諧振腔是激光器系統的一個最基本的元件，決定了光束的質量。激光器產生的光束的聚焦特性和傳輸特性與激光諧振腔的光場模式密切相關。因此，激光諧振腔光場模式的計算對激光器的設計有著重要的意義，而腔鏡傾斜與面型誤差是直接影響激光諧振腔系統性能的兩個重要因素，文獻［１］計算了腔鏡變形對平凹穩腔激光振蕩模式的影響，張增寶等人研究了腔鏡失調與面型誤差對氧碘化學激光器折疊虛共焦非穩腔光場的影響。近年，高斯反射鏡及其傾斜對諧振腔的影響也被廣泛研究。但上述工作主要是針對駐波腔激光器進行的研究。環形激光器主要應用在高精度的角度測量中，高精度的應用決定了其對光束質量的高要求。袁杰等人利用光學矩陣的方法研究了角度和軸向移動擾動引起的環形腔光線的位置和角度誤差，但該方法利用的是幾何光學理論，無法計算與物理光學有關的參量。因此，為提高光束質量和改進調腔方法，本文利用物理光學軟件研究腔鏡傾斜對平面環形腔振蕩模式的影響。
１Ｆｏｘ－Ｌｉ迭代法
諧振腔的分析計算方法主要有傳輸線理論分析法、場理論分析法、迭代法、微擾法、時域有限差分法以及有限元法等。Ｆｏｘ－Ｌｉ迭代法雖然比較繁瑣，但卻具有普遍的適用性，它可以用來模擬激光在諧振腔中的渡越過程，原則上能夠計算任何幾何形狀的開腔中的自再現模。ＧＬＡＤ軟件的建模思想就是應用Ｆｏｘ－Ｌｉ迭代法。它使用復數的振幅來描述波前，并對光束的整個傳輸路徑做衍射模型，可以處理光學系統設計中無法忽略的衍射效應。
將菲涅耳－基爾霍夫衍射積分公式應用于平面環形諧振腔，表達式為式中：
Ｕ１（ｘ１，ｙ１）為鏡Ｓ１上的場分布；Ｕ２（ｘ，ｙ）為Ｕ１（ｘ１，ｙ１）經腔內一次渡越在鏡Ｓ２上生成的場；ρ為鏡面上點 （ｘ１，ｙ１）到點 （ｘ，ｙ）的距離；θ為ρ與點 （ｘ１，ｙ１）法線的夾角；ｋ為波數。
建立如圖１所示坐標系，在第ｉ次循環中，鏡片Ｍ１的光場為Ｕｉ（ｘ１，ｙ１，ｚ１），由式（１）可得鏡片Ｍ２的光場Ｕｉ（ｘ２，ｙ２，ｚ２）、鏡片Ｍ３的光場Ｕｉ（ｘ３，ｙ３，ｚ３）及鏡片Ｍ４的光場Ｕｉ（ｘ４，ｙ４，ｚ４）分別為第ｉ＋１次循環中，鏡片Ｍ１的光場Ｕｉ＋１（ｘ１，ｙ１，ｚ１）為用式（２）～（５）進行多次循環，當滿足時，光波在腔內實現自再現，Ｕｉ（ｘ１，ｙ１，ｚ１），Ｕｉ（ｘ２，ｙ２，ｚ２），Ｕｉ（ｘ３，ｙ３，ｚ３），Ｕｉ（ｘ４，ｙ４，ｚ４）分別為自再現模在鏡Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，Ｍ４處的光場分布。以上各式中ρ１為鏡Ｍ１上點 （ｘ１，ｙ１，ｚ１）到鏡Ｍ２上點 （ｘ２，ｙ２，ｚ２）的距離，θ１為ρ１與鏡Ｍ１上點 （ｘ１，ｙ１，ｚ１）處法線的夾角，ρ２為鏡Ｍ２上點 （ｘ２，ｙ２，ｚ２）到鏡Ｍ３上點 （ｘ３，ｙ３，ｚ３）的距離，θ２為ρ２與鏡Ｍ２上點 （ｘ２，ｙ２，ｚ２）處法線的夾角，ρ３為鏡Ｍ３上點 （ｘ３，ｙ３，ｚ３）到鏡Ｍ４上點 （ｘ４，ｙ４，ｚ４）的距離，θ３為ρ３與鏡Ｍ３上點 （ｘ３，ｙ３，ｚ３）處法線的夾角，ρ４為鏡Ｍ４上點 （ｘ４，ｙ４，ｚ４）到鏡Ｍ１上點 （ｘ１，ｙ１，ｚ１）的距離，θ４為ρ４與鏡Ｍ４上點 （ｘ４，ｙ４，ｚ４）處法線的夾角，γ為復常數。
２結果與分析
設置諧振腔參數：Ｍ１和Ｍ２為平面鏡，Ｍ３和Ｍ４為球面鏡，曲率半徑為８ｍ。各鏡面半徑均為５ｍｍ，各邊腔長８．４ｃｍ，小孔光闌半徑０．７ｍｍ，波長６３２．８ｎｍ。用ＧＬＡＤ軟件對上述諧振腔進行建模，初始光場設置為平面波。對于順時針光，理想情況下小孔光闌左表面的光強分布如圖２所示。
ＧＬＡＤ軟件是將偏差通過命令直接加在光束波振面上，所以下文所給偏差均指鏡面偏差對光束波振面的影響偏差大小。一般來說，鏡面各點偏差是光束波振面對應點偏差的０．５倍。
本文只考慮鏡面Ｍ３偏差的影響，同時只考慮順時針光束。對于逆時針光，在偏差不大的情況下，Ｍ３鏡面偏差對其影響與對順時針光束影響基本相同。鏡面傾斜分為繞ｘ軸傾斜和繞ｙ軸傾斜，正方向符合右手定則，傾斜大小由鏡面偏離理想位置的角度大小定義。
圖３給出鏡Ｍ３繞ｘ軸傾斜０．２ｍｒａｄ時，小孔光闌左表面的光場強度分布。傾斜為－０．２ｍｒａｄ情況下的光場強度分布與傾斜為０．２ｍｒａｄ情況下的光場強度分布關于ｙ＝０平面對稱。與圖２對比可以看出鏡Ｍ３繞ｘ軸傾斜時，光強峰值點在ｙ軸方向上向鏡面邊沿偏移，光場偏離理想高斯基模。圖４和圖５分別定量給出光強峰值點和諧振腔損耗隨傾斜的變化。從圖４和圖５中可以看出隨著鏡Ｍ３繞ｘ軸傾斜增加，光強峰值點在ｙ軸方向上向鏡面邊沿偏移增加，腔損耗增大。
圖６給出鏡Ｍ３繞ｙ軸傾斜０．２ｍｒａｄ時，小孔光闌左表面的光場強度分布。傾斜為－０．２ｍｒａｄ情況下的光場強度分布與傾斜為０．２ｍｒａｄ情況下的光場強度分布關于ｘ＝０平面對稱。光強峰值點和諧振腔損耗隨傾斜大小的變化分別如圖７和圖８所示。從圖中可以看出隨著鏡Ｍ３繞ｙ軸傾斜增加，光強峰值點在ｘ軸方向上向鏡面邊沿偏移增加，腔損耗增大。
對比兩組傾斜偏差仿真結果可知，在相同傾斜偏差下，鏡Ｍ３繞ｘ軸傾斜偏差對光場的影響要比繞ｙ軸傾斜偏差對光場的影響大。由于在環形激光器中一圈的增益系數小于０．０３，因此傾斜大小要控制在０．１ｍｒａｄ之內，即鏡面傾斜要在１０″以內。
３結論
本文用ＧＬＡＤ軟件對平面環形腔進行建模，仿真計算了鏡面傾斜條件下的光場分布、光場峰值點偏移及諧振腔損耗。結果表明：在相同傾斜偏差下，鏡Ｍ３繞ｘ軸傾斜偏差對光場的影響要比繞ｙ軸傾斜偏差對光場的影響大；隨著鏡面傾斜的增加，光場峰值點向鏡面邊沿偏移增加，光束質量變差，腔損耗增大；為了獲得較理想的基模高斯光場，鏡面傾斜要控制在１０″以內。
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