聲學CT溫度場測量技術根據多路徑聲波傳播時間數據,推算被測區域的溫度分布,屬于“由效果反求原因”的逆問題研究,具有非接觸不干擾被測溫度場、測溫范圍廣和測量對象空間范圍大等優點.聲學高溫計是該技術在工業爐溫度場監測中的典型應用,而應用該技術監測深海熱液口溫度分布和倉儲糧食溫度分布,則是近幾年開始的新的應用研究.目前,國內外聲學CT溫度場測量技術的研究普遍針對二維層面進行,但在某些場合,如倉儲糧食溫度分布監測則需要進行三維溫度場重建.
為了測量一個三維空間\\(或二維層面\\)的溫度分布,需將該空間\\(或層面\\)劃分成若干個三維\\(或二維\\)小區域,或稱像素,每個小區域重建出一個溫度,相當于一個溫度采樣點.最小二乘法是目前聲學CT溫度場測量時廣泛采用的一種重建算法.該算法要求被測區域劃分的小區域數小于聲波路徑數,因此,重建出的溫度點非常少,且邊緣像素中心點所界定的區域比傳感器所界定的區域小許多.采用適當的內插和外推運算,可獲得被測區域細致的溫度描述.目前普遍采用的是三次樣條插值法,但三次樣條法的內插精度雖較高,但外推精度通常很低.
克里金法\\(Kriging\\)是20世紀中后期以來應用最廣泛的地理空間插值方法.與傳統的插值技術相比,Kriging模型有以下優點:1\\)Kriging模型以己知信息的動態構造為基礎,使用估計點附近的某些信息,插值所需條件較少;2\\)Kriging模型同時具有局部和全局的統計特性,可以分析已知信息的趨勢和動態,能夠進行外推插值;3\\)Kriging法作為線性回歸分析的一種改進技術,包含了線性回歸部分和非參數部分,其中,非參數部分被視作隨機過程的實現,可以使插值具有較高的精度和保真度.
為了提高三維溫度場聲學CT重建精度,本文研究了基于最小二乘法和克里金插值的三維溫度場重建,即先用最小二乘法實現被測三維區域的少量像素重建,然后用克里金法對所獲得的溫度場進行內插和外推運算,從而得到整個被測區域的細致的溫度描述.
1、聲學CT溫度場重建原理
聲波在氣體介質中的傳播速度是氣體溫度的第一函數.氣體介質中的聲速c、氣體介質的絕對溫度T和由氣體組成成分決定的聲音常數z之間的關系可表示為
聲學CT法測量溫度場需要在被測區域周圍盡可能均勻地設置多個聲波收發器.任一聲波收發器發射的聲波信號,可被所有的聲波收發器所接收,這樣就形成穿過被測區域的多條有效聲波傳播路徑.用互相關等時延估計法測量出聲波在各有效聲波路徑上的傳播時間,采用適當的重建算法,可由這些聲波傳播時間及已知的聲波收發器位置重建出被測區域的聲速分布,進而利用聲速與溫度的關系,重建出被測區域的溫度分布.
2、最小二乘法溫度場重建原理
聲波從發射器到接收器的傳播時間可表示為
式中:a為聲速的倒數;ds為聲音傳播路徑的微分.
將被測區域劃分成n個小區域,假設聲速在各小區域內是均勻分布的,并用ai表示第i個小區域的聲速的倒數,用ΔSik表示第k\\(k=1,2,…,m,m為聲波路徑總數\\)條聲波路徑穿過第i個小區域的長度,則聲波在第k條路徑的傳播時間可表示為
如果用Pk表示聲波在第k條路徑上傳播時間的測量值,那么Dk和Pk之間的誤差為
則式\\(4\\)可表示為P-SA=ε\\(5\\)當傳感器放置的位置及測量區域分割的方法確定后,即可求得重建矩陣S.式\\(5\\)的最小二乘解為^A=\\(STS\\)-1STP\\(6\\)這樣便可為每個小區域求出一個聲速的倒數,再利用聲速與溫度的關系求出對應的溫度值.
3、Kriging模型
Kriging模型是一種基于統計理論的插值技術.通常Kriging模型變量x=[x1,x2,…,xw]與真實響應y之間的關系可表示為y=λf\\(x\\)+μ\\(x\\)\\(7\\)式中:f\\(x\\)為回歸函數\\(一般采用多項式形式\\);λ為回歸系數;μ\\(x\\)為均值為0、方差為σ2的隨機函數.μ\\(x\\)的協方差矩陣為cov[μ\\(x\\(i\\)\\),μ\\(x\\(j\\)\\)]=σ2W[R\\(x\\(i\\),x\\(j\\)\\)]\\(8\\)式中:i,j=1,2,…,ns,ns為采樣點數;W為沿對角線對稱的相關矩陣;R\\(x\\(i\\),x\\(j\\)\\)為采樣點x\\(i\\)與x\\(j\\)的相關函數.相關函數常用平穩高斯函數表示,即
式中,^σ2和W為參數θd的函數.任意一個θd的值都能生成一個插值模型,最終的Kriging模型是通過求解式\\(13\\)的無約束非線性最優問題得到的.利用Matlab中Kriging插值工具箱的dacefit和predictor函數,可實現Kriging插值運算.函數dacefit根據試驗數據點建立Kriging模型,而函數predictor根據Kriging模型計算待測點的響應值.
構建Kriging模型時要提供回歸模型和相關函數句柄.Kriging模型工具箱提供了3種回歸模型和6種相關函數.回歸模型有常數模型regpoly0、一次多項式模型regpoly1和二次多項式模型regpoly2;相關函數有指數函數、通用指數函數、gauss函數、線性函數、spherical函數和三次樣條函數.構建Kriging模型時還要給定相關函數參數向量θ的初值theta0,通常其長度等于維數.但是如果所解決問題為各向同性問題,也可以取為標量,這樣優化就會減小.theta0需要用戶給定,其取值會影響到模型的精確度,一般要經過多次運算才能確定一個合適的值.本文取回歸模型為regpoly1,相關函數為gauss函數,theta0=0\ue0104.
4、三維溫度場重建
假設被測的三維空間為10m×10m×10m的正方體區域,32個聲波收發器放置在正方體的每個頂點以及每條棱邊的三等分間隔處,布置如圖1所示
.
將被測空間劃分為4×4×4=64個像素后,可計算出重建矩陣S.利用測量或計算機仿真的方法可獲得聲波在這些路徑上的傳播時間,用這些傳播時間和最小二乘法,可為每個像素重建出一個溫度值,并將該溫度值賦予各像素的中心點.僅用64個像素是無法細致地描繪出一個復雜的溫度場分布的,本文采用克里金插值法來獲得溫度場中更多位置的溫度值.為了評價本文所提方法的有效性,對式\\(14\\)、\\(15\\)所描述的單峰和雙峰模型溫度場進行了仿真重建,并采用最大絕對誤差Emax、平均溫度的相對誤差Eave和均方根誤差Erms來評價溫度場的重建精度.
式中:n為被測區域所劃分的像素的總數;T\\(j\\)和^T\\(j\\)分別為模型溫度場和重建溫度場第j個像素中心點的溫度;Tave和^Tave分別為模型溫度場和重建溫度場的平均溫度.
表1給出了最小二乘法獲得的4×4×4=64個像素描述的溫度場重建誤差,該溫度場的描述范圍為7\ue0105m×7\ue0105m×7\ue0105m.由表1可以看出,雙峰模型的重建誤差明顯比單峰模型的大,這主要是由于雙峰溫度場分布遠比單峰溫度場復雜.
目前普遍采用三次樣條法來獲得更細致的溫度場描述,因此,本文同時提供克里金法和三次樣條法對最小二乘法重建結果進行細化描述.表2給出了用克里金法和三次樣條法內插獲得的20×20×20=8000個像素描述的溫度場重建誤差.該溫度場的描述范圍為7\ue0105m×7\ue0105m×7\ue0105m.
表3給出了用克里金法和三次樣條法通過內插和外推獲得的21×21×21=9261個像素描述的溫度場重建誤差.該溫度場的描述范圍已擴展至10m×10m×10m.圖3給出了9261個像素描述的模型溫度場以及克里金法和三次樣條法細致化后的重建溫度場.
由表2、3和圖3可以看出:1\\)三次樣條法雖具有較高的內插精度,但其精度明顯低于克里金法所獲得的精度;2\\)當涉及到外推運算時,三次樣條法的外推數據誤差非常大,外推數據不具有實用價值,而克里金法的外推數據仍有較高的精度,最小二乘法與克里金法相結合,可獲得10m×10m×10m范圍內溫度場的細致描述.
5、結論
本文提出的最小二乘法和克里金插值相結合的重建方法,可有效克服最小二乘法重建出的溫度點非常少,且邊緣像素中心點界定區域比傳感器界定區域小許多給被測溫度場細致描述帶來的嚴重障礙.將最小二乘法和克里金插值相結合,可實現三維溫度場的更高精度聲學CT重建.
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