集合論是否需要新公理的問題是當前數學哲學研究的熱點問題之一。該問題源于 20 世紀 60 年代集合論發展產生的獨立性結果?？贫靼l表于 1963 年和 1964 年的論文證明了連續統假設 ［簡稱 CH］ 在策墨羅 － 弗蘭克爾的標準集合論公理系統 ［簡稱 ZFC］ 中不可證。這個結果連同哥德爾于1938 年得出的結論，表明 CH 獨立于 ZFC。不僅如此，由哥德爾和科恩的技術產生的其他獨立性命題，如所有投影集是否勒貝格可測、蘇斯林假設、懷特海問題等等，根據 ZFC 也都是不可判定的。引進新公理的目的就是為了解決它們。但由此產生如下問題: 1. 為什么被提議作為新公理的陳述確實是公理而不只是假設? 2. 公理意指什么? 對這兩個問題的回答在20 世紀40 年代末開始展開，50 年代有人隱約地提出了連續統假設無意義的觀點，60 年代至 80 年代，人們主要在尋求新公理以及給出它們的辯護上做努力。但引進的諸多新公理一直未能解決連續統假設問題，90 年代后，有人對需要新公理解決獨立性問題的觀點提出了質疑。本文將著力于呈現當代國外有關新公理哲學討論的發展及其重要觀點，在此基礎上表明，新公理的辯護和反駁都不應當忽略數學家的主觀意向性與公理的客觀有效性之間的密切聯系。

一、新公理綱領的提出

新公理綱領可追溯到哥德爾 1931 年關于算術不完全性定理的論文。在該文的腳注 48a中，他指出: “……不完全性的真正原因在于更高類型的形式可以繼續進入超窮……每當添加合適的更高類型的公理時，構造的不可判定命題就可以判定?！雹?明確提出新公理綱領則是在其 1947 年發表的經典文章 《什么是康托爾的連續統問題》中。1963 年哥德爾根據集合論的后續發展又做了第二版補遺，最終形成 1964 年的修訂版。

事實上，在 1947 年的版本中哥德爾就預感到連續統假設獨立于 ZFC，因此希望通過引進新公理解決它，并為引進它們提供了相應的辯護。首先，他基于集合的迭代概念給出了新公理的內在辯護。這個理由說明新公理展現了由迭代概念 ［通過運算 “……的集合”的迭代運用使得大全集分層成為從 \ue788 出發的階為 Va\\( a 為序數\\) 的累積分層，即 V0= 0，Va + 1=Va∪ \\( Va\\) ，且 Vλ= { Va: a ＜ λ} 的并，λ 為極限序數］ 解釋的集合概念的內容，表達的思想就是，即使耗盡了冪集和替換運算，集合的迭代仍然繼續下去。他舉例說明，斷定不可達基數和馬羅基數存在的公理就是基于這樣的內在理由，它們是原有公理系統自然的延續。

但是，當哥德爾看到上述的無窮公理不能判定連續統問題時，他期望因外在理由引進新公理: “在它們可證實的推論中如此豐富……以致不考慮它們的內在必然性，它們仍將不得不在任何完整的物理理論相同的意義上被假定?！?/p>

②這種外在理由強調的是 “推論上的多成果性”。關于證成新公理的外在理由，哥德爾還指出，當前不適宜于給專門的集合論公理做辯護，因為我們關于它們在其他領域中的推論知之甚少。但是，人們并非都同意哥德爾這樣的提議。如 1952 年埃雷拉 \\( Errera\\) 認為連續統問題無法由現有公理系統判定就表明它沒有意義 \\( 見哥德爾1963 年的第二版補遺\\) ，這直指哥德爾尋找新公理的計劃。對此，哥德爾從兩個方面說明尋找新公理的必要性，從數學觀點看，新公理被斷定或否定存在顯著的非對稱性，斷定它可以得到 “富有成果的”擴充，否定它在有限范圍之外將沒有成果。從認識論觀點看，不可判定性命題只因原有公理系統中原始詞項的含義處于不確定時才會失去意義。

但我們有一個可設想的集合論對象 \\( 在他看來，這個客觀實在是經由 “……的集合”的迭代方式設想的集合累積分層 V\\) ，而且我們對它們具有一種 “像感知的”數學直覺，這使得現有公理迫使我們認為它們為真，而且也意味著不可判定的命題將來可以被判定。不僅如此，哥德爾還指出，我們的數學直覺感知到的只是 “集合論對象的觀念”，但這個觀念的客觀性對判定連續統的真假不具有決定性。真正重要的是， “存在一種心理學上足夠清楚的，可以產生集合論公理和它們擴充的一個開系列的直覺事實，就足以使康托爾連續統假設那樣的命題的真假問題具有意義?！?/p>

③哥德爾上述的辯護無疑為尋找新公理提供了有力的支持，但由于他設想了一個柏拉圖主義的集宇宙，這激起了關于集合論哲學基礎的討論和爭辯。真的有那樣一個抽象的集合世界嗎? 如果有，生活在物理世界中的我們如何能認識那樣的世界? 這種困惑顯然與預設客觀存在的集宇宙有關，但我們也應該注意到，盡管哥德爾提到了“可設想的集合論對象”，但事實上他更側重于在數學直覺的認識論上，而不是像人們通常認為的基于柏拉圖主義的實在論立場，支持尋找新公理。

二、新公理綱領的實在論辯護

20 世紀 60 年代至 80 年代期間，一方面，人們尋找新公理解決 CH 等獨立性命題; 另一方面，人們嘗試為這些備選的新公理提供各種辯護。這段時間探討新公理的特點是: 人們普遍認為連續統假設是一個真問題，而且從集合的實在論觀點猜測 CH 具有確定的真值。因此尋找的新公理除了提供各種辯護之外，還基于一種實在論。

1988 年，P. 麥蒂 \\( Penelope Maddy\\) 在 《符號邏輯雜志》 上發表了兩篇綜述性論文《相信公理 I》和 《相信公理 II》。這兩篇文章的主要貢獻是概括和總結了支持集合論公理，尤其是那些候選新公理的各種證據。

在 《相信公理 I》中闡述 ZFC 公理的合理依據時，麥蒂引用了 G. H. 摩爾 \\( GregoryH. Moore\\) 、M. 哈雷特 \\( Michael Hallett\\) 以及 A. A. 弗蘭克爾 \\( Abraham A. Fraenkel\\) 和 A. 利維\\( Azriel Levy\\) 、王浩、F. R. 德瑞克 \\( Frank R. Drake\\) 等人的著作和論文。相比于為 ZFC 公理提供辯護來說，她更強調，它們與未經證實的新公理相比不具有優先的認識論或形而上學地位。

麥蒂還考察了人們對 CH 的態度。她除了參考上述學者的著述外，還引述了數學家、邏輯學家和集合論專家如科恩、哥德爾、D. 司克脫 \\( Dana Scott\\) 、D. A. 馬丁 \\( DonaldA. Martin\\) 、R. M. 索羅維 \\( Robert M. Solovay\\) 、C. 弗賴林 \\( Chris Freiling\\) 等人的論文。從她的綜述看到，盡管獨立性命題使得一些人，如科恩一開始采取形式主義的態度，但最終人們對 CH 具有確定的真值取得一致的意見，即集宇宙的存在支持 CH 是個真問題，所以引進新公理是必要的。另外，盡管 CH 的真值尚未判定，但多數人基于各種理由，傾向于猜測它為假。隨著尋找新公理解決連續統問題工作的展開，最普遍被接受的新公理的內在理由是反射原則 \\( reflection principle\\) 。它的基本思想是，集宇宙如此復雜以致不可能被完全描述，因此關于整個集宇宙的任何真，必定已經在該宇宙的某初始段為真。這樣，哥德爾用迭代概念辯護的不可達基數和馬羅基數、甚至比它們更強的弱緊致基數、不可描述基數等都可以在反射原則下得到辯護，而且ZFC 公理也可以重塑為反射原則。最終的結果顯示，這些無窮公理都不能判定連續統問題的假，因為它們與證明連續統假設與 ZFC 公理相容的可構造公理V =L 也相容。

至于新公理的外在證成方面，人們一般都接受哥德爾聲稱的推論上的富有成果性。麥蒂在《相信公理 II》中詳細闡述那些不能用內在理由辯護的大基數公理的推論，尤其是二階數論上的推論。她的論述顯示，現代集合論研究中斷定可測基數、武丁基數和超緊致基數等存在的更大的大基數公理以及涉及可定義實數的決定性公理都具有各自豐富的推論，因此得到了外在的辯護。

這些技術工作主要歸功于索羅維、馬丁、M. 福爾曼 \\( Matthew Foreman\\) 、M. 穆加多爾\\( Menachem Magidor\\) 、S. 謝拉 \\( Saharon Shelah\\) 、W. H. 武丁 \\( William Hugh Woodin\\) 等人。值得談及的是，60 年代后期，索羅維猜想大基數公理蘊涵可定義實數的決定性公理; 80 年代中期，武丁作為索羅維的學生，最終證明了可定義實數的決定性公理等價于大基數公理的內模型。這個結果產生的影響是，使得兩類在概念上處于完全不同領域的公理被統一起來: 決定性公理繼承了大基數公理的內在和外在證據，大基數公理轉而獲得支持決定性公理的外在理由。但與人們期望的相反，這些大基數公理依然無法解決連續統假設問題，盡管它們與 V = L 不相容。

麥蒂撰寫這兩篇綜述性的論文，旨在給數學知識論者和數學哲學家提出哲學任務。她本人認為集合論在可應用性上的成功以及那些外在證據可以鞏固公理的辯護實踐。但她不傾向在某特定的哲學立場上給出新公理的辯護和反駁，而是認為對任何哲學立場的人來說，連續統假設都是一個真問題。因此，在她看來，尋找新公理解決連續統問題不只是柏拉圖主義的事業，而且是對任何哲學立場都重要的事業，關鍵在于深入考察這些哲學立場之間的細小差異。

三、新公理綱領分歧的當代視野

20 世紀 90 年代后，與麥蒂觀點的初衷事與愿違的是，一些人對連續統具有確定的真值提出了質疑，他們認為獨立性的結果破壞了集合論作為客觀的事業; 而包括麥蒂在內的另一些人則堅持獨立性的結果僅僅表明，缺少用于證明這些數學陳述的集合論公理。這種分歧往往伴隨著形而上學立場的分歧，如 1999 年 S. 費弗曼 \\( Solomon Feferman\\) 發表于 《美國數學月刊》上的論文 《數學需要新公理嗎?》以及 2000 年 《符號邏輯簡報》 \\( The Bulletin ofSymbolic Logic\\) 上收錄的費弗曼、麥蒂、J. R. 斯蒂爾 \\( John Robert Steel\\) 等人在 2000 年符號邏輯年會上的會議論文均體現出這種分歧。爭論的焦點主要表現為如下幾個方面:

\\( 一\\) 公理意指什么

費弗曼在兩篇文章的開頭均引用了 《牛津英語字典》的定義，說明他的 “公理”含義即自明性。然后，他把公理的自明性歸因于數學概念的清晰直觀。依照這個標準，他認為皮亞諾算術公理符合這個自明性的標準，因為自然數概念是清晰直觀的。

但斯蒂爾認為公理的自明性標準太主觀了，不僅導致無法解決 “何謂自明的”爭論，而且產生的公理系統相當有限。他主張，迫使我們接受公理為真的更可能是作為整體的公理系統，而且這個過程是漸進的。因此，盡管我們對新公理的信心不可能達到對皮亞諾公理的信心，但引進的新公理可以合理地得到辯護。

麥蒂則分析了費弗曼青睞自明性公理，對外在辯護的新公理無動于衷的原因。她認為，主要原因是，費弗曼要求被辯護的公理不僅表明理論是有效的，還必須符合某種數學概念。

這種數學概念是 “某理想世界中的概念，……或多或少直接表達想象的事物”④，因此，在麥蒂看來，費弗曼為公理的辯護實際上最終不是基于自明性，而是某種客觀實在。麥蒂自己則更愿意支持外在辯護的新公理，因為它們有助于當代集合論滿足各種目標。但她不認為集合論應當揭示數學實體是什么，或在是否需要新公理的問題上提供認識論基礎，也不認為集合論顯示如何通過顯然的步驟，從絕對的某些真理推導出各種數學真理。

\\( 二\\) 連續統假設是否是一個真正的問題

費弗曼聲稱連續統假設本質上是模糊的，沒有新公理以令人信服的明確方式解決它。原因在于，連續統 \\( 或自然數的冪集\\) 是經由自然數的 “任意子集”匯集成一個總體得到的概念; 解決連續統問題還需要三階數論上的語句，即需要涉及連續統 \\( 實數\\) 的任意子集以及它們之間的可能映射。但 “自然數的任意子集”的概念和 “實數的任意子集”的概念都是含糊的，因為我們缺少對這些概念的集合直觀，“沒法用合理的方式表明在不違反這個概念應該是什么的情況下形成這個概念?！?/p>

⑤因此談論 CH 的真假沒有意義。另外，CH 沒有成為千禧年獎金列出的杰出數學問題之一，所以不是一個值得探討的問題。但是，斯蒂爾認為三階數論僅僅是語言上的含糊性，這并不代表它本質上就是含糊的。事實上，可以通過提高語言的意義來發現新的真理。最終，解決連續統問題可能就是解決語言上的含糊性。并且一旦澄清了 CH在語言中的含糊性，CH 在思想中的真就能顯現出來。另外，連續統假設沒有成為七個杰出問題之一，僅僅說明人們對數學基礎問題不感興趣。真正的關鍵是，連續統假設涉及 “與數學證據有關的基本概念問題”，值得邏輯學家去關注。麥蒂則擺脫了這樣的問題。原因在于她的自然主義哲學不需要關心 CH 是否是本質上含糊的，而且她不認為 CH 的答案是預先確定的。麥蒂的自然主義哲學只需要評估尋找新公理的前景，它符合集合論的目標，也可以解決 CH。

\\( 三\\) 新公理的辯護依賴于柏拉圖主義的立場是否恰當

費弗曼對于用柏拉圖主義為當代集合論尋找新公理提供基本辯護表現出極端的不滿。根據他的理解，柏拉圖主義為當代集合論實踐作辯護主要體現在: CH 具有確定的真值訴諸于某個柏拉圖的集合世界; 集合的累積分層使用了 “給定集合的任意子集”的柏拉圖主義概念。但是，在費弗曼看來，明顯的事實是，不僅 CH 是含糊的，而且整個累積分層的概念都是內在含糊的。因此不僅談論三階數論上 CH 的真假沒有意義，而且談論二階數論上陳述的真或假的事實也沒有意義。這種觀點，不僅使得費弗曼只在工具主義的立場承認 ZFC 從累積分層中產生，而且否認尋找新公理解決這些概念上含糊的獨立性陳述。

但麥蒂指出，費弗曼錯誤地相信只有柏拉圖主義能夠為集合論的實踐提供辯護，從而誤以為尋找集合論新公理的實踐是不正當的。她聲稱，哲學不應該證成或批評集合論實踐，它們只是 “嘗試理解該實踐”⑥

\\( 四\\) 普通數學是否需要新公理

費弗曼認為，沒有證據表明需要新公理解決開放的算術和有窮組合問題。一方面，普通數學不需要新公理。就純數學來說，幾乎所有經典數學的陳述都可以在 ZFC 中形式化。就應用數學來說，它們都可以在可還原到 PA 的系統中形式化或者在相對較弱的非直謂分析子系統中實現。因此，他聲稱，由哥德爾第一不完全性定理導致的獨立性命題，應該僅僅是普通數學推理的結果。另一方面，他認為，說需要新公理 ［即大基數公理 \\( 簡稱 LCA\\) ］ 解決不可判定的命題，其實是在回避問題。因為我們尋找的不是新公理，而是它與 ZFC 的一致性。但在接受 ZFC + LCA 和接受 Con \\( ZFC + LCA\\) \\( “Con”表示 “一致或相容”\\) 之間存在差別。在不承認大基數公理具有確定真值的情況下，如果有理由接受 Con \\( ZFC + LCA\\) 但不接受 ZFC + LCA，那么我們不應當視 LCA 為公理。在承認大基數公理有真值的情況下，可以忽略 Con \\( ZFC + LCA\\) 和 ZFC + LCA 之間的差別，但是還需要說明為什么承認 LCA 而不是它的否定為真。這兩種情況都說明，我們不應該如同接受皮亞諾算術公理一樣接受它們。

麥蒂針對費弗曼提出的第一個理由給出了反駁。她認為 ZFC 甚至更弱的系統對于當代科學可能夠用，但或許實踐科學并非根據這些較弱系統就能得到，而且純數學的本質就在于自由。因此本著探索的精神，使用非直謂方法和更高的無窮公理是必要的，從而期望獲得更多數學上有趣的結構。斯蒂爾針對費弗曼的第二個理由提出質疑。他認為，費弗曼僅僅說尋找新公理對多數數學家來說不重要，但沒有說明 ZFC + LCA 和 Con \\( ZFC + LCA\\) 之間不同的實際行為內容可能是什么，也沒有回答解決第二類獨立性命題的大基數公理是否應當算作好的證據，或者是否應該尋找其他方向的解決方案。

從上述的爭辯可以看出，費弗曼、麥蒂和斯蒂爾的分歧最終落在經由外在辯護的新公理是否合法的問題上。這種分歧的根源在于，費弗曼基于自然數的實在論立場支持一階數論公理，否認尋找二階以上的數論公理; 麥蒂認為尋找新公理不涉及哲學立場的考慮，只需要根植于集合論的實踐目標。斯蒂爾和麥蒂的觀點大體一致，只是他在闡述怎樣算是連續統問題的解決時，還強調哲學在新公理綱領中可以扮演更積極的角色。

四、新公理討論的最新進展

2000 年后，贊同尋找新公理的諸多學者希望為新公理綱領提供更好的辯護，而費弗曼等則依然堅持己見，認為連續統假設是含糊的問題。

\\( 一\\) 柏拉圖主義立場的辯護

美國數學家和集合論專家武丁自 80 年代開始，努力尋求連續統問題的解決。他在 2004年的論文 《羅素之后的集合論: 回到伊甸園》中攻擊反柏拉圖主義者關于集合論意義的不可知論，認為連續統假設是一個有意義的問題。技術上，他認為連續統問題應該以否定的方式解決，它的假不是基于公理的具體選擇，而是根據公理被要求的完全性屬性。武丁的這種判定依賴于他的 Ω 猜想，Ω 猜想斷言，如果存在一個武丁基數的真類，那么對每個語句 φ，如果 θ \ue0d0φ，那么 θ \ue0ceφ。哲學上，武丁支持一種 “條件句的柏拉圖主義立場”⑦，即，如果投影決定性公理是真的，那么解決連續統問題的公理也將是真的。因此他的論文首先闡述了二階數論上投影決定性公理的正確性，然后說明我們不應當在這里停下來，而是要尋求三階數論上連續統假設的真值問題。

\\( 二\\) 解釋新公理的現象學路徑

K. 豪瑟 \\( Kai Hauser\\) 作為一個集合論專家和數學哲學家，從 90 年代起發表的多篇論文都圍繞著新公理展開。他在 2004 年 《羅素悖論一百年》中發表的論文 《何謂和該何謂新公理》中，嘗試用胡塞爾的現象學解釋現代集合論發展中的新公理。

豪瑟首先概述了證成新公理的內在和外在證據，并表明基于外在證據的新公理，只有用內在證據說明時才可以被視為公理。這與豪瑟要求公理滿足某種內在似真性有關，即公理蘊涵在它意欲表達的集合概念之中。因此，反對和拒絕新公理都應當解釋集合概念的含義是什么。他認為，集合概念的含義實際上存在于心靈堅持數學客觀實在的關系之中，這直接涉及主體的主觀思考如何提供理由和依據，來選擇具有客觀有效性的公理。對此，豪瑟認為胡塞爾的現象學有助于這一努力。

胡塞爾的現象學涉及兩個認識論的基本問題: 第一，如何理解對象存在于 “自身之中”且在認識中被 “給予”; 第二，如何使思考主體聲稱獲得對象的知識。胡塞爾在探究這兩個問題時有一個重要的洞察，即，對象的實際存在對給定行為的指向性不是決定性的。［指向性，即，我們在執行行為時，我們的意識有一個特定的結構，胡塞爾稱其為意向性\\( noema\\) ，它是所有意識行為 “意義”概念的概括。］ 對象能夠存在于 “自身之中”，意指對象在不斷變化的意識流中保持不變和同一，而且正是它在各種出現中保持同一，我們才能對它產生知覺。這里不考慮所指對象是否 “實際”存在，而且我們對它的知覺是不完全的，但包含對象其他可能方向的預示，諸如當我看到一棟房子的前面時，可以想象房子背后的樣子。不過，此時只能說明，意識行為如何獲得對象的固有屬性。要獲得對象的知識必須包含兩個行為的組合。語言性的符號行為 \\( 它僅指向一個對象\\) 和思想性的直覺行為 ［等同于知覺行為 \\( 在該行為中意識直面一個對象\\) ］。當直覺行為中被直觀到的對象與符號行為中 “僅被意指” 的對象吻合時，關于對象的知識產生。胡塞爾稱這個經驗為 “實現［fulfillment］”。它是基于符號行為和直觀行為之上的一種行為，它的意向相關項是符號行為的意向對象和直覺行為的意向對象之間的同一性。 “根據這個理論，認識是一個行為復合體，是建立在低階的符號行為和直覺行為之上的高階識別行為?！雹嗬?“實現”可以獲得認識行為的主觀性與內容客觀性的一致，不過這個過程是漸進的。主要因為 “對象”受限于知覺者的主觀范圍，但它的片面呈現仍使得它可能在其他方向上被知覺。因此 “‘客觀存在’的含義 \\( meaning\\) 就是對應于對對象的可能知覺變化，不斷地給 ‘不飽和的’意向相關項組成的開放系統進行 ‘填充’”。

⑨通過胡塞爾的知覺理論，豪瑟試圖說明被支持的公理以及它們的證據，取決于集合概念的含義在意識中構成并依賴于意識，因此需要解釋哪些行為涉及到集合概念的構造。

這包含: 由 “復多”形成 “一”的匯集行為; 演繹出 ZF 公理的迭代行為; 將迭代概念和集合的累積分層重塑為大全集 V 的含義分析的反射行為，使得對 V 成立的已經在它的前段成立等等。最終，這些行為形成一個復雜的行為網絡，它們的意向相關項分別就是我們可以視為對象 \\( 或客觀存在\\) 的東西: 集合、迭代概念形成的累積分層、不可達基數、馬羅基數等等。這實際上印證了胡塞爾的知覺行為的主觀性與內容客觀性的一致，即，對應于不斷的知覺變化，不斷填補不飽和的意向相關項。

盡管如此，上述行為仍無法斷定可測基數的存在。但胡塞爾的知覺理論畢竟說明了所有的知覺都是不完全的。因此給 V 的所有可能行為增加新成份，諸如哥德爾 L 上 V 的超越，就可以填補可測基數的出現。

投影決定性公理 ［簡稱 PD］ 作為二階數論上的公理，缺少與集合迭代概念的直覺聯系。它通常因給描述集合論問題提供一種解決方案而被視為合理。不過，當大基數公理等價于 PD 時，包含 PD 的公理系統可以在更強的意義上被證明是 “正確的”。

最后，豪瑟討論了連續統問題。這涉及集合論研究者在面對連續統問題的任何解決方案時，必定追問 “何謂一種解決”的共識。豪瑟認為武丁對連續統假設技術上的解決還不足回答這個問題，不過他指出，盡管武丁對 CH 采取柏拉圖主義的哲學立場，但他的方法實際上涉及 V 的所有可能行為的再解釋，而概念的現象學來源是這個 “再解釋”的關鍵?？傊?，按照豪瑟的觀點，我們必須考察數學家是如何意向性地與公理背后的那些事實關聯的，尤其關于集合概念的構造，這是數學家視某些公理為合理和自然的根據。另外，解釋新公理的現象學路徑并不與柏拉圖主義對集合論的解釋相沖突，因為它不涉及形而上學問題。

\\( 三\\) 自然主義哲學的路徑

從早期論文 “相信公理”開始，麥蒂的論文和著作都是圍繞數學哲學和集合論展開的。她的立場多年來幾經發展和變化，最終體現在她發表于 2011 年的論著 《為公理辯護: 論集合論的哲學基礎》中。在該著作中麥蒂提出了一種 “Thin 實在論”，嘗試用它來解釋集合論實踐的本質。Thin 實在論是一種后形而上學的客觀主義立場。它并不鑒于形而上學的哲學標準 \\( 如柏拉圖主義\\) 來評判集合論，而是認為集合論就是數學家公布的基本正確的理論。

這意味著集合就是集合論描述的那種東西; 關于集合的問題，集合論是唯一有關的權威?；谶@樣的客觀主義立場，在認識論上，我們關于集合的知識不可能出錯，也不可能存在與我有關的集合完全不同于我對它們的了解，因為集合被理解只需要訴諸于一系列數學思考從公理獲得。Thin 實在論的客觀性保證，歸因于潛藏在集合論公理背后 “數學深度”的客觀性，其中集合是這些數學深度的標記。數學深度是公理的 “外在”證成的概括，也是數學家在引進這些公理時覺察到的它們的各種特殊優點。數學深度的客觀性體現在: 即使數學家再多的偏愛或盲目關注某些公理，如果這些公理本來就不具有豐富的推論，那么數學家的關注不會使它的推論變得豐富。另外，公理的內在證成最終將歸入外在證成之中，原因在于 “內在證成”僅當與外在收益關聯時才體現價值。不僅如此，數學深度隨著公理系統的統一和擴展\\( 借助于新公理\\) 也會增加。例如，有了投影決定性公理，我們就可以將 ZFC 中證明的最初兩個層級投影集合的決定性擴展到整個投影分層。不過麥蒂坦然承認，她還沒有給出數學深度的滿意解釋?；谶@樣的后形而上學立場，Thin 實在論者對 CH 的態度比經典邏輯排中律意味的要多，但比柏拉圖實在論者 \\( 把 CH 的合法性訴諸于某種客觀實在\\) 意味的要少。也就是說，如果目前經典邏輯只能說明 CH 或非 CH，那么隨著新公理的增加，也許能夠在它的真或假中選擇其一，條件是我們需要領會解決 CH 的某公理探究的數學深度，否則可能永遠都不知道 CH 是否為真或假，盡管它具有確定的真值。

總而言之，在 Thin 實在論者看來，尋找新公理以及證成新公理的理由不是描述某個獨立于我們的客觀實在世界，而是探索數學深度的事實。同時，新公理的外在證成比內在證成更重要，因為所有被認為合理的公理都 “建立在承諾實現更多數學目標，發現更多豐富的概念和理論，以及產生更深刻的數學基礎之上。最終，我們旨在以組織和擴充數學思考的有效方式，以產生多產的新假設的有用試探法等等來尋求一致的理論”。

\\( 四\\) 公理的認知證據序列

P. 克勒納 \\( Peter Koellner\\) 在他 2011 年的論文 《大基數和決定性》 中把內在證成的新公理與外在證成的新公理放入公理的證據序列中來說明公理的本質。

克勒納首先闡述了數學公理系統的可解釋性分層，他認為從簡單的算術公理系統出發，到二階算術層級，集合論的子系統，大基數公理的分層等等可以形成一個良基的可解釋性分層。然后，他說明公理的本質不在于主觀的自明概念，而在于 “……比……更顯然”的概念。利用這個概念，每個可解釋性層級中的公理可以組成一個關于認知的證據序列。由此，基于內在證成和外在證成的新公理都可以歸入這樣的證據序列中。這里，克勒納強調，處于證據序列極小點的公理不應當被視為自明的，因為在更高可解釋性分層的證據序列中處于極小點的公理通常并不是顯然的。有關新公理的證成，他認為更為普遍的情況是，檢驗處于證據序列較低層級的公理之間的相互連接，希望一系列深刻的定理顯示它們之間的結構關系。當這些結構關系在更為豐富的數學領域中被揭示時，就可以為這些公理提供更多地證據支持。最后，克勒納討論了二階數論層級上決定性公理和大基數公理之間結構關系的具體例子以印證他提出的觀點，并期望這同樣適用于說明三階數論層級上引進的新公理。

就當前新公理問題上存在的沖突，克勒納認為暫時還無法解決。但是他認為那些拒絕新公理的人應當說明公理界限的劃定標準是什么; 而他作為新公理的支持者，認為可解釋性分層中公理的復雜連接可以作為證據，支持尋找更高層級的新公理。

\\( 五\\) 直謂主義者的反抗

費弗曼在2011 年的論文 《連續統假設是確定的數學問題嗎?》中再次解釋了他為什么相信連續統假設不是一個真正問題的理由，其基本觀點與 1999 年時的看法大致相同，即任意集合的概念是內在含糊的。不過，在 2011 年的論文中，費弗曼從三個方向更細致地考察了這個問題。第一個方向是與千禧年大獎問題相關的思想實驗，背景是 2000 年克雷數學研究所的科學顧問委員會，宣布了七個未解決的數學問題，而連續統假設不在其中。通過模擬科學顧問委員會和集合論專家之間的對話，費弗曼表明，如果 CH 被加到七個問題之中，那么困難將是數學真理不再普遍有效，因為它們基于更高的不尋常假定。第二個方向涉及概念結構主義的數學本質。他用十個命題總結他的概念結構主義，強調所有數學思想的主體間性的來源。他認為，數學對象是作為心智概念存在的結構，它的客觀性在于主體間交流時的穩定性和連貫性。但 CH不具備這樣的客觀性，它的客觀性來自柏拉圖主義的集合世界。第三個方向涉及區分確定和不確定概念的邏輯框架。確定的概念意指如果陳述 A 是確定的，那么它或真或假。費弗曼認為在半構造集合論系統加上斷定 ω 的冪集存在的邏輯框架中連續統假設是不確定的。

五、結 語

根據以上綜述可以看出，無論是新公理的反對者還是支持者，無不希望尋求公理背后的客觀實在性以闡明數學的客觀性。盡管存在如下分歧: 公理是否應該遵從自明的標準、應該支持多高層級的無窮集合才合適、懸置本體論直接強調認識論、哲學立場在新公理辯護中到底該不該起作用等等，但學者們都期望通過對 “數學家的實踐”、“主體間性”、“心理學上的事實”、“關于認知的證據序列”等一系列主觀性的辨析來實現這一訴求，這意味著學者們普遍贊同客觀與主觀并不是完全脫離的，公理的客觀有效性應該在考察數學家心智活動的前提下被研究。在這一背景下，筆者認為新公理哲學研究的未來趨勢將依然是，具體的公理和證成的理由可以被分析、支持或批評，但是這些公理的選擇以及關于它們的證據必須包含意識的意向結構，從而使得所有已形成的理論變得可以理解。