靈敏度即求導信息，它是一種度量，是一種評價由于設計變量或參數的改變而引起結構特性變化的變化程度的方法。系統的靈敏度分析的主要目的是確定設計參數變更時，系統響應、特征值及特征向量等發生的變化率，因此通過靈敏度分析可得到為實現最優化所需要的設計導數。它是當前力學和結構工程領域的主要研究方向之一。例如在結構優化、可靠性評估及結構控制等工程領域，靈敏度信息即是一個主要的先決條件，通常依據靈敏度性態來確定對優化目標及狀態變量影響較大的設計參數，利用程序可自動選擇靈敏度高的參數進行操作。在結構系統的模型修正時，基于設計參數及矩陣元素的修正算法，可以使用無阻尼實模態的正交歸一化條件作為約束求解修正量，目前也有一些文獻在使用復模態的正交歸一化條件來設計修正算法，這些算法經常使用各種模態參數的靈敏度信息參與修正量的求解。當前，結構安全性檢測有時也依賴靈敏度信息來確定結構是否出現損傷、損傷的位置及損傷的嚴重程度等。
1 阻尼與模態
依據結構阻尼的性質可將振動系統分為無阻尼、比例阻尼及一般粘性阻尼三種情況。在應用靈敏度分析的相關領域中，各種阻尼情況下的模態分析是其重要的基礎。
無阻尼情況下的模態被稱為實模態或純模態，特征方程的根比較容易依據方程（λ2M+K）x=0的特征值問題求解，這種問題在數學意義上稱為廣義特征問題，得到實頻率- ω2r=λ2r及相對應的實模態。當比例阻尼矩陣滿足方程 C=αM+βK （α，β 為實常數） 時，比例阻尼系統具有復頻率 λ2r，并滿足【1】
且與無阻尼系統具有相等的實模態向量?？梢姳壤枘嵯到y的數值計算量遠低于一般的粘性阻尼系統。當系統的阻尼近似為一般粘性阻尼時，系統的極點與模態都是復值的，系統的特征問題為 （λ2M+λC+K）x=0。這不是一般意義上的特征問題，為了將系統特征問題轉化為數學意義上的特征問題，即實值矩陣的一般特征問題，常將系統方程轉入狀態空間形式，第一種常見的狀態方程形式為 Ay+By=0，其中 【2】
這種類型的狀態矩陣總也不是對稱的，導致它的右狀態向量系總也不是內部正交的，還必須要求 M-1存在。但是，它的優點是振動系統的特征問題轉化為一般矩陣 A 的特征問題，而不是第一種的廣義特征問題。在使用兩種狀態方程的狀態向量正交關系時，必須格外注意它們與系統的左右模態之間的關系，以及考慮系統性質矩陣是否對稱等，否則極易得到錯誤的結論。討論狀態向量的正交性及靈敏度問題的意義在于2N 維狀態向量的前 N 維恰為原振動系統的模態向量。
事實上，實模態在實際中是根本不存在的，而復模態從實驗中是可以鑒別的。目前，在絕大多數利用特征問題靈敏度的結構分析領域中，如模態校正、損傷識別、設計優化、隨機有限元理論等，還很少應用復模態分析，僅依賴于無阻尼實模態分析。我們在實際的實驗性的模態分析中是可以識別復模態的。對于特征方程通常只考慮無阻尼的情形，即使必須面對阻尼特征問題時也只是假定在比例阻尼的情形下進行簡單處理。這一方面由于在結構模型中能否適當地模擬阻尼是個問題，另一方面由于目前復特征問題的靈敏度分析方法還處于不夠實用的階段，因此開發針對復特征值與復特征向量的靈敏度分析的應用算法，是有實踐意義和理論價值的。
在一般的非比例粘性阻尼面前，模態坐標下的運動方程可以通過模態和阻尼矩陣的非對角化條件進行解耦，當然此時結構模態和基頻一般也是復值的。在此過程中，將產生兩條技術線路，一個是在 N 維空間中的近似解法，一個是2N 維空間中的狀態空間法，但當問題的容量加大時，狀態空間法將付出數學方面的巨大努力，不僅如此，這種方法也缺少傳統的模態分析中那種簡樸的物理意義。以上原因導致必須在 N 維空間中進行一些深入的研究去分析非比例阻尼的模態靈敏度等情況。絕大多數的方法是尋求一些優化解法，或者僅僅忽略模態阻尼矩陣非對角化條件，也可以這樣說，沿著這些方法論思考時模態仍然是實值的。不僅如此，除了假設低阻尼的前提下，這些方法的精確性還依賴于多種因素，例如模態間的頻率分隔區間和主動頻率等等。當然在實際中，為了能使用無阻尼實模態理論，常常在分析中合并復模態。
近幾年，隨著對阻尼系統的深入研究，研究者們開始把阻尼系統細化為經典阻尼及非經典阻尼系統，認為當系統的阻尼矩陣可以被系統的剛度和質量矩陣對角化，即模態阻尼陣為對角矩陣時，這個系統稱為經典阻尼系統，否則稱為非經典阻尼系統。對非經典阻尼系統各種振動分析已取得一定的進展，可參見文獻。
2 無阻尼系統的模態靈敏度算法
綜合近30年來的研究成果，可把模態靈敏度分析的方法分為兩大類：直接法 （代數法） 和各種模態展開法。直接法是對特征方程求導后，通過支配方程的系數矩陣的非奇異化處理算法，來直接求解靈敏度的方法。而模態法是指對支配方程中的靈敏度作全模態線性展開，用各種模態的正交及規范化條件求得展開式系數的一類方法。Nelson基于Fox的方法首先提出直接法，對支配方程的系數矩陣 （K0- λ0iM0） 施行消行消列使其非奇異，進而求解靈敏度。因為它只須知道被分析模態的信息，故對于只涉及少數幾個模態攝動的大型問題，它是有效的方法。隨后直接法有了很多的發展，它們可用于保守系統、陀螺系統及一般系統的重特征分析。近年來模態展開法也成為人們研究的熱點，文獻[11]提出了經典模態展開法，用完備模態集的線性組合，通過求解組合系數來表示模態靈敏度。然后分別形成了修正模態法、迭代模態法、移位迭代模態法、冪級數展開法和混合基展開法等改進算法。所有這些方法都屬于無阻尼振動系統的模態靈敏度分析算法。
3 阻尼系統的特征靈敏度分析算法
除了上文中對阻尼系統的分類方法外，還有一些分類方法，例如按系統性質矩陣的對稱與非對稱性分類，或按特征值的性態分為單頻、重頻及密頻系統，再者模態系特點分為完備及虧損兩種情況等。在具體的應用過程中由于系統的復雜性，這些分類方法可能存在多種形式的交叉。
在許多動力問題中，慣性、剛度和阻尼性質不能被對稱陣或自連接的微分算子所表達，這種典型問題出現在主動控制結構中和許多非保守動力系統。例如，路上移動的汽車、按軌跡飛行的導彈、海上船體的運動和飄浮在空中的飛行器等。阻尼和剛度陣的非對稱性經常在陀螺和隨動力系統中出現。對大量的非對稱系統，許多學者已經發展了Fox和Kapoor的方法來決定單頻及重頻阻尼系統的特征靈敏度。
Sondipon和Friswell在假定系統頻率全不相同的 （單頻） 情況下，對線性非對稱系統的模態靈敏度給出了表達式，在理論上取得了很大進步。不過，他們雖然對伴有重頻的保守系統的靈敏度給予一定程度的考慮，但對非比例阻尼系統中阻尼陣的某一單元秩變化后所產生的重頻現象及其靈敏度分析卻表示困難。
Lee等基于對稱阻尼系統單、重頻模態的靈敏度分別作出了論述。Kang- Min Choi等給出了對稱重頻阻尼系統模態的一階乃至高階靈敏度的計算方法。到目前為止，對非對稱、密集模態靈敏度的研究仍是一個亟待開展的課題。
目前，在國內對非對稱阻尼系統的重特征導數的研究方面呈現兩種態勢。一方面是對純矩陣廣義特征問題的重頻模態靈敏度的研究，理論上作了大量分析，只是并未與振動二階系統相聯系，所以與工程實際中大規模應用尚有一定的距離；另一方面的研究是從狀態空間形式出發開展嚴謹的討論，使用全模態推導出 N 維空間中近似計算特征向量導數的方法，但有時推導過程及結論較為繁瑣，不宜于一般工程人員理解和使用?？傊?，對于大型工程問題發展適用的模態靈敏度分析方法仍然十分必要。
在很多結構系統中即使出現密頻或重頻的問題，在討論中一般都假定系統為完備系統來分析模態靈敏度。但在虧損振動系統，這個過程的研究發生了困難，如非比例阻尼矩陣，或在非保守力作用下的結構動力問題，氣動彈性顫振分析，以及結構和控制系統相耦合的問題，其有關的矩陣可能是虧損的。事實上，當非經典阻尼系統的非經典模態對應的頻率的幾何重數小于其代數重數時，就必定會出現虧損系統的特征問題。許多流固耦合動力學問題、自動控制問題中會遇到虧損頻率問題。Luongo甚至構造出一族兩自由度虧損系統。張慧生等提出了一般矩陣的虧損特征對的攝動方法，卻不屬于靈敏度分析方法的范疇。文獻[25]從虧損系統的特征問題出發，利用廣義模態理論建立虧損系統廣義模態向量系進行模態靈敏度的分析，以實現系統的優化與控制，但該方法沒有唯一地確定模態靈敏度的展開式系數。因為對虧損系統的認識和研究仍然處于發展階段，所以較為成熟及操作性強的靈敏度分析方法仍亟待開發。
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