以直接計算出最小二乘解.

編寫一個小的程序求解模型, 并利用所建立的模型計算汽車在任意速度下的剎車距離.

v=[20:20:140]/3.6;%要把速度從千米每小時轉化為米/秒

v2=v.^2;X=[v;v2]';b=y';%剎車距離的實際測量值

k=X\\b%算出k1, k2的最小二乘解

d=X*k%擬合函數算出的剎車距離

[x', b, d]%列一個數表將剎車距離的實際值與擬合值做一個比較

V=input \\('速度 \\(米/秒\\) ='\\) ;%輸入任意一個速度值,

shachejuli=[V, V^2]*k%計算出對應的剎車距離

通過程序的運行結果能夠得到這個司機行駛速度在30千米每小時的時候剎車距離是11.357米, 而速度在60千米每小時的時候剎車距離34.5584米

參考文獻

[1]張禾瑞, 郝鈵新.高等代數[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[2]徐麗媛, 王翔宇, 隋成柱.淺談線性方程組的幾何意義[J].白城師范學院學報, 2016 \\(8\\) :7-10.
[3]姜啟源, 謝金星, 葉俊.數學模型[M].北京:高等教育出版社, 2003.

點擊查看更多：高等代數論文