在 Hawking 證明黑洞具有熱輻射之前，Beken－stein 等人就發現，若將黑洞的表面引力和視界面積類比于溫度和熵時，黑洞力學四定律與普通熱力學四定律將非常類似。但是 Hawking 認為這只是形式上的類似，因為黑洞不能被看作普通的熱力學系統，不能簡單的用普通熱力學定律來描述。自從Bekenstein 和 Hawking 分別證明黑洞的熵與其視界面積成正比之后，黑洞熵的統計起源成為幾十年來人們研究的一個熱點。

為了對黑洞統計熵給出一個滿意的解釋，各種探求黑洞統計熵的方法應運而生。其中用的最多的是 1993 年諾貝爾物理學獎獲得者 G ′t Hooft 提出的 brick-wall 模型，用此方法得到了各種時空背景下的黑洞標量場和 Dirac 場的統計性質，發現黑洞熵就是其外部量子場的熵，從而通過計算外部量子場的狀態數，并選取合適的截斷因子，能得到與黑洞視界面積成正比的 Bekenstein-Hawking\\(B-H\\)熵。 同時為了避免在視界附近的態密度發散以及計算方便，在計算中不得不引入人為截斷因子和采用小質量近似。 近年來有學者對 brick-wall 模型進行了改進，提出了黑洞熵的主要貢獻者是黑洞視界外的薄層場的熵。用此改進的方法克服了紅外截斷和人為引入，但是對紫外截斷仍無法克服。

我們通過引入廣義測不準關系對態密度的修正而計算黑洞的統計熵，很自然的避免了人為引入截斷以及小質量近似。將廣義測不準關系引入到黑洞量子統計熵的計算，是基于研究黑洞量子統計熵，確切的說是研究黑洞的量子效應，此時研究黑洞的輻射粒子或吸收粒子則必須考慮測不準關系。我們知道，當考慮引力作用時海森堡測不準關系不再滿足，取而代之的是廣義測不準關系。同樣我們將此方法推廣到對稱的 dilatonic 黑洞不是微不足道，其意義在于檢驗將廣義測不準關系引入量子統計熵計算的正確與否，另外對此方法是否可以避免人為截斷進行確認。

本文的安排如下：正文第一部分，將利用廣義測不準關系對態密度的修正對球對稱 dilatonic 黑洞的量子統計的玻色場熵進行計算，在計算中所取的積分區間為從黑洞的視界面到無窮遠觀測者，測得的具有相同固有輻射溫度的超曲面。且兩曲面的固有厚度具有廣義測不準關系的最小長度量級。正文第二部分，我們用同樣的方法來計算費米場中的量子統計熵。最后給出總結與結論。在本文中取C = 攸 =G = KB= 1。

1、 球對稱 dilatonic 黑洞

球對稱 dilatonic 黑洞線元：

由文獻知，無窮遠靜止觀測者，測得的固有輻射溫度為

由上式可得玻色場的熵為

在上式中應用了粒子的能量、動量和質量的關系ω2蛐 λ2= p2+ m2, m 是粒子的靜止質量。\\(11\\) 式對 ρ的積分在視界附近。 而在視界附近-gtt\\(ρ+\\)→0, 于是\\(11\\)式可化為

時空為球對稱時，無窮遠靜止觀者，測得黑洞視界外任意 R\\(R > r+\\)上的固有輻射溫度是相同的。所以對于時空為球對稱黑洞，在計算黑洞視界附近的量子統計熵時，取的積分區間是[r+, R = r++ ε]，其中為一正的小量。換句話說，所取的積分區間是從黑洞的視界到無窮遠靜止觀這，測得黑洞視界外具有相同輻射溫度的超曲面。由\\(4\\)和\\(5\\)式，我們知道在視界外，當 R 滿足

時，無窮遠觀者，觀測到的固有輻射溫度是相同的。r+是黑洞視界位置，滿足 gtt′ \\(r+\\) = 0。在視界附近gtt′ \\(r\\) ≈ \\(gtt′\\)′\\(r+\\)\\(r - r+\\)。由度規\\(1\\)知, 最小長度為：

則玻色熵的級數表達式\\(19\\)中的主導項與視界面積成正比且系數為 1 蛐 4，滿足 B-H 熵。對黑洞熵修正值的探討是當前研究的熱點之一，人們利用各種方法來研究對黑洞熵的修正, 結果與其在量級上是一致的，且級數收斂。

2、 費米場的熵

由此, 我們可得黑洞視界附近費米場對應的熵為

則費米熵的級數表達式中的主導項與視界面積成正比, 滿足 B-H 熵。

3、 總結

在本文中，利用廣義測不準關系對態密度的修正，計算了黑洞視界附近玻色場與費米場的量子統計熵。 在沒有人為引入截斷和小質量近似的情況下，得到了黑洞統計熵的級數表達式。我們發現，當廣義測不準關系中引入的無量綱常數 λ 滿足\\(20\\)或\\(24\\)式時，黑洞量子統計熵級數表達式中的主導項與視界面積成正比，且滿足 B-H 熵。通過我們的計算同時知道在球對稱的 dilatonic 黑洞中，無量綱常數 λ 的值是與黑洞度規的 dilatonic 系數有關的。 計算結果表明，黑洞 B-H 熵與視界面積成正比這一定理，是與引力背景沒有關系的，是普適的。另外，通過利用態密度修正的量子統計的方法計算球對稱 dilatonic 黑洞 B-H 熵，克服了求解波動方程的困難，又提出對球對稱時空計算黑洞熵的積分區間為：黑洞視界面與無窮遠觀測者測得視界外附近具有相同固有輻射溫度的超曲面。