1902 年 6 月 16 日，羅素的著作 《數學原理》 \\( Principles of Mathematics\\) 發表前夕，他給弗雷格寫了一封信，信中寫道: “我在讀您的著作 《算術基礎》 \\( Grundgesetze derArithmetik\\) 時發現一個困境……?！?他提到的這個困境可以描述為:設謂詞 w 表示: 不能描述自己的謂詞。那么 w 能不能描述自己呢? 無論肯定還是否定的回答都會推出反面，因此我們只能說 w 不是一個謂詞。

羅素從這個困境想到了另一個看似不同但更一般的問題: 由所有不屬于自己的集合組成的類也存在同樣的困境。因此，由這些不屬于自身的集合 \\( 每個都是一個總體\\) 形成的類 \\( 總體\\)是不存在的。這樣，我們可以得出結論: 按照這種方式定義形成的類不能作為一個總體。

實際上，他們是兩個截然不同的問題。第一個問題涉及到謂詞，一個不能描述自己的謂詞。正如弗雷格在關于概念和對象的理論中描述的那樣，他在給羅素的回復中也強調，如果嚴格區分個體能夠滿足的謂詞和謂詞能夠滿足的 \\( 高階\\) 謂詞的話，那么考慮自己描述自己的謂詞是沒有意義的?！安荒苊枋鲎约旱闹^詞”是不存在的，因此，悖論也就不會發生。

當時，羅素并沒有接受概念需要分類型的想法，而僅僅在 《數學原理》的附錄 B 中提到這種可能性。對于羅素來說，第一個悖論是最重要的。他只是在考慮其他理論，比如弗雷格的理論時，才在這些理論中描述第二個悖論的相關形式。相反地，弗雷格卻立刻意識到第二個悖論揭示出了他的系統中存在的問題。

僅僅 6 天之后，6 月 22 日，弗雷格馬上給羅素寫了回信，信中這樣寫道:看來一個等式的一般形式不一定總能寫成賦值過程的等式①，我提出的基本定律 V② 是錯的， § 31 中的解釋也不足以保證我給出的符號組合在任何情況下都有意義。

羅素的確是在考慮康托定理時想到了這個悖論。在康托定理中，如果萬有集存在，那么對于任意一個集合，都不存在它的冪集 \\( 所有子集的集合\\) 到該集合的一一映射。在康托定理的證明中，所有不包含自身的集合構成的悖論集是在萬有集的冪集上添加得到的。然而羅素自己并沒有意識到康托集合中的這個問題，當他最早在 《數學原理》中提到這個悖論時，類被稱為 “類概念”，實際上是用來表示類中的元素。類中的元素可以是一個或多個，而恰恰是在只有一個元素的類中，這個元素可以作為這個類的代表。這樣，“不能描述自身”這個謂詞正好可以用在它自身上，這就導致了矛盾的產生。

本文會追溯第二個悖論更早一點的歷史，這個悖論是由策梅羅 \\( Zermelo\\) 預言的。E.施羅德 \\( Ernst Schr\ue56eder\\) 引發了這個問題的討論，后來弗雷格，胡塞爾都參與了討論。最終，它出現在策梅羅給弗雷格的信中，同時希爾伯特也得出了他自己的形式。因此，說起這個悖論的歷史，遠比羅素給弗雷格寫信的時間更早。羅素只是對悖論的第一種形式感興趣，他寫信給弗雷格只是為了說明弗雷格的 《算術基礎》中也有類似的問題。

討論誰先提出悖論的第二形式就像介入了數學家們關于 “首發現”的爭論，但它確實引出了邏輯史上的一系列趣事，有些被大家所熟知，但之前并沒有被聯系起來。其中最有名的 “首發現”聲明是策梅羅于1908 年在他的論文 《良序可能性的新證明》\\( “A new proof ofthe possibility of a well-ordering”\\) 中提出的。當策梅羅提到羅素的 《數學原理》 中的 “集合論悖論”時，他加了一個腳注 \\( 編號 9\\) :……然而，我已經獨立于羅素發現了這個悖論，并于 1903 年之前就與希爾伯特教授等人討論過。③1903 年希爾伯特在給弗雷格的信中，除了感謝弗雷格提供 《算術基礎》 第二卷中關于羅素悖論的討論的副本外，希爾伯特還提到他在幾年前就聽策梅羅提起過這個悖論。這一點恰好印證了策梅羅的聲明。實際上，希爾伯特自己也提出過類似的悖論，是關于數的集合到其自身的所有 “自映射”序列所構成的集合。希爾伯特用對角線法證明了不存在這樣的 “自映射”④在策梅羅的傳記中，艾賓浩斯沿襲了 “哥廷根”的慣例，把這個悖論的發現歸功于策梅羅一個人。\\( 實際上，艾賓浩斯在傳記中更傾向于使用 A. 弗萊恩克 \\( Abraham Fraenkel\\) 給出的術語 “策梅羅———羅素悖論”⑤。\\)“希爾伯特悖論”和 “策梅羅悖論”很相似，同樣證明了某種集合不存在。但在 “希爾伯特悖論”構造的集合中，可以給出標準集合論的運算。我們可以根據希爾伯特 1905 年 7 月 10日的講稿重新構建這個悖論⑥。希爾伯特通過構造數集 M 上的自映射構成的集合到數集 M 的映射，然后使用集合論的兩個原理推出了矛盾。第一個集合論的原理允許我們 “把幾個甚至無數個集合并成一個集合”，另一個原理認為 “任何情況下，良定義的集合都可以通過自映射運算從良定義集合中生成”。因此，有了集合 M，我們就可以描述出所有從 M 到 M 的映射集合MM。希爾伯特考慮任意多次使用并集運算和自映射生成的集合 U，然后他再次對 U 使用自映射原理得到 F =UU。這樣，F 應該是 U 的子集，但運用與證明康托定理類似的對角線法，我們可以得到 F 中一個不屬于 U 的元素。但是，希爾伯特的描述并不精確，尤其是他提到 “任意多次”使用兩種運算來生成 U。有人猜測 F 是下面無限多個集合的并集構成的:MM，\\( MM\\)M，MM∪ \\( MM\\)M，\\( \\( MM\\)M\\)M\\) ，MM∪ \\( MM\\)M∪ \\( \\( MM\\)M\\)M\\) ，…如果我們任意多次重復這個過程，那么 UU中的任意元素都已經被包含在這個過程中，因此這個過程生成的元素不會多于 U 中的元素。這樣我們立刻知道所謂 “任意多次的”運算應該超出所有的序數，對 M 迭代 ω 多次后作并集，在每個序數上都重復這個過程做并或做冪，如此反復。這樣看來，“希爾伯特悖論”證明了所有序數的集合是不存在的。據說，希爾伯特懷疑其他描述這個悖論的形式中所用的 “哲學”概念，例如 “所有集合的集合”，或 “所有序數的集合”，因此他愿意使用更一般的數學概念，如映射， “任意多次”運算。按希爾伯特的方式，悖論可以從兩個非常簡單的運算 \\( 函數空間和對已構造出來的事物集合求并集\\) 得出，所以它不僅僅是集合或類這種概念內部所產生的矛盾。正如策梅羅所說，它是一個理論內部的矛盾，一個真正的悖論 \\( antinomy\\) 。希爾伯特認為悖論是可以通過構建\\( 可證明的\\) 一致的公理集合論來避免的。

1902 年 4 月 16 日，策梅羅給他以前的老師———E. 胡塞爾 \\( Edmund Husserl\\) 寫了封信。信中策梅羅報告了他幾年前的一個結果⑦，胡塞爾在信上的批注可以在胡塞爾的檔案中找到⑧。這封信源于胡塞爾 1891 年為施羅德的 《邏輯代數》 \\( Algebra der Logik\\) 寫的書評⑨。施羅德在書中證明了如果包含 “所有可以想到的東西”的萬有類存在，那么一定會導致矛盾。\\( 這樣看來，施羅德和康托都是最早發現這個不能擴充的概念的人。\\)為了在德國的邏輯學家中推廣 C. 皮爾士 \\( Charles S. Peirce\\) 的工作以及 “他的學院”瑏\ue583瑠施羅德進行了一系列的講演。在第四次關于類的理論的演講中，施羅德通過定義 “包含”\\( Subsumption\\) 這個概念提出了類之間的代數運算。稱一個集合 a 包含于集合 b，用符號表示為 a b\ue583，讀作 “a 是 b”或 “所有的 a 是 b”，顯然這就是我們現在所謂的 “a 是 b 的子集”，表示為 a b。施羅德關于集合運算的內容與布爾提出的 “論域”的概念是相悖的，布爾用 1 表示類代數中的論域 \\( 全集\\) 。下面是弗雷格引用施羅德的論述:

就像前面提到的，0 被包含在每個類中，可以從拓撲空間 1 中去掉; ……0 可以滿足每個謂詞。假設用 a 表示一個類，類中元素是等價于1 的拓撲空間類 \\( 只要我們把所有能想到的都放入拓撲空間中 1 中，這顯然是允許的\\) ，那么，a 中顯然只包含一個拓撲空間類，即符號 1 自身，或者說是整個拓撲空間。除此之外，這個類還包含 “什么也沒有”，即 0。因此，0 和 1 是等價于 1 的類，進而我們不僅有 1 =1，還有 0 =1。因為在這個例子中，作用于類的謂詞是 “恒等于 1”。根據第二條原理，對于作用于類的謂詞，這個謂詞必須也能作用于類中的每個個體。

對于施羅德來說，所有的謂詞都是關于 “包含”的論斷，謂詞 “等于1”，就是其中的一個，我們現在一般寫作 “x =1”。如果我們用 0 表示空集，空集包含于任意集合 a 就可以表示為0a，當然也就包含于等于 0 的集合，因此我們就能得到 0 = 1，得出矛盾\ue583瑏瑤! 施羅德此處給出的是不存在絕對的萬有類 1 的證明。存在不包含于 1 的集合，尤其是空類 0。

胡塞爾在書評中認為施羅德混淆了子集 \\( 概念 “subordinate class”\\) 和元素的概念。雖然空類是任何集合的子集，但它不是任何集合的元素。尤其從 “0 是等于 1 的元素組成的集合的子集”并不能推出 “0 等于 1”。而前面的矛盾正是源于 1 是所有集合構成的集合這個假設的。策梅羅后來在給胡塞爾的信中指出: “關于這一點，如果不考慮證明的方法，施羅德是對的……”從原始的德文加比斯伯格速記法中得到的相關論述如下:

由自身的子集 m，m‘，……為元素形成的集合 M 是不一致的，即，這樣的集合 \\( 如果我們非要把它看作集合的話\\) 會導致矛盾。

證明: 我們考慮那些不以自己為元素的子集 m。M 中的元素是 M 自己的子集，那么 M 的子集也會包含子集作為元素，他們自己 \\( 不\\)是元素?，F在我們考慮的恰是那些不含有自己的子集 m，但可能包含其他的子集。\\) 上述所有 m 構成了集合 M0\\( 即 M 的所有不含自身作為元素的子集形成的集合\\) ，我們證明 M0具有下面的性質，\\( 1\\) M0不是 M0自身的元素。\\( 2\\) M0是 M0自身的元素。

考慮 \\( 1\\) : M0作為 M 的子集是 M 的元素，但不是 M0的元素。否則，M0就包含一個元素 \\( 即 M0本身，也是 M 的子集\\) ，這個元素以自身為元素。這與 M0的定義矛盾。

考慮 \\( 2\\) : 因為由 \\( 1\\) 可知，M0是 M 的子集，且不包含自身作為元素。那么根據 M0的定義，M0是 M0中的元素。

這個證明表明任何集合都不可能包含自己的所有子集使之作為元素。一個包含所有東西的萬有集當然包含自己的子集，因為它們也是集合。集合 M0中的元素是所有不以自身為元素的萬有集的子集，我們簡單地用 M0表示由所有不包含自身的集合組成的集合。這樣，M0就是羅素集，M0會導致矛盾的證明與羅素給出的是相同的: 如果說 M0是自身的元素則可以推出反面，反之，如果說 M0不屬于自己卻又推出應該屬于。我們的矛盾和羅素信中提到的是一樣的，二者都可以通過直接對所有集合構成的集合 \\( 在策梅羅的悖論中，集合至少包含它自己的所有子集\\) 使用康托定理得到。

更進一步，那么我們會有羅素悖論嗎? 實際上，我們已有的是一個關于集合的定理，定理闡明不存在以自己的子集為元素的集合。然而，早在 1908 年，一篇題為 《關于集合論基礎的研究》的文章已經把這個結論作為一個定理提出，并給出了以下證明:

定理 10. 每個集合 M 至少有一個子集 M0，M0不是 M 的元素。

證明: 對于 M 中的每個元素 x，x ∈ x 與否是確定的，因為 x ∈ x 的可能性不需要由公理來判定。根據我們的公理 III \\( 策梅羅的分離公理\\) ，如果 M0包含 M 中所有不滿足x ∈ x的元素，那么無論 M0∈M0還是不屬于，M0都不可能是 M 的元素。在第一種情況下，M0中應該有一個元素 x = M0，那么就有 x ∈ x，但這與 M0的定義相矛盾。這樣 M0自然不是自身的元素，并且如果假設 M0是 M 的元素，那么就有 M0是 M0的元素，這是相互矛盾的。

策梅羅對這個證明給出了總結性的批注:

從定理中可知，論域 B 中的所有元素 x 不能全部作為一個相同集合的元素，即論域B 本身不是集合。這就是我們所知的羅素悖論的處理方式。因此，策梅羅通過給出定理的方式來討論羅素悖論。他認為某些群體不是集合，并用反證法給出了證明。1897 年布拉利 － 福爾蒂 \\( Burali-Forti\\) 在證明序數不能良序時也是采用這樣的方法\ue583。如果每個集合都能被良序，那么就不存在序數的集合。實際上策梅羅的證明也可以看做是關于 “絕對無窮”的，或者在某種意義上是 “大得”不能成為集合的類的。

一個 “所有集合構成的集合”當然包含它自己所有的子集，那么根據策梅羅定理，我們立刻就知道不存在所有集合的集合了。

策梅羅認為他已經通過證明這個令人驚訝的集合的 “不存在”從而解決了羅素悖論，悖論是不存在的。但證明不存在滿足某種描述的集合不同于證明滿足某種描述不能被滿足，因此只能說明滿足描述的集合是空集。這恰恰證明了一些描述看起來像是集合，但實際不是，因為不存在那樣的集合。無限制概括公理的反例正好說明了，的確存在一個謂詞，滿足這個謂詞的元素卻不能構成集合。但對于每個 “不存在”定理，并沒有像無限制概括公理那樣顯然的反例。比如一個人認為論斷 “不存在集合 y 包含自己所有的子集”是一個謂詞，但滿足這個謂詞的元素不能形成集合。那么根據無限制概括公理得到的反例是:

\ue055y\ue02fx \\( x ∈ y ≡ . . . x . . . \\)這個反例描述的是: 存在 y，對于任意 x，x 是 y 的元素當且僅當……。等價條件是什么? 當且僅當 x 是 y 的子集? 這違反了上面提到的概括公理，公理不允許在定義集合元素的公式…x…中出現自由的 y。論斷 “滿足某個公式的集合是不存在的”是可以用公式描述出來的，但“以自己的所有子集為元素的集合是不存在”這個斷言卻不可以\ue583，但不是所有 “不存在”定理都有反例。因此策梅羅的確曾提出過羅素證明的不過是一個不存在的定理，而不是一個概括原理 \\( 從開始就讓人難以置信\\) 的反例。雖然讓人吃驚的是，所有集合的集合不存在，包含所有子集為元素的集合也不存在，但我們還不清楚這是否能被稱為悖論 \\( paradox\\) 。實際上，策梅羅本人更傾向于使用 “矛盾”\\( antinomy\\) 而不是 “悖論” \\( paradox\\) \ue583瑏瑩。他認為“paradox”指的是 “……與一般的觀點相矛盾的論斷; 而不存在像羅素悖論和布拉利 － 福爾蒂悖論那樣內部的矛盾，羅素悖論和布拉利 － 福爾蒂悖論用 'antinomy’表示”。另一方面，就像策梅羅的用法一樣，“antinomy”可以由形式理論推出的，用來證明理論的某個公理是錯誤的，必須被刪除。但這并不意味著這個理論的基礎概念或定義是錯的，能夠推出矛盾。因此，盡管策梅羅實際上已經預見到羅素后來信中提到的數學討論，但他并不認為這是一個會從多方面影響集合的 “悖論”，包括影響弗雷格。關于施羅德的觀點，我們還要多說幾句。實際上弗雷格在文章 《關于施羅德 “邏輯代數的演講”中的一些批評觀點》\\( “A critical elucidation of some points in E. Schr\ue56eder's Vorlesungen über die Algebra der Logik”\\)中提出了他的看法。他引用了施羅德的觀點后繼續寫道:

作者在第 246 頁證明了我們可以考慮拓撲空間中除了 1 之外的任意類 b，用上述方法可以得到結論 0 = b。這個矛盾就像晴空霹靂一樣，我們怎么能夠容忍精確的邏輯中出現這樣的東西! 誰能保證在今后的研究中，我們不會突然遇見這樣的矛盾? 這種可能性指向了原始理論的錯誤。施羅德從這個結論中推出最初的拓撲空間 1 必須按照下列方式形成: 在拓撲空間中作為個體的元素不能是包含自身作為元素的類。這個權宜之計似乎使得船免于擱淺，但只有正確的駕駛才能使它安全行駛?，F在我們越來越清楚為什么一開始就像預見到緊急的危險一樣，把拓撲空間規定為運算的舞臺，盡管這從單純的范疇運算的角度看是沒有理由的。接下來，這個領域對我們邏輯行為的限制絕不是優雅的。在其他領域，邏輯可以說具有無限制的有效性，但對于拓撲空間，我們必須小心地檢驗后，才能在其中使用邏輯。

……當施羅德規定最初的拓撲空間中的元素不能是包含以自身作為元素的類時，他顯然認為拓撲空間或類中的一個個體和拓撲空間中的一個類是不同的。胡塞爾在給施羅德寫的書評中也提到了類似的區分，“包含元素的類”和 “包含子集的類”是不同的，他希望通過這種方法解決問題。

策梅羅的定理 10 提到 “每個集合 M 都至少包含一個子集 M0，M0不是 M 的元素”，這有效地證明了，一個給定集合的子集 \\( \ue020\\) 的概念和該集合的子集的元素 \\( ∈\\) 的概念與集合的元素概念是不同的。策梅羅在討論羅素悖論時提出了關于集合的相當好的定理，同時也證明了施羅德關于集合的概念存在著本質的缺陷。不僅如此，策梅羅為了避免產生悖論而使用自己的集合論公理系統的同時，發現了會導致悖論的集合性質。雖然弗雷格對施羅德的討論進行了仔細的研究，但他卻忽略了與自己的理論相關的結果。由此可見，策梅羅的討論可以真正地被稱作是羅素悖論的 “預言”，而他正是在研究弗雷格批評施羅德的文章時發現的。

當然，施羅德得出的矛盾結論 0 =1 是反證法的一部分。施羅德并沒有因此認為每個類必須包含一些不是這個類中元素的類，而是認為每個類必須只包含那些本身不含原始類中的元素的類。而這些類恰是原始類中的 “元素”。弗雷格認為這是一個臨時的解決方案，它 “使船免于擱淺?！备ダ赘癜堰壿嬁醋鼍哂?“無限制的有限性”，因此全稱量詞理所當然可以無限制地用在任何事物之前。

A. 丘奇 \\( Alonzo Church\\) 的一篇文章完稿于 1939 年，但直到 1976 年才發表，他在文中把施羅德的論述看做是簡單類型論的雛形。如果一個給定集合 a 中的 “元素”可能是其它類 b 中元素的子集，但不是 a 中任何元素的子集，則丘奇認為我們可以認為 a 和 b 屬于不同類型，a 的類型高于 b 的類型，因為 a 中的元素都是包含 b 中元素的類。弗雷格則反對這些限制，丘奇認為弗雷格堅持邏輯無限制的法則不過是對他自己觀點的重復: 所有的對象的類型都相同，包括弗雷格集 “賦值過程”，都可以出現在全稱量詞的論域中。

弗雷格同樣引用了關于施羅德的書評，策梅羅于 1902 年在他的信中對這個書評做了修改。沒有證據顯示策梅羅之前讀過弗雷格的文章。但至少兩人都讀過胡塞爾的書評，并作出了回應。弗雷格和胡塞爾曾經一致認為施羅德在 “屬于”定義中把元素關系等同于子集關系。然而，弗雷格和策梅羅也注意到，論證的關鍵是為了證明不存在 “萬有集”或無限制的 “論域”。實際上，正如丘奇提到的，弗雷格過于重視悖論的類型，即從存在一個所有事物的集合這個前提可以推出的悖論，而這正是弗雷格批評施羅德想要避免的。我們試圖猜測策梅羅已經意識到邏輯學家們關于 “論域”的爭論，并讀到了康托的 “絕對”無窮以及序數集不存在等觀點，并把這些事情都清楚地記載了下來。他的對角線法，從數學的角度看與羅素的相同，但比羅素運用到證明中要早。如果把猜測繼續下去，當然有人會質疑策梅羅為什么沒有把簡單類型論作為可替代的方案來解決他發現的集合論 “悖論”。但實際上，策梅羅和羅素似乎是在集合論的不同世界中進行研究，策梅羅沿著哥廷根的康托集合論傳統道路行進，而羅素則是對自己早期的觀點進行提煉并放棄了早期觀點。

沒有直接的證據顯示羅素研讀過施羅德的證明，看過施羅德關于所有集合構成的集合會導致悖論的想法或類型理論的雛形。但是羅素的確讀過弗雷格 1895 年的論著并做了大量的筆記。正因為有了這樣的準備工作，1902 年夏天他為 《數學原理》增加了 “附錄 A: 弗雷格的邏輯和數學原則”，同樣的準備才有了他給弗雷格的信\ue583瑐瑤。但是，任何關于這個問題的討論都沒有出現在筆記或最終的附錄中。

然而，有證據顯示羅素關于施羅德理論的大概看法來源于 1913 年與 N. 維納 \\( NorbertWiener\\) 的交流。1913 年 9 月，年僅 18 歲的維納去劍橋拜訪羅素。他剛在哈佛大學完成了題為 《對施羅德、懷特海及羅素處理關系代數的方法比較》\\( “A comparison between the treatment ofthe algebra of relatives by Schr\ue56eder and that by Whitehead and Russell”\\) 的博士論文。I. 格拉坦 － 吉尼斯 \\( Ivor Grattan-Guinness\\) 找到了幾頁羅素寫的評語及維納的回答，后面還有兩人當年9、10月的一系列討論。維納也參加了羅素的演講，并在家書中提到了他們之間的交流。

羅素在 1913 年 10 月 19 日寫給 L. 唐納利 \\( Lucy Donnelly\\) 的信中同樣也提到了這些討論: 9 月底，一個年僅 18 歲的哈佛博士和他父親一起來拜訪我……這個年輕人叫維納，自認為無所不能，也常被別人夸獎。我們進行了長時間的討論試圖說服對方。維納帶來了博士論文的副本，并和羅素在一系列的會議上進行討論，會議中間通過信件交流瑐\ue583瑧。論文和信件中包含了許多施羅德的邏輯。論文的主題是將施羅德的邏輯與 《數學原理》中的作比較，為施羅德邏輯的優點進行辯護。格拉坦 － 吉尼斯挑選出與這個事件相關的兩段話:

施羅德和羅素的系統之間的一個重要差別在于: 施羅德系統中的個體對應于羅素系統中個體的單位類。這樣，羅素的系統中有個體與類之間的屬于關系，而施羅德的系統沒有。但這并不要緊，因為施羅德不需要這樣的關系，這與帕多阿 \\( Padoa\\) 和羅素的觀點相反。帕多阿把元素關系和包含關系合為一個，羅素則認為在皮亞諾和弗雷格之前的所有人都把元素關系認為是包含關系的一種特例?，俓ue583瑨維納認為施羅德不需要區分元素與子集，但羅素并沒有接受這一看法。在羅素的一封回信中，他問道: “你有證據表明施羅德知道彼得與僅以彼得為元素的類的差別嗎?”維納對此強調說施羅德只是 “沒有涉及”到這個差別。

維納相信施羅德在萬有類的討論中預言了羅素的類型理論: 拓撲空間中的任意個體都不能由拓撲空間 的 其 他 個 體 形 成 的 集 合 組 成。實 際 上，個 體 形 成 的 類 屬 于 “原 始”\\( ursprüngliche\\) 拓撲空間的第一 “派生” \\( abgeleitete\\) 空間。由個體形成的類作為元素的類屬于第二派生拓撲空間，依此類推。這就生成了與羅素定理對應的類型分層。不同的是，羅素可以一次使用多個類型，而施羅德一次只能使用一個類型。\\( 維納和丘奇對施羅德的分析是一致的，但比丘奇早了26 年。\\) 沒有記錄顯示羅素對這部分理論的反應，但有一點是清楚的，羅素讀過維納的觀點: 施羅德在論述不存在包含任何東西的萬有集的討論中預言了類型理論。顯然羅素并不認為他使用了像康托證明中使用的對角線法就算證明了不存在所有集合的萬有集。盡管他從 1908 年起就開始研究并引用策梅羅的論文，并沒有任何記錄顯示其他人預言了悖論。施羅德的邏輯與羅素的完全不同，因此可以理解羅素為什么沒有發現施羅德對類型理論的預言了。盡管類型這個概念受弗雷格的 “stufe”或 “概念分層”，“概念的概念”等的啟發而產生的，但羅素并沒有在 《數學原理》的附錄 A 中列出它的出處。

關于類型理論，羅素的觀點與策梅羅相近，都認為是施羅德在對悖論的討論中最早提出的，但最后并沒有完成。羅素的悖論是第一個關于謂詞的悖論，他發現謂詞的悖論與自已為元素的所有集合構成的集合產生的悖論是相似的。他對第一個悖論的興趣使他沒有注意到第二個悖論。第二個悖論在施羅德的論證中提出，策梅羅證實。弗雷格后來在仔細閱讀施羅德的論證時也沒發現，他們都在思考其它問題。