一、引 言

流形是 20 世紀數學有代表性的基本概念，它集幾何、代數、分析于一體，成為現代數學的重要研究對象。 在數學中，流形作為方程的非退化系統的解的集合出現，也是幾何的各種集合和允許局部參數化的其他對象?！?〕53物理學中，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。

流形是局部具有歐氏空間性質的拓撲空間，粗略地說，流形上每一點的附近和歐氏空間的一個開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結果。 從整體上看，流形具有拓撲結構，而拓撲結構是“軟” 的， 因為所有的同胚變形會保持拓撲結構不變，這樣流形具有整體上的柔性，可流動性，也許這就是中文譯成流形（該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入）的原因。

流形作為拓撲空間，它的起源是為了解決什么問題？ 是如何解決的？ 誰解決的？ 形成了什么理論？這是幾何史的根本問題。 目前國內外對這些問題已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基礎上，對流形的歷史演變過程進行了較為深入、 細致的分析，并對上述問題給予解答。

二、流形概念的演變

流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 （C.F.Gauss,1777-1855）的內蘊幾何思想 ,黎曼（C.F.B.Riemann,1826-1866）繼承并發展了的高斯的想法，并給出了流形的描述性定義。 隨著集合論和拓撲學的發展，希爾伯特（D.Hilbert,1862-1943）用公理化方案改良了黎曼對流形的定義， 最終外爾（H.Weyl,1885-1955）給出了流形的嚴格數學定義。

1. 高斯-克呂格投影和曲紋坐標系

十八世紀末及十九世紀初，頻繁的拿破侖戰爭和歐洲經濟的發展迫切需要繪制精確的地圖，于是歐洲各國開始有計劃地實施本國領域的大地測量工作。 1817 年，漢諾威政府命令高斯精確測量從哥廷根到奧爾頓子午線的弧長， 并繪制奧爾頓的地圖，這使得高斯轉向大地測量學的問題與實踐。 高斯在繪制地圖中創造了高斯-克呂格投影， 這是一種等角橫軸切橢圓柱投影，它假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各 3°或 1.5°經線范圍內的經緯線投影到橢圓柱面上， 然后將橢圓柱面展開成平面。

采用分帶投影的方法，是為了使投影邊緣的變形不致過大。 當大的控制網跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算。 高斯-克呂格投影相當于把地球表面看成是一塊塊平面拼起來的， 并且相鄰投影帶的坐標可以進行換算。 這種繪制地圖的方式給出了“流形”這個數學概念的雛形。

大地測量的實踐導致了高斯曲面論研究的豐富成果。 由于地球表面是個兩極稍扁的不規則橢球面，繪制地圖實際上就是尋找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用復變函數，得出兩個曲面之間存在保角映射的充要條件是兩個曲面的第一類基本量成比例。 高斯關于這一成果的論文《將一給定曲面投影到另一曲面而保持無窮小部分相似性的一般方法》 使他獲得了 1823 年哥本哈根科學院的大獎，也使他注意到當比例常數為 1 時，一個曲面可以完全展開到另一個曲面上。 高斯意識到這個成果的重要性，在論文的標題下面寫下了一句話：“這些結果為重大的理論鋪平了道路。 ”〔8〕189這里重大的理論就是高斯后來建立的內蘊幾何學。

全面展開高斯的內蘊幾何思想的是他 1827 年的論文《關于曲面的一般研究》，這是曲面論建立的標志性論述?！?〕163高斯在這篇文章中有兩個重要創舉：第一，高斯曲率只依賴于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，測地三角形內角和不一定等于 180°，它依賴于三角形區域的曲率積分。 高斯的發現表明，至少在二維情況下可以構想一種只依賴于第一基本形式的幾何，即曲面本身就是一個空間而不需要嵌入到高維空間中去?！?〕32,〔4〕308高斯在這兩篇論文中都使用曲紋坐標（u,v）表示曲面上的一個點，這相當于建立了曲面上的局部坐標系。 突破笛卡爾直角坐標的局限性是高斯邁出的重要一步，但問題是：曲紋坐標只適用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的點都有坐標表示，就需要在曲面上建立若干個局部坐標系，那么這些坐標系是否彼此協調一致？ 這是高斯的幾何的基礎。 高斯當時不具備足夠的數學工具來發展他的幾何構想，但高斯對空間的認識深刻地影響了黎曼。

2. 黎曼的“關于幾何基礎的假設”

黎曼在 1851 年的博士論文 《單復變函數的一般理論》中，為研究多值解析函數曾使用黎曼面的概念，也就是一維復流形，但流形是什么還沒有定義。 在高斯的幾何思想和赫巴特（J.F.Herbart,1776-1841）的哲學思想的影響下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了著名演講《關于幾何基礎的假設》，演講中他分析了幾何的全部假設，建立了現代的幾何觀?！?〕2全文分三部分，第一部分是 n 維流形的概念，第二部分是適用于流形的度量關系，第三部分是對空間的應用。

黎曼在開篇中提到：“幾何學事先設定了空間的概念， 并假設了空間中各種建構的基本原則。 關于這些概念，只有敘述性的定義，重要的特征則以公設的形態出現。 這些假設（諸如空間的概念及其基本性質）彼此之間的關系尚屬一篇空白；我們看不出這些概念之間是否需要有某種程度的關聯，相關到什么地步，甚至不知道是否能導出任何的相關性。 從歐幾里得到幾何學最著名的變革家雷建德，這一領域無論是數學家還是哲學家都無法打破這個僵局。 這無疑是因為大家對于多元延伸量的概念仍一無所知。 因此我首先要從一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411從開篇中我們可以看到黎曼演講的目的所在：

建立空間的概念，因為這是幾何研究的基礎。 黎曼為什么要建立空間的概念？ 這與當時非歐幾何的發展有很大關系。 羅巴切夫斯基（N.L.Lobatchevsky,1793-1856） 和波約 （J.Bolyai,1802-1860） 已經公開發表了他們的非歐幾何論文，高斯沒有公開主張非歐幾何的存在，但他內心是承認非歐幾何并做過深入思考的。 然而就整個社會而言，非歐幾何尚未完全被人們接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空間是什么這個問題來統一已經出現的各種幾何；并且不止如此，黎曼主張一種幾何學的全局觀：作為任何種類的空間里任意維度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了 n 維流形的概念。 他稱 n 維流形為 n 元延伸量，把流形分為連續流形與離散流形，他的研究重點是把連續流形的理論分為兩個層次，一種是與位置相關的區域關系，另一種是與位置無關的大小關系。 用現代術語來講，前者是拓撲的理論，后者是度量的理論。 黎曼是如何構造流形呢？他的造法類似于歸納法，n+1 維流形是通過 n 維流形同一維流形遞歸地構造出來的； 反過來，低維流形可以通過高維流形固定某些數量簡縮而成。 這樣每一個 n 維流形就有 n 個自由度，流形上每一點的位置可以用 n 個數值來表示，這 n 個數值就確定了一個點的局部坐標。 黎曼這種構造流形的方法顯然是受到赫巴特的影響。 赫巴特在《論物體的空間》中提到：

“ 從一個維度前進到另一個維度所依據的方法，很明顯是一個始終可以繼續發展的方法，然而現在還沒有人會想到按空間的第三個維度去假設空間的第四個維度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的啟發并突破了三維的限制按遞歸的方法構造了 n 維流形， 這種構造方法體現了幾何語言高維化的發展趨勢。 從本質上講， 黎曼的 “流形” 概念與當時格拉斯曼 （H. G.Grassmann,1809-1877） 的 “ 擴張 ” 概念和施萊夫利（L. Schlafli,1814-1895）的 “連續體 ”概念基本一致 .〔6〕83流形應具有哪些特征呢？ 黎曼提到：

“把由一個標記或者由一條邊界確定的流形中的特殊部分稱為量塊（Quanta），這些量塊間數量的比較在離散情形由數數給出，在連續情形由測量給出。 測量要求參與比較的量能夠迭加，這就要求選出一個量，作為其他量的測量標準。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量塊體現了現在拓撲學中的鄰域概念的特征，“參與比較的量能夠迭加”則是要求兩個量塊重疊的部分有統一的測量標準， 即保證任意兩個局部坐標系的相容性，這在后來由希爾伯特發展為 n 維流形局部與 n 維歐氏空間的同胚。 黎曼這種引入點的坐標的方法并不是很清晰的，這種不清晰來自他缺乏用鄰域或開集來覆蓋流形進而建立局部坐標系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼討論了流形上容許的度量關系。 他在流形的每一點賦予一個正定二次型，借助高斯曲率給出相應的黎曼曲率概念。 進一步，黎曼陳述了一系列曲率與度量的關系。 曲面上的度量概念， 等價于在每一點定義一個正定的二次型，亦稱為曲面的第一基本形式。 自高斯以來，第一基本形式的內蘊幾何學幾乎一直占據著微分幾何的中心位置。 從后來的希爾伯特和外爾的流形的定義可看出，他們都延續了高斯的內蘊幾何思想。

3. 希爾伯特的公理化方法

從 19 世紀 70 年代起，康托爾（G. Cantor,1845-1918）通過系統地研究歐幾里得空間的點集理論，創立了一般集合論，給出了許多拓撲學中的概念。 康托爾的研究為點集拓撲學的誕生奠定了基礎，這使得希爾伯特能夠利用一種更接近于拓撲空間的現代語言發展流形的概念。 希爾伯特在 1902 年的著作《幾何基礎》中引進了一個更抽象的公理化系統，不但改良了傳統的歐幾里得的《幾何原本》，而且把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。在這部著作中他嘗試以鄰域定義二維流形（希爾伯特稱之為平面， 而把歐氏平面稱為數平面），提出了二維流形的公理化定義：

“平面是以點為對象的幾何， 每一點 A 確定包含該點的某些子集，并將它們叫做點的鄰域。

（1） 一個鄰域中的點總能映射到數平面上某單連通區域，在此方式下它們有唯一的逆。 這個單連通區域稱為鄰域的像。

（2）含于一個鄰域的像之中而點 A 的像在其內部的每個單連通區域， 仍是點 A 的一個鄰域的像。若給同一鄰域以不同的像，則由一個單連通區域到另一個單連通區域之間的一一變換是連續的。

（3）如果 B 是 A 的一個鄰域中的任一點 ,則此鄰域也是 B 的一個鄰域。

（4）對于一點 A 的任意兩個鄰域 ,則存在 A 的第三個鄰域，它是前兩個鄰域的公共鄰域。

（5）如果 A 和 B 是平面上任意兩點 ,則總存在A 的一個鄰域它也包含 B. ”

〔12〕150可以看出在希爾伯特的定義中，（1）和（2）意味著在平面（二維流形）的任意一點的鄰域到數平面（歐氏平面）的某單連通區域上都能建立同胚映射。 （3）-（5）意圖是要在平面（二維流形）上從鄰域的角度建立拓撲結構。 希爾伯特的定義延續了黎曼指明的兩個方向：流形在局部上是歐氏的（這一點黎曼已經以量塊迭加的方式提出），在整體上存在一個拓撲結構。 這個拓撲結構希爾伯特顯然要以公理的方法建立 （這一工作后來由豪斯道夫完成，豪斯道夫發展了希爾伯特和外爾的公理化方法，在 1914 年的著作《集論基礎》 中以鄰域公理第一次定義了拓撲空間），〔13〕249但與豪斯道夫的鄰域公理相比， 他的定義還不完善，比如（3）中描述的實際上是開鄰域。 另外，他沒有提流形須是一個豪斯道夫空間。希爾伯特已經勾勒出流形的基本框架，隨著拓撲學的發展，外爾完善了希爾伯特的工作，給出了流形的現代形式的定義。

4. 外爾對流形的現代形式的定義

外爾是希爾伯特的學生，是二十世紀上半葉最偉大的數學家、物理學家和哲學家之一。 從 1911 到1912 年，外爾在哥廷根大學開設一門黎曼函數論的課程，他發現黎曼面還沒有一個恰當的定義，以前的研究都依靠直觀，許多證明也不嚴格，于是他決心利用希爾伯特公理化的方法改造函數論，這首先要給黎曼面一個嚴格的、內在的拓撲定義?！?4〕63外爾在查閱了希爾伯特的論文后，并利用了布勞威爾（L.E.Brouwer,1881-1966）關于 n 維空間的開集間的雙連續映射下的維數不變性的結果， 于 1913 年首先在他的名著《黎曼面的思想》中內在地定義了二維流形，這成為日后定義微分流形的基礎。

下面是外爾給出的二維流形的定義：

“定義： 稱 F 是一個二維流形， 若滿足以下條件：

（a） 給定一個稱為”流形 F 上的點“的集合，對于流形 F 中的每一點 p,F 的特定的子集稱為 F 上點 p 的鄰域。點 p 的每一鄰域都包含點 p,并且對于點 p 的任意兩個鄰域，都存在點 p 的一個鄰域包含于點 p 的那兩個鄰域中的每一個之內。 如果 U0是點 p0的一個鄰域，并且點 p 在 U0內，那么存在點 p的一個鄰域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的兩個點， 那么存在 p0的一個鄰域和 p1的一個鄰域使這兩個鄰域無交，也就是這兩個鄰域沒有公共點。

（b） 對于流形 F 中每一定點 p0的每一個鄰域U0,存在一個從 U0到歐氏平面的單位圓盤 K0（平面上具有笛卡爾坐標 x 和 y 的單位圓盤 x2+y2<1）內的一一映射，滿足（1）p0對應到單位圓盤的中心；（2）如果 p 是鄰域 U0的任意點，U 是點 p 的鄰域且僅由鄰域 U0的點組成， 那么存在一個以 p 的像 p′作為中心的圓盤 K, 使得圓盤 K 中的每一點都是 U中一個點的像；（3）如果 K 是包含于圓盤 K0中的一個圓盤，中心為 p′，那么存在流形 F 上的點 p 的鄰域 U,它的像包含于 K. ”〔15〕17可以看出，（a）從鄰域基的角度定義了 F 是一個豪斯道夫空間。 （b）中的映射為一一的、雙向連續的（即同胚）映射，這樣（b）定義了 F 中任意一點都有一個鄰域同胚于歐氏空間中的一個開集。 外爾給出的這個定義正是現代形式的流形的定義，盡管外爾的定義是針對二維的情形，但本質上給出了流形精確的數學語言的定義， 并且推廣到高維沒有任何困難。

一般認為，高維流形的公理化定義由維布倫（O.Veblen,1880-1960） 和 懷 特 黑 德 （A.N.Whitehead,1861-1947）于 1931 和 1932 年給出，即把流形作為帶有最大坐標卡集和局域坐標連續以及各階可微變換的點集。 實際上，這種看法沒有足夠重視外爾1919 年對黎曼講演的注釋， 特別是未能利用外爾1925 年的長文《黎曼幾何思想》。 事實上，除了未對高階微分結構予以明確區分外，外爾的注釋和長文中實質上包含了高維微分流形的定義。

三、流形理論的發展

我們上面提到的流形指拓撲流形，它的定義很簡單，但很難在它上面工作，拓撲流形的一種---微分流形的應用范圍較廣。 微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐氏空間中曲線和曲面概念的推廣。 可以在微分流形上賦予不同的幾何結構（即一些特殊的張量場），對微分流形上不同的幾何結構的研究就形成了微分幾何不同的分支。 常見的有：

1. 黎曼度量和黎曼幾何

仿緊微分流形均可賦予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度、面積、體積等幾何量，這種幾何稱為黎曼幾何。黎曼這篇《關于幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。 但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來，黎曼幾何只限于小范圍的理論。 大約在 1925 年霍普夫（H.Hopf,1894-1971）才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關系進行研究。 隨著微分流形精確概念的確立，特別是嘉當（J.Cartan,1869-1951）在 20世紀 20 年代開創并發展了外微分形式與活動標架法， 李群與黎曼幾何之間的聯系逐步建立了起來，并由此拓展了線性聯絡及纖維叢的研究。

2. 近復結構和復幾何

微分流形 M 上的一個近復結構是 M 的切叢TM 的一個自同構，滿足 J·J=-1. 如果近復結構是可積的，那么就可以找到 M 上的全純坐標卡，使得坐標變換是全純函數， 這時就得到了一個復流形，復流形上的幾何稱為復幾何。

3. 辛結構和辛幾何

微分流形上的一個辛結構是一個非退化的閉的二次微分形式，這樣的流形稱為辛流形，辛流形上發展起來的幾何稱為辛幾何。 與黎曼幾何不同的是，辛幾何是一種不能測量長度卻可以測量面積的幾何，而且辛流形上并沒有類似于黎曼幾何中曲率這樣的局部概念，這使得辛幾何的研究帶有很大的整體性。 辛幾何與數學中的代數幾何，數學物理，幾何拓撲等領域有很重要的聯系。

四、結 語

以上談到的是流形的公理化定義的發展歷史，其線索可概括為高斯---黎曼---希爾伯特---外爾。 導致流形概念誕生的根本原因在于對空間認識的推廣：從平直空間上的幾何，到彎曲空間上的流形概念的歷史演變幾何，再到更抽象的空間---流形上的幾何。 流形概念的一步步完善與集合論和拓撲學的發展，特別是鄰域公理的建立密不可分，（微分） 流形已成為微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，并發展成多個分支，如黎曼幾何、復幾何、辛幾何等。 所以說，幾何學發展的歷史就是空間觀念變革的歷史，伴隨著一種新的空間觀念的出現和成熟，新的數學就會在這個空間中展開和發展。

參考文獻

〔1〕 陳惠勇。流形概念的起源與發展[J].太原理工大學學報，2007（3）：53-57.

〔2〕 D.J.Struik.Outline of a History of Differential Geometry[J].Isis,1933（20）：161-191.

〔3〕 E.Scholz.The concept of manifold,1850 -1950 [C]//I.M.James.History of Topology.Amsterdam:Elsevier Science Publisheres,1999:25-64.

〔4〕 [德]莫里斯·克萊因。古今數學思想：第三冊[M].萬偉勛，石生明，孫樹本，等，譯。上海：上?？茖W技術出版社，2003.