摘要：基于抽象原則與類包含原則， 黑爾、萊特等新弗雷格主義者為凱撒難題給出了范疇求解方案。但其對范疇或范疇類的劃分一方面排除了不同類對象之間可能具有的同一性， 另一方面不能提供如何將不同對象落入不同范疇的應用標準。為此， 佩德森提出基于類上等價關系的無范疇修正方案。而其對“等價類”的劃分、S=標準的合法性以及同一性的統一標準實質上仍依賴對范疇類的預設， 因此面臨與黑爾、萊特相同的困境。在這個意義上， 新弗雷格主義者為邏輯主義辯護的預期并未達成。
關鍵詞：凱撒難題； 新弗雷格主義； 范疇； 無范疇；
凱撒難題是弗雷格試圖從邏輯推導算術過程中遇到的。該難題表明構成弗雷格的概念外延理論和由該理論推導算術的過程之間不可完美契合。一方面弗雷格綱領秉持概念實在， 另一方面弗雷格對算術的推導要通過“等數”來確立， 而在“等數”關系的確立過程中， “凱撒難題”的解決運用了蘊含“羅素悖論”的概念外延理論， 導致凱撒難題懸而未決。這一難題要求在避開“羅素悖論”的前提下對其求解， 進而實現弗雷格計劃。但保留概念的外延理論， 同時又不放棄基本定律V對數的顯定義， 顯然無法解決凱撒難題。近年來， 以黑爾 （B.Hale） 和萊特 （C.Wright） 為代表的新弗雷格主義者， 在對弗雷格計劃恢復過程中， 以語言分析為工具， 試圖最大限度地堅持弗雷格的邏輯基礎主義。
一、新弗雷格主義中的凱撒難題
凱撒難題是對弗雷格綱領恢復計劃中的子問題， 因而新弗雷格主義的最終目標是避開悖論解決凱撒難題， 把算術歸約為邏輯。以黑爾和萊特為代表的新弗雷格主義方案從本質上講是對弗雷格主義兩大版塊 （概念外延的哲學理論與從外延理論中定義算術概念及推導算術公理的過程） 進行修飾處理。[1]62為了避免由于構建概念外延理論而蘊含羅素悖論， 黑爾和萊特采取基于類概念的抽象原則引入概念， 以實現其系統內部的一致性。但凱撒難題仍以新的形式顯現出來。
抽象原則的一般形式如下：
其中Σ是一個由αφ和αk的表達所引入的概念形成算子， ≈是αφ和αk所指實體之間的等價關系。 （AP） 引入算子Σ來擴大語言表達能力， 該式假定了{‘α1’…‘αk'}可以表達語言中特殊相關謂詞間的相等關系。 （AP） 的成立暗含了兩個相關的約定： （1） 算子可使已知表達 （’αj', ‘αk’） 與未知表達之間建立聯系。 （2） 引入等式的真值條件與已知句子 （αj≈αk） 的真值條件相同。 （AP） 說明了引入等式的用法， 從語法上看引入的詞就是單稱詞， 所以按照句法決定理論， （AP） 通過算子成功引入了單稱詞。
抽象原則的意義不只是引入新的單稱詞， 更重要的是它提供了一種從已知表達來判斷未知表達的方法。如果能確認“αj≈αk”的真值， 根據約定一致的真值條件就能確定形如‘∑αj=∑αk’的陳述語句的真值。如果可以證實一個句子的真值， 根據 （SP2） 和 （SP3） （見注釋 （1） ） , 就可以確定語言所指稱的對象和世界相對應。由此抽象原則保證了從語言到真實世界的可靠性， 把我們沒有認知的事物轉換成已經熟悉的事物。
應用抽象原則來說明數字單稱詞的概念時， 該原則就是著名的休謨原則：
其中“#F”表示F的基數；“#G”表示G的基數；“≈1-1”表示一一對應。借助休謨原則， 可以給出數字單稱詞的一種隱定義。把休謨原則加入二階邏輯， 就可得到皮亞諾算術的所有公理。因此， 新弗雷格主義者通過對抽象原則進行約定可以從具體知識進入抽象知識， 從邏輯知識進入數學知識， 弗雷格把算術歸約為邏輯的初衷由此達成。
借助抽象原則可以識別對于已經歸屬于某個概念下的對象之間所具有的同一性關系， 但仍無法說明某個或某些對象依據什么原則歸屬于某個概念之下。對于純算術語言中的對象， 如1, 2, 3等， 它們的同一性可以直接由休謨原則得到鑒定， 從而引入其相關的概念。但這些數是什么對象通過休謨原則是找不到答案的， “凱撒是否是一個數”這一難題再次出現。
二、黑爾-萊特范疇求解與修正
事實上， 正是由于 （HP） 僅提供了區別一些對象是否屬于一個概念的同一性標準， 而沒有提供說明分屬不同概念的對象是否同一的應用性標準， 弗雷格拒絕使用 （HP） 作為數的定義。通過 （HP） 引入數， 同時也引入了可數這個類概念， “凱撒難題”就體現為通過 （HP） 無法說明凱撒是否屬于可數這一類概念， 因而無法判斷“凱撒=3”這類命題的真值。
1. 黑爾-萊特的范疇求解
黑爾與萊特承認抽象原則不能為引入的概念提供直接的應用標準， 但堅信基于類概念與同一性標準凱撒問題仍可得到解決。通過對范疇的進一步劃分， 說明凱撒所屬的類概念不可能歸屬于一個可數的類。他們指出， “所有對象都屬于某個特定的一般范疇的最小范圍內， 每一個最小范圍根據其自身又劃分為一般的純類；其中所有對象具有它們所屬特定純類給定的一個根本性特質。在一個范疇中， 對象之間的所有區別通過依據它所特有的同一性標準都是可說明的。而跨范疇的情況下， 對象只是由于它們分屬不同的范疇而存在區別。當然正是由于這些原因， 我們已經開始嘗試認為凱撒不是數這一點顯而易見?！盵3]390-391
黑爾-萊特求解方案的依據是類包含原則 （Sortal Inclusion Principle） .
類包含原則 （SIP） 所描述的是一類對象F包含在另一類對象G之中， 當且僅當關于G的同一性陳述與斷定滿足G和F相對應的同一性陳述相同。[2]129
根據 （SIP） 可以區分凱撒和數， 因為沒有一個對象可以落入類概念F之下且與落入類概念G之下的對象同一， 除非對于任意同一性陳述“a=b”和“A=B”具有相同的真值條件， 其中a, b能夠指稱F中的對象， A, B可以指稱G中的對象。[4]215簡言之， 其基本思想就是以類概念為核心進而對范疇進行劃分。類概念是一個對象的必然特征。所有對象都歸屬于類概念之下， 而每一個類概念都具有一個唯一的同一性標準。范疇是類的最大擴張類， 對于每個范疇來說， 同一性標準是依賴于該范疇的。所有范疇都滿足 （I） 對于某給定范疇F, 其所有子類都共享同一性標準； （II） 對任意對象x, 如果x不是F, 則x落入的任意類G與F的同一性標準不同。對象根據歸屬共享同一性標準的類而被組織在一個范疇中。不同范疇中的對象是不同的， 即這些對象歸屬的任意類不共享同一性標準。因此， 任意兩個范疇F與G, 要么是同延的， 要么不具有共同的對象。由于凱撒分屬不同的范疇， 它不可能是一個數， 凱撒難題得解。
2. 黑爾-萊特范疇求解的問題
黑爾-萊特的范疇求解方案很快遭到了質疑。一方面以達米特 （M.Dummett） 為代表的學者認為這種解決方案太強， 因為它排除了不同類對象之間可能的識別標準。[5]161-2例如， 數學家有時會把整數和自然數看成是復數。而由于不同的同一性標準對應著不同種類的數， 根據 （SIP） 類概念整數和自然數不能應用于復數之上， 那么就沒有自然數和整數是復數。對此， 麥克布萊德 （F.Mac Bride） 認為新弗雷格主義者可以選擇拒絕接受單稱詞在句意上的指稱作用， 把類之間的關系模型化， 數學家就不必建構自然數和整數成為復數， 只需把復數視為整數和自然數結構的模型。[2]129
另一方面范疇求解方案又太弱， 因為它實際上并沒有提供一種應用性標準。[2]130面對這方面質疑， 黑爾與萊特做出了妥協， 他們承認通過 （HP） 引入的類概念的確不可應用于凱撒， 但這并不代表凱撒不能應用于其他類的抽象對象。而由此引發的進一步質疑是， 假設存在一個和自然數序列同構的序列， 二者具有相同的同一性標準， 在自然數序列中引入2, 在與自然數同構的序列中引入凱撒， 由于二者同構且具有相同的同一性標準， 因此2仍有可能等同于凱撒。黑爾與萊特的 （HP） 不能提供一種區別自然數同構序列的應用性標準， 只能找到一個更細致的描述方法來說明其可應用性。這個缺陷在奎因 （W.V.Quine） 看來是不可避免的， 因為單稱詞對事物的描述本身就存在缺陷， 它不可能極盡所能。通過語言的指稱必然存在這樣的缺陷。[6]123-127
黑爾-萊特的范疇求解沒有真正闡明引入的概念與凱撒的同一性關系。在類包含原則引入類概念過程中表意并不明確， 如果它僅是指“某個類”, 那就會有不同的“類”具有相同的指稱；如果它是指“指稱”, 那么 （SIP） 就可以引入單稱詞。[2]131除非兩個類在其同一性陳述中包含共有的對象， 否則這兩個類不可交疊， 顯然 （SIP） 不能合理解釋這種情況。由于同一性陳述可以處理成不同的表達， 這就很難排除同一種對象具有不同的表達。如果凱撒處于兩個類的交疊處， 不同的陳述中就可能包含對象具有相同的指稱， 那么凱撒就可能是2.具有生物特性的對象和數學對象乃至形而上學對象是否會存在一個“對象”為它們所共有， 這也是黑爾與萊特無法說明的。
3. 黑爾-萊特的范疇求解方案修正
針對這些質疑， 赫克 （R.Heck） 提出了修正方案。他認為解決凱撒難題， 必須面對兩個挑戰：第一在休謨原則所把握的關于數詞的理解基礎上， 說明人們是如何理解關于跨類同一 （Trans-sortal I-dentification） 的問題， 并且說明人們如何知道數的類不同于人的類；第二， 在同樣的基礎上， 說明人們如何理解“x是概念G的數”這個謂詞。一方面， 凱撒難題要求我們給出數概念與人概念的區分標準；而另一方面， 弗雷格定理又要求我們把作為對象的數與其他對象看作同一類對象。[7]65
基于這一認識， 他假定存在包含兩種類 （twosorted） 的語言， 該語言包括“基本”個體變量；數字個體變量；基本謂詞變量；數字謂詞變量以及用角標明確標明的不同邏輯類型的關系變量。該語言包含兩種同一性謂詞：一種是關于基礎變量的， 其中兩個變元的位置由基本項填充；另一種是關于數字變量的， 其中兩個變元的位置由數字項填充?；旌闲屯恍躁愂鲈谠撜Z言中不是合式的。如果不討論混合同一性陳述的真值， 赫克的方案就可以避免凱撒難題。[3]335-396
但在黑爾和萊特看來赫克的修正方案并不可行。赫克對兩種類語言的假定實際上取決于混合同一性陳述的真值， 也就是說對基本與數的類別區分已經預設了對混合同一性陳述的真假判定， 并將其作為邏輯起點。而黑爾和萊特認為如何對混合同一性陳述給出判定或者如何說明數與凱撒是否同一才是新弗雷格主義者真正要回答的， 因此跨類 （范疇） 的同一性探討仍是必要的。
三、凱撒難題的無范疇求解
基于對范疇概念的界定不確定性以及歸屬范疇的類表述不明確 （例如集合和數是否屬于不同的范疇， 不同種類的數是否屬于不同的范疇） 等困難， 佩德森 （N.J.Pedersen） 試圖只依據類上的等價關系降低對“范疇”的依賴， 從而提出無范疇的求解方案。
1. 重解黑爾-萊特求解模式
根據類包含原則的應用標準可知每一個對象都滿足一個類概念， 假定對于每一個本體對象都落在一個類概念之下遵從了以下的原則[8]506:
（P1） 每一個類概念都擁有一個獨立的同一性標準。
為確保對于不同類概念共享同一性標準， 黑爾和萊特接受以下定義：
（D1） 對于任意兩個類X和Y, 當且僅當它們各自的同一性標準一致時S （X, Y）
（SIP） 可重解為以下定義：
（D2） 當且僅當對于任意屬于X的對象x同時屬于類Y且S （X, Y） 時， 類X包含于另一個類Y.
如果一個類概念X包含在類Y中， 則X在類Y之下。范疇是類的最大擴張：
（D3） 當且僅當滿足以下條件： （i） 所有的X下的類共享同一性標準； （ii） 對于任意對象x, 如果不屬于X則類Y下的對象與X不共享同一性標準， 則類X的外延是范疇。
為了保持與黑爾-萊特最初的描述一致， 保留 （D2） 第一條件并給出以下原則：
（P2） 對于任意兩個類X和Y, 如果X和Y擁有一個共同對象x, 那么存在一個類Z被X和Y所包含。
（P3） 對于給定具有共同同一性標準的類X1, X2, …， Xk, 存在一個與這些類的并的同延類。
如果 （P3） 能確保范疇存在， 則依據上述定義和原則可得出以下結論：
（R1） 任意兩個范疇X和Y, 或者是同延的， 或者沒用共同的對象。
如果 （R1） 是合理的， 那么兩個不同的范疇就不同延， 那么：
（R2） 如果兩個類X和Y包含于兩個不同的范疇C和D, 那么X和Y沒用共同的對象。
由此可知， 類概念數和人擁有不同的同一性標準， 所以數和人不可能屬于同一個范疇。不同范疇中的對象之間不會擁有共同的同一性標準， 這依據以下原則：
（U） 一個對象只對應于一個范疇。
接受 （U） 是為了鑒別跨范疇對象間的關系。對于一個同一性陳述a=b （這里的a, b分別指示不同范疇的對象） , 由于沒有可訴諸的同一性標準因而無法對上述陳述做出真假判斷。為解決這類問題， 佩德森在重解框架中進一步給出了范疇類 （categorical sortal） 的定義：
（D3*a） 一個類X在S下的等價類是類X在該關系下構成的類。
（D3*b） 當且僅當對于任意的x, x是X, 只有當x落在X在S下的等價類的一個類中， 類X為一個范疇類。
（D3*a） 中S表示類概念間共享同一性的等價關系。 （D3*b） 表明， 只有當X與其自身在S下的等價類同延， X是一個范疇類。 （P3） 和 （D3*b） 確保了由S下等價類構成的范疇類的存在。 （D3*a） 和 （D3*b） 的結合可以闡明S下的等價類。
2. 佩德森的無范疇求解方案
在上述結果的基礎上， 佩德森進一步強調對“范疇”以及“范疇類”的預設并不必要， 認為可以完全通過只接受類上的等價關系來求解凱撒難題， 最后實現算術向邏輯的化歸。其無范疇的求解思路是采納 （D1） , （D2） , （D3*a） , （P1） 和 （P2） , 舍棄 （D3*b） 和 （P3） .[8]509
“凱撒難題”求解的關鍵在于S是類概念間共享同一性的等價關系， 一旦這種關系得到確立， 類就根據該關系下的等價類得到劃分。對于S下任意的兩個等價類， 它們或者同一或者不相交。由于每個類具有的同一性標準是獨有的， 因此不可能存在具有不同同一性標準的類處于S下的等價類中。黑爾-萊特的范疇求解模式中 （R2） 使得類概念數和人可以分屬不同的同一性標準， 因此這些類就包含在不同的范疇中。佩德森認為消除對范疇的預設可以達到同樣的效果， 于是給出以下相應結論：
（R2*） 如果類X和Y在S下的兩個不同等價類中， 那么X和Y沒有共同的對象。
在黑爾和萊特看來， 類概念數和人具有不同的同一性標準。關于某種關系是否能成為同一性， 這取決于依據該關系相關的同一性陳述是否能得到斷定。而在跨范疇同一性的情況下， 沒有也不可能存在這樣的標準。在佩德森的無范疇框架下， 根據 （D3*a） , 數和人處于S關系下的不同等價類中， 而針對跨范疇同一性的問題可以借助 （U*） 得到說明。
（U*） 沒有對象可以落入S下兩個不同的等價類中。
可以把 （U*） 作為黑爾-萊特范疇求解模式重解中 （U） 的副本， （U*） 確保了抽象原則引入單稱詞的確定性， 由此凱撒難題得到解決。
四、無范疇求解的問題
佩德森的無范疇求解消除了對范疇的依賴， 在概念預設上更為節儉， 使新弗雷格主義的本體論結構更加清晰。但除了將范疇的劃分轉換為類上等價關系的劃分之外， 無范疇求解方案同樣無法給出凱撒與數是否同一的應用性標準， 因而與黑爾-萊特范疇方案面臨相同的質疑， 其預期目標并未達成。
1.“等價類”對類的依賴性
針對黑爾-萊特范疇求解引發的質疑， 佩德森通過對范疇概念的刻畫提出用“類上的等價關系”替代“范疇”, 以削弱新弗雷格主義本體論框架對范疇的依賴。需要指出， 對“范疇”的消解并不能消除對類概念的假定， 無范疇方案正是通過對任意落入類X的x進行限制致使落入X的任意x的同延都被X所包含從而保證等價類的存在。即使佩德森的方案實現了從范疇到類的轉換， 類概念應用的合理性與對“范疇”的預設也一樣令人質疑。無論求解凱撒難題的范疇策略還是無范疇策略， 都依賴于對范疇或等價類的劃分， 從本質上講就是對類的劃分， 而如何對其劃分才是求解凱撒問題的關鍵。
2. S標準的合法性
佩德森用基于類概念的等價關系替代“范疇”的作用， 必須配合其所堅持的S才能完全發揮“范疇”的功能。S用來表示類概念間共享同一性的等價關系， 不同的類通過S得到劃分。只有在S下各種不同的類才能組成一個類似范疇的整體， 在這個等價類下， 假設同一性標準是獨立的， 不同對象就分屬不同的類。這里S起到了一個類似抽象原則的作用， 但抽象原則的合法性本身就存在很大爭議。抽象原則作為一種語言學約定不能確保非語言的存在性， 即使借助抽象法可以成功引入新對象， 也不能因此認為抽象原則是合法的。如果通過抽象原則確實引入了數字單稱詞并由此推出了數學對象的存在， 也只是因為之前已經預設了數的存在， 這顯然是一種循環論證。S也面臨類似問題， 比如在佩德森的無范疇框架中， 跨范疇的同一性問題同樣是不能討論的， 我們能做的只是在將對象落入不同等價類之后依據對等價類的劃分對跨等價類的同一性陳述做出真假判斷， 從而合理地引入相關對象。但凱撒難題的求解真正需要的恰恰是給出何以一個對象不能落入兩個不同等價類的說明。此外， 這里所能承認的斷言是條件性的， 即如果數存在則休謨原則描述了其存在。除非新弗雷格主義者能夠為數存在提供某種先在、獨立的確證， 否則就不能證實休謨原則以及S的合法性。
3. 統一的同一性標準
從本質上講， S標準是否合法取決于同一性標準是相對于某個范疇或某等價類所特有的， 還是存在一種統一的同一性標準為所有范疇或類共有。對于黑爾-萊特的范疇求解和佩德森的無范疇求解而言， 同一性標準必須是某范疇或等價類所獨有的， 否則會出現凱撒與數落入同一范疇或等價類中導致二者同一的問題。為了規避這一問題， 佩德森承認統一同一性標準的必要性， 主張把萊布尼茲定律作為統一標準， 進一步定義子共享同一性標準 （Sub-sharing a criterion of identity） 的等價關系sub-S, 用它替換原來的S得到之前的所有相應結果。[9]149-153也就是說， 盡管存在一種統一的同一性標準， 包含所有類在內S下的相應等價類根據對S進行分層， 把對象歸入不同的子范疇中將數與人隔絕開， 凱撒難題同樣得解。如此一來， 他必須承認存在包含所有對象的范疇， 從而接受子范疇的存在。這無疑使他回到了黑爾-萊特新弗雷格主義的原點。
結語
事實上， 凱撒難題是一個涉及認識論、形而上學以及語義學等的問題， 僅從一方面對其求解必然是片面的。新弗雷格主義對語言分析的強調， 的確為我們提供了有益的方法論借鑒， 開拓了我們的研究視域。但從凱撒難題的求解也折射出分析哲學研究的局限性， 促使我們辯證地看待邏輯的作用?；氐叫赂ダ赘裰髁x將算術化歸為邏輯的根本立場， 我們也需謹慎對待。伴隨當代數學各分支的縱深發展， 算術、分析、幾何、代數等學科分支之間的融合與交叉愈發明顯， 為整個數學構建合理的基礎與統一的需求也愈發強烈。將數學化歸為邏輯的可行性與必要性應交由數學實踐來評判。當前以對象和函子為基本概念的范疇論作為一種數學基礎的現實選擇， 已升華為一種數學結構主義的重要進路。它無疑有助于解決或消解數學哲學中的傳統難題， 對揭示數學的本體論、認識論以及語義學等問題， 具有廣泛而重要的應用空間。但應明確的是， 數學中的范疇論與新弗雷格主義披著“范疇”外衣
參考文獻
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[2]Mac Bride, FSpeaking with Shadows:A study of Neo-Logicism[J].British Society for the Philosophy of Science, 2003, 54 （1） :103-163.
[3]Hale, B.and Wright CTo Bury Caesar…in Hale and Wright[M].Oxford:Oxford University Press, 2001.
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[6]Wright CFrege's Conception of Numbers as Objects[M].Aberdeen:Aberdeen University Press, 1983.
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[8]Pedersen, N.JConsiderations on Neo-Fregean Ontology in Proceedings of GAP.5[J].Bielefeld, 2003, （9） :504-511.
[9]Pedersen, NJSolving the Caesar Problem Without Categorical Sortals[J].Erkenn, 2009, 71:141-155.
[10]弗雷格。算術基礎[M].王路， 譯。北京：商務印書館， 2001.
[11]Hale, B and C.Wright.The Reason's Proper Study[M].Oxford:Claredon Press, 2001.
注釋
（1） （1） （SP1） 句法決定性 （Syntactic Decisiveness） :如果一個表達可以闡明對一個單稱詞的句法特征， 那么它也就決定了該表達具有一個單稱詞的語義功能。 （SP2） 指稱最簡性 （Referential Mininmalism） :如果一個指稱表達出現在一個真的原子句中， 那么這一事實決定了世界上存在一個條目， 它與表明該表達的那個指稱相對應。 （SP3） 語言優先性 （Linguistic Priority） :語言范疇優先于本體論的范疇；一個條目屬于對象范疇， 只有當一個單稱詞指稱它時才可能。參見參考文獻[2].
（1） （1） S=表示類概念間共享同一性的等價關系。
（1） （1） 萊布尼茲定律：當且僅當任意兩個對象共享所有性質， 它們是同一的。
關鍵詞：凱撒難題； 新弗雷格主義； 范疇； 無范疇；
凱撒難題是弗雷格試圖從邏輯推導算術過程中遇到的。該難題表明構成弗雷格的概念外延理論和由該理論推導算術的過程之間不可完美契合。一方面弗雷格綱領秉持概念實在， 另一方面弗雷格對算術的推導要通過“等數”來確立， 而在“等數”關系的確立過程中， “凱撒難題”的解決運用了蘊含“羅素悖論”的概念外延理論， 導致凱撒難題懸而未決。這一難題要求在避開“羅素悖論”的前提下對其求解， 進而實現弗雷格計劃。但保留概念的外延理論， 同時又不放棄基本定律V對數的顯定義， 顯然無法解決凱撒難題。近年來， 以黑爾 （B.Hale） 和萊特 （C.Wright） 為代表的新弗雷格主義者， 在對弗雷格計劃恢復過程中， 以語言分析為工具， 試圖最大限度地堅持弗雷格的邏輯基礎主義。
一、新弗雷格主義中的凱撒難題
凱撒難題是對弗雷格綱領恢復計劃中的子問題， 因而新弗雷格主義的最終目標是避開悖論解決凱撒難題， 把算術歸約為邏輯。以黑爾和萊特為代表的新弗雷格主義方案從本質上講是對弗雷格主義兩大版塊 （概念外延的哲學理論與從外延理論中定義算術概念及推導算術公理的過程） 進行修飾處理。[1]62為了避免由于構建概念外延理論而蘊含羅素悖論， 黑爾和萊特采取基于類概念的抽象原則引入概念， 以實現其系統內部的一致性。但凱撒難題仍以新的形式顯現出來。
抽象原則的一般形式如下：
其中Σ是一個由αφ和αk的表達所引入的概念形成算子， ≈是αφ和αk所指實體之間的等價關系。 （AP） 引入算子Σ來擴大語言表達能力， 該式假定了{‘α1’…‘αk'}可以表達語言中特殊相關謂詞間的相等關系。 （AP） 的成立暗含了兩個相關的約定： （1） 算子可使已知表達 （’αj', ‘αk’） 與未知表達之間建立聯系。 （2） 引入等式的真值條件與已知句子 （αj≈αk） 的真值條件相同。 （AP） 說明了引入等式的用法， 從語法上看引入的詞就是單稱詞， 所以按照句法決定理論， （AP） 通過算子成功引入了單稱詞。
抽象原則的意義不只是引入新的單稱詞， 更重要的是它提供了一種從已知表達來判斷未知表達的方法。如果能確認“αj≈αk”的真值， 根據約定一致的真值條件就能確定形如‘∑αj=∑αk’的陳述語句的真值。如果可以證實一個句子的真值， 根據 （SP2） 和 （SP3） （見注釋 （1） ） , 就可以確定語言所指稱的對象和世界相對應。由此抽象原則保證了從語言到真實世界的可靠性， 把我們沒有認知的事物轉換成已經熟悉的事物。
應用抽象原則來說明數字單稱詞的概念時， 該原則就是著名的休謨原則：
其中“#F”表示F的基數；“#G”表示G的基數；“≈1-1”表示一一對應。借助休謨原則， 可以給出數字單稱詞的一種隱定義。把休謨原則加入二階邏輯， 就可得到皮亞諾算術的所有公理。因此， 新弗雷格主義者通過對抽象原則進行約定可以從具體知識進入抽象知識， 從邏輯知識進入數學知識， 弗雷格把算術歸約為邏輯的初衷由此達成。
借助抽象原則可以識別對于已經歸屬于某個概念下的對象之間所具有的同一性關系， 但仍無法說明某個或某些對象依據什么原則歸屬于某個概念之下。對于純算術語言中的對象， 如1, 2, 3等， 它們的同一性可以直接由休謨原則得到鑒定， 從而引入其相關的概念。但這些數是什么對象通過休謨原則是找不到答案的， “凱撒是否是一個數”這一難題再次出現。
二、黑爾-萊特范疇求解與修正
事實上， 正是由于 （HP） 僅提供了區別一些對象是否屬于一個概念的同一性標準， 而沒有提供說明分屬不同概念的對象是否同一的應用性標準， 弗雷格拒絕使用 （HP） 作為數的定義。通過 （HP） 引入數， 同時也引入了可數這個類概念， “凱撒難題”就體現為通過 （HP） 無法說明凱撒是否屬于可數這一類概念， 因而無法判斷“凱撒=3”這類命題的真值。
1. 黑爾-萊特的范疇求解
黑爾與萊特承認抽象原則不能為引入的概念提供直接的應用標準， 但堅信基于類概念與同一性標準凱撒問題仍可得到解決。通過對范疇的進一步劃分， 說明凱撒所屬的類概念不可能歸屬于一個可數的類。他們指出， “所有對象都屬于某個特定的一般范疇的最小范圍內， 每一個最小范圍根據其自身又劃分為一般的純類；其中所有對象具有它們所屬特定純類給定的一個根本性特質。在一個范疇中， 對象之間的所有區別通過依據它所特有的同一性標準都是可說明的。而跨范疇的情況下， 對象只是由于它們分屬不同的范疇而存在區別。當然正是由于這些原因， 我們已經開始嘗試認為凱撒不是數這一點顯而易見?！盵3]390-391
黑爾-萊特求解方案的依據是類包含原則 （Sortal Inclusion Principle） .
類包含原則 （SIP） 所描述的是一類對象F包含在另一類對象G之中， 當且僅當關于G的同一性陳述與斷定滿足G和F相對應的同一性陳述相同。[2]129
根據 （SIP） 可以區分凱撒和數， 因為沒有一個對象可以落入類概念F之下且與落入類概念G之下的對象同一， 除非對于任意同一性陳述“a=b”和“A=B”具有相同的真值條件， 其中a, b能夠指稱F中的對象， A, B可以指稱G中的對象。[4]215簡言之， 其基本思想就是以類概念為核心進而對范疇進行劃分。類概念是一個對象的必然特征。所有對象都歸屬于類概念之下， 而每一個類概念都具有一個唯一的同一性標準。范疇是類的最大擴張類， 對于每個范疇來說， 同一性標準是依賴于該范疇的。所有范疇都滿足 （I） 對于某給定范疇F, 其所有子類都共享同一性標準； （II） 對任意對象x, 如果x不是F, 則x落入的任意類G與F的同一性標準不同。對象根據歸屬共享同一性標準的類而被組織在一個范疇中。不同范疇中的對象是不同的， 即這些對象歸屬的任意類不共享同一性標準。因此， 任意兩個范疇F與G, 要么是同延的， 要么不具有共同的對象。由于凱撒分屬不同的范疇， 它不可能是一個數， 凱撒難題得解。
2. 黑爾-萊特范疇求解的問題
黑爾-萊特的范疇求解方案很快遭到了質疑。一方面以達米特 （M.Dummett） 為代表的學者認為這種解決方案太強， 因為它排除了不同類對象之間可能的識別標準。[5]161-2例如， 數學家有時會把整數和自然數看成是復數。而由于不同的同一性標準對應著不同種類的數， 根據 （SIP） 類概念整數和自然數不能應用于復數之上， 那么就沒有自然數和整數是復數。對此， 麥克布萊德 （F.Mac Bride） 認為新弗雷格主義者可以選擇拒絕接受單稱詞在句意上的指稱作用， 把類之間的關系模型化， 數學家就不必建構自然數和整數成為復數， 只需把復數視為整數和自然數結構的模型。[2]129
另一方面范疇求解方案又太弱， 因為它實際上并沒有提供一種應用性標準。[2]130面對這方面質疑， 黑爾與萊特做出了妥協， 他們承認通過 （HP） 引入的類概念的確不可應用于凱撒， 但這并不代表凱撒不能應用于其他類的抽象對象。而由此引發的進一步質疑是， 假設存在一個和自然數序列同構的序列， 二者具有相同的同一性標準， 在自然數序列中引入2, 在與自然數同構的序列中引入凱撒， 由于二者同構且具有相同的同一性標準， 因此2仍有可能等同于凱撒。黑爾與萊特的 （HP） 不能提供一種區別自然數同構序列的應用性標準， 只能找到一個更細致的描述方法來說明其可應用性。這個缺陷在奎因 （W.V.Quine） 看來是不可避免的， 因為單稱詞對事物的描述本身就存在缺陷， 它不可能極盡所能。通過語言的指稱必然存在這樣的缺陷。[6]123-127
黑爾-萊特的范疇求解沒有真正闡明引入的概念與凱撒的同一性關系。在類包含原則引入類概念過程中表意并不明確， 如果它僅是指“某個類”, 那就會有不同的“類”具有相同的指稱；如果它是指“指稱”, 那么 （SIP） 就可以引入單稱詞。[2]131除非兩個類在其同一性陳述中包含共有的對象， 否則這兩個類不可交疊， 顯然 （SIP） 不能合理解釋這種情況。由于同一性陳述可以處理成不同的表達， 這就很難排除同一種對象具有不同的表達。如果凱撒處于兩個類的交疊處， 不同的陳述中就可能包含對象具有相同的指稱， 那么凱撒就可能是2.具有生物特性的對象和數學對象乃至形而上學對象是否會存在一個“對象”為它們所共有， 這也是黑爾與萊特無法說明的。
3. 黑爾-萊特的范疇求解方案修正
針對這些質疑， 赫克 （R.Heck） 提出了修正方案。他認為解決凱撒難題， 必須面對兩個挑戰：第一在休謨原則所把握的關于數詞的理解基礎上， 說明人們是如何理解關于跨類同一 （Trans-sortal I-dentification） 的問題， 并且說明人們如何知道數的類不同于人的類；第二， 在同樣的基礎上， 說明人們如何理解“x是概念G的數”這個謂詞。一方面， 凱撒難題要求我們給出數概念與人概念的區分標準；而另一方面， 弗雷格定理又要求我們把作為對象的數與其他對象看作同一類對象。[7]65
基于這一認識， 他假定存在包含兩種類 （twosorted） 的語言， 該語言包括“基本”個體變量；數字個體變量；基本謂詞變量；數字謂詞變量以及用角標明確標明的不同邏輯類型的關系變量。該語言包含兩種同一性謂詞：一種是關于基礎變量的， 其中兩個變元的位置由基本項填充；另一種是關于數字變量的， 其中兩個變元的位置由數字項填充?；旌闲屯恍躁愂鲈谠撜Z言中不是合式的。如果不討論混合同一性陳述的真值， 赫克的方案就可以避免凱撒難題。[3]335-396
但在黑爾和萊特看來赫克的修正方案并不可行。赫克對兩種類語言的假定實際上取決于混合同一性陳述的真值， 也就是說對基本與數的類別區分已經預設了對混合同一性陳述的真假判定， 并將其作為邏輯起點。而黑爾和萊特認為如何對混合同一性陳述給出判定或者如何說明數與凱撒是否同一才是新弗雷格主義者真正要回答的， 因此跨類 （范疇） 的同一性探討仍是必要的。
三、凱撒難題的無范疇求解
基于對范疇概念的界定不確定性以及歸屬范疇的類表述不明確 （例如集合和數是否屬于不同的范疇， 不同種類的數是否屬于不同的范疇） 等困難， 佩德森 （N.J.Pedersen） 試圖只依據類上的等價關系降低對“范疇”的依賴， 從而提出無范疇的求解方案。
1. 重解黑爾-萊特求解模式
根據類包含原則的應用標準可知每一個對象都滿足一個類概念， 假定對于每一個本體對象都落在一個類概念之下遵從了以下的原則[8]506:
（P1） 每一個類概念都擁有一個獨立的同一性標準。
為確保對于不同類概念共享同一性標準， 黑爾和萊特接受以下定義：
（D1） 對于任意兩個類X和Y, 當且僅當它們各自的同一性標準一致時S （X, Y）
（SIP） 可重解為以下定義：
（D2） 當且僅當對于任意屬于X的對象x同時屬于類Y且S （X, Y） 時， 類X包含于另一個類Y.
如果一個類概念X包含在類Y中， 則X在類Y之下。范疇是類的最大擴張：
（D3） 當且僅當滿足以下條件： （i） 所有的X下的類共享同一性標準； （ii） 對于任意對象x, 如果不屬于X則類Y下的對象與X不共享同一性標準， 則類X的外延是范疇。
為了保持與黑爾-萊特最初的描述一致， 保留 （D2） 第一條件并給出以下原則：
（P2） 對于任意兩個類X和Y, 如果X和Y擁有一個共同對象x, 那么存在一個類Z被X和Y所包含。
（P3） 對于給定具有共同同一性標準的類X1, X2, …， Xk, 存在一個與這些類的并的同延類。
如果 （P3） 能確保范疇存在， 則依據上述定義和原則可得出以下結論：
（R1） 任意兩個范疇X和Y, 或者是同延的， 或者沒用共同的對象。
如果 （R1） 是合理的， 那么兩個不同的范疇就不同延， 那么：
（R2） 如果兩個類X和Y包含于兩個不同的范疇C和D, 那么X和Y沒用共同的對象。
由此可知， 類概念數和人擁有不同的同一性標準， 所以數和人不可能屬于同一個范疇。不同范疇中的對象之間不會擁有共同的同一性標準， 這依據以下原則：
（U） 一個對象只對應于一個范疇。
接受 （U） 是為了鑒別跨范疇對象間的關系。對于一個同一性陳述a=b （這里的a, b分別指示不同范疇的對象） , 由于沒有可訴諸的同一性標準因而無法對上述陳述做出真假判斷。為解決這類問題， 佩德森在重解框架中進一步給出了范疇類 （categorical sortal） 的定義：
（D3*a） 一個類X在S下的等價類是類X在該關系下構成的類。
（D3*b） 當且僅當對于任意的x, x是X, 只有當x落在X在S下的等價類的一個類中， 類X為一個范疇類。
（D3*a） 中S表示類概念間共享同一性的等價關系。 （D3*b） 表明， 只有當X與其自身在S下的等價類同延， X是一個范疇類。 （P3） 和 （D3*b） 確保了由S下等價類構成的范疇類的存在。 （D3*a） 和 （D3*b） 的結合可以闡明S下的等價類。
2. 佩德森的無范疇求解方案
在上述結果的基礎上， 佩德森進一步強調對“范疇”以及“范疇類”的預設并不必要， 認為可以完全通過只接受類上的等價關系來求解凱撒難題， 最后實現算術向邏輯的化歸。其無范疇的求解思路是采納 （D1） , （D2） , （D3*a） , （P1） 和 （P2） , 舍棄 （D3*b） 和 （P3） .[8]509
“凱撒難題”求解的關鍵在于S是類概念間共享同一性的等價關系， 一旦這種關系得到確立， 類就根據該關系下的等價類得到劃分。對于S下任意的兩個等價類， 它們或者同一或者不相交。由于每個類具有的同一性標準是獨有的， 因此不可能存在具有不同同一性標準的類處于S下的等價類中。黑爾-萊特的范疇求解模式中 （R2） 使得類概念數和人可以分屬不同的同一性標準， 因此這些類就包含在不同的范疇中。佩德森認為消除對范疇的預設可以達到同樣的效果， 于是給出以下相應結論：
（R2*） 如果類X和Y在S下的兩個不同等價類中， 那么X和Y沒有共同的對象。
在黑爾和萊特看來， 類概念數和人具有不同的同一性標準。關于某種關系是否能成為同一性， 這取決于依據該關系相關的同一性陳述是否能得到斷定。而在跨范疇同一性的情況下， 沒有也不可能存在這樣的標準。在佩德森的無范疇框架下， 根據 （D3*a） , 數和人處于S關系下的不同等價類中， 而針對跨范疇同一性的問題可以借助 （U*） 得到說明。
（U*） 沒有對象可以落入S下兩個不同的等價類中。
可以把 （U*） 作為黑爾-萊特范疇求解模式重解中 （U） 的副本， （U*） 確保了抽象原則引入單稱詞的確定性， 由此凱撒難題得到解決。
四、無范疇求解的問題
佩德森的無范疇求解消除了對范疇的依賴， 在概念預設上更為節儉， 使新弗雷格主義的本體論結構更加清晰。但除了將范疇的劃分轉換為類上等價關系的劃分之外， 無范疇求解方案同樣無法給出凱撒與數是否同一的應用性標準， 因而與黑爾-萊特范疇方案面臨相同的質疑， 其預期目標并未達成。
1.“等價類”對類的依賴性
針對黑爾-萊特范疇求解引發的質疑， 佩德森通過對范疇概念的刻畫提出用“類上的等價關系”替代“范疇”, 以削弱新弗雷格主義本體論框架對范疇的依賴。需要指出， 對“范疇”的消解并不能消除對類概念的假定， 無范疇方案正是通過對任意落入類X的x進行限制致使落入X的任意x的同延都被X所包含從而保證等價類的存在。即使佩德森的方案實現了從范疇到類的轉換， 類概念應用的合理性與對“范疇”的預設也一樣令人質疑。無論求解凱撒難題的范疇策略還是無范疇策略， 都依賴于對范疇或等價類的劃分， 從本質上講就是對類的劃分， 而如何對其劃分才是求解凱撒問題的關鍵。
2. S標準的合法性
佩德森用基于類概念的等價關系替代“范疇”的作用， 必須配合其所堅持的S才能完全發揮“范疇”的功能。S用來表示類概念間共享同一性的等價關系， 不同的類通過S得到劃分。只有在S下各種不同的類才能組成一個類似范疇的整體， 在這個等價類下， 假設同一性標準是獨立的， 不同對象就分屬不同的類。這里S起到了一個類似抽象原則的作用， 但抽象原則的合法性本身就存在很大爭議。抽象原則作為一種語言學約定不能確保非語言的存在性， 即使借助抽象法可以成功引入新對象， 也不能因此認為抽象原則是合法的。如果通過抽象原則確實引入了數字單稱詞并由此推出了數學對象的存在， 也只是因為之前已經預設了數的存在， 這顯然是一種循環論證。S也面臨類似問題， 比如在佩德森的無范疇框架中， 跨范疇的同一性問題同樣是不能討論的， 我們能做的只是在將對象落入不同等價類之后依據對等價類的劃分對跨等價類的同一性陳述做出真假判斷， 從而合理地引入相關對象。但凱撒難題的求解真正需要的恰恰是給出何以一個對象不能落入兩個不同等價類的說明。此外， 這里所能承認的斷言是條件性的， 即如果數存在則休謨原則描述了其存在。除非新弗雷格主義者能夠為數存在提供某種先在、獨立的確證， 否則就不能證實休謨原則以及S的合法性。
3. 統一的同一性標準
從本質上講， S標準是否合法取決于同一性標準是相對于某個范疇或某等價類所特有的， 還是存在一種統一的同一性標準為所有范疇或類共有。對于黑爾-萊特的范疇求解和佩德森的無范疇求解而言， 同一性標準必須是某范疇或等價類所獨有的， 否則會出現凱撒與數落入同一范疇或等價類中導致二者同一的問題。為了規避這一問題， 佩德森承認統一同一性標準的必要性， 主張把萊布尼茲定律作為統一標準， 進一步定義子共享同一性標準 （Sub-sharing a criterion of identity） 的等價關系sub-S, 用它替換原來的S得到之前的所有相應結果。[9]149-153也就是說， 盡管存在一種統一的同一性標準， 包含所有類在內S下的相應等價類根據對S進行分層， 把對象歸入不同的子范疇中將數與人隔絕開， 凱撒難題同樣得解。如此一來， 他必須承認存在包含所有對象的范疇， 從而接受子范疇的存在。這無疑使他回到了黑爾-萊特新弗雷格主義的原點。
結語
事實上， 凱撒難題是一個涉及認識論、形而上學以及語義學等的問題， 僅從一方面對其求解必然是片面的。新弗雷格主義對語言分析的強調， 的確為我們提供了有益的方法論借鑒， 開拓了我們的研究視域。但從凱撒難題的求解也折射出分析哲學研究的局限性， 促使我們辯證地看待邏輯的作用?；氐叫赂ダ赘裰髁x將算術化歸為邏輯的根本立場， 我們也需謹慎對待。伴隨當代數學各分支的縱深發展， 算術、分析、幾何、代數等學科分支之間的融合與交叉愈發明顯， 為整個數學構建合理的基礎與統一的需求也愈發強烈。將數學化歸為邏輯的可行性與必要性應交由數學實踐來評判。當前以對象和函子為基本概念的范疇論作為一種數學基礎的現實選擇， 已升華為一種數學結構主義的重要進路。它無疑有助于解決或消解數學哲學中的傳統難題， 對揭示數學的本體論、認識論以及語義學等問題， 具有廣泛而重要的應用空間。但應明確的是， 數學中的范疇論與新弗雷格主義披著“范疇”外衣
參考文獻
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[11]Hale, B and C.Wright.The Reason's Proper Study[M].Oxford:Claredon Press, 2001.
注釋
（1） （1） （SP1） 句法決定性 （Syntactic Decisiveness） :如果一個表達可以闡明對一個單稱詞的句法特征， 那么它也就決定了該表達具有一個單稱詞的語義功能。 （SP2） 指稱最簡性 （Referential Mininmalism） :如果一個指稱表達出現在一個真的原子句中， 那么這一事實決定了世界上存在一個條目， 它與表明該表達的那個指稱相對應。 （SP3） 語言優先性 （Linguistic Priority） :語言范疇優先于本體論的范疇；一個條目屬于對象范疇， 只有當一個單稱詞指稱它時才可能。參見參考文獻[2].
（1） （1） S=表示類概念間共享同一性的等價關系。
（1） （1） 萊布尼茲定律：當且僅當任意兩個對象共享所有性質， 它們是同一的。
