塔斯基［Tarski 1936］提出了一階語言的一種解釋，這種解釋允許使用任何個體對象作為變元的取值，不同的變元或常元可能以相同的對象作為它們的解釋。這種解釋現在已成為一階語言的標準解釋，被稱為塔斯基語義。在塔斯基提出這種語義之前，法國邏輯學家艾爾布朗在對其“基本定理”（現稱為艾爾布朗定理）的證明中，事實上也對一階語言提出了一種解釋。

①在這種解釋中，變元的取值只能是一階語言中的項，各個項的解釋就是項本身（因而，不同的項———特別地，不同的變元或常元———必定被解釋為不同的對象）。這種解釋現在稱為一階語言的艾爾布朗語義。

從表面看來，艾爾布朗語義僅僅是塔斯基語義的一種特殊情形。因此，雖然艾爾布朗定理是一階邏輯中最基本的結果之一，但是艾爾布朗語義本身似乎并沒有引起邏輯學家足夠的重視。美國斯坦福大學的 T．Hinrichs 和 M．Genesereth 教授在文［Hinrichs & Genesereth 2006］中的研究表明，艾爾布朗語義與塔斯基語義在可判定性、邏輯后承關系等方面是不同的。上述種種差異自然是由不同語義解釋造成的。一階語言中任何概念只要依賴于語義都可能會在塔斯基語義和艾爾布朗語義下有所不同。而真謂詞作為語義中最基本的概念之一自然會被納入到上述兩種語義的框架之內。真謂詞在艾爾布朗語義下是否具有不同于塔斯基語義中的表現呢？這個問題似乎在文獻中還沒有得到深入的研究，本文就是要想對這一問題進行初步的探索，指出艾爾布朗語義下的真謂詞概念確實是值得注意的。

一、艾爾布朗語義

一階語言中的初始符號、項、公式等句法對象一如往常規定。需要補充的是，為了使艾爾布朗語義不至于過于平庸，這里約定一階語言中個體常元不空。注意，一階語言中的語句指的是閉公式，即不含自由變元的公式。

我們知道，在塔斯基語義中，為了能對語句進行賦值，必須給出一定的模型對語句中的非邏輯符號做出解釋，同時還必須通過指派對變元指定對象。這里主要的麻煩在于，雖然語句的賦值獨立于指派，但是一般情況下，必須在模型和指派下對所有的公式進行賦值，然后才能在模型下對語句進行賦值。艾爾布朗語義就不存在這樣的問題，我們可以直接對語句進行賦值。

我們規定，對于一個一階語言 L，只要確定 L 中原子語句的一個集合，就給出了 L 的一個艾爾布朗模型。在某個艾爾布朗模型 M 下，按如下方式規定原子語句的可滿足性：形如 s=t 的原子語句在 M 下可滿足，當且僅當項 s 和 t 作為符號串完全相同；形如 Pt1…tn的原子語句在 M 下可滿足，當且僅當項 s 和 t作為符號串完全相同。由聯接詞聯接得到的復合語句的可滿足性如常規定，略去。量詞語句的可滿足性規定如下：形如坌xA 的語句在 M 下可滿足，當且僅當對 L 中每個閉項 t，A（t）都在 M 下可滿足；形如堝xA 的語句在 M 下可滿足，當且僅當 L 中存在某個閉項 t，使得 A（t）在 M 下可滿足。

相應于上述可滿足概念，可規定邏輯后承。如果任何滿足語句集∑的艾爾布朗模型也一定滿足語句A，那么就稱 A 是∑的一個邏輯后承，又可稱∑衍推出 A。為明確起見，艾爾布朗模型下的可滿足及邏輯后承概念加前綴“H-”，而塔斯基語義下的可滿足及邏輯后承概念加前綴“T-”。

如［Hinrichs & Genesereth 2006］文所指出，在塔斯基語義下，一階公式的可滿足性是半可判定的，但在艾爾布朗語義下，一階公式的可滿足性不是半可判定的；在塔斯基語義下，邏輯后承關系具有緊致性，但在艾爾布朗語義下，邏輯后承關系不具備緊致性；在塔斯基語義下，自然數結構中的真語句是不能有窮可公理化的，但在艾爾布朗語義下，自然數結構中的真語句是有窮可公理化的。

作為例子，考慮這樣一個一階語言，其中非邏輯符號只有一元謂詞 P 和個體常元 a。眾所周知，Pa 不是堝xPx 的 T-邏輯后承。然而，Pa 卻是堝xPx 的 H-邏輯后承，理由是滿足堝xPx 的艾爾布朗模型只有{Pa}一個。再考慮一階語言，其中除含上述 P 和 a 外，還含一個一元函數符 f。因為這個語言中的閉項是a、fa、ffa 如此等等，所以，坌xPx 是集合{Pa，Pfa，Pffa，…}的一個 H-邏輯后承。然而，很明顯，{Pa，Pfa，Pffa，…}的任何有窮子集都不會 H-衍推出坌xPx。由此可見，與 T-邏輯后承不同，H-邏輯后承不滿足緊致性。

二、塔斯基 T-模式

下面轉入本文的主題：艾爾布朗語義下的真謂詞。為此，先規定皮亞諾算術的一個形式語言 LN，其中除等詞=外，還含有二元謂詞 Less、三元謂詞 Add、Mult、一元函數符 S 以及個體常元 0。注意，在艾爾布朗語義下，因為只有那些完全相同的項才是相等的，所以不能使用函數符來表示加法和乘法運算（不然的話，甚至如 0+0=0 這樣的語句在艾爾布朗語義都是不可滿足的）。在 LN中添加一元謂詞 T 得到的語言記為 L+N。這個語言就是我們考慮真謂詞的一階語言。除非特別聲明，以下所說項、公式等皆指 L+N中的項、公式。用記號‘A’表示公式 A 的哥德爾數。

為了便于比較，下面采用 L+N的標準的塔斯基語義與艾爾布朗語義雙線并進的方式逐步探討相關問題。首先，LN的標準塔斯基語義解釋是自然數結構 N。N 以自然數集作為論域，以自然數集上的小于關系作為 Less 的解釋，以滿足 l+m=n 的有序組（l，m，n）構成的集合作為 Add 的解釋，以滿足 l·m=n 的有序組（l，m，n）構成的集合作為 Mult 的解釋，以后繼關系作為 S 的解釋，以自然數 0 作為0的解釋。類似于 L+N的標準塔斯基語義，在艾爾布朗語義中，首先需要固定一個標準的艾爾布朗模型用于描述自然數結構。為此，用n表示項 SS…S0（n 個 S）。令 M 為 LN的艾爾布朗模型，它包含如下語句：Less（m，n）（其中，m 小于 n），Add（m，n，k）（其中，m+n=k），Mul（tm，n，k）（其中，m·n=k），其中 m，n 為自然數。

把語義解釋的范圍擴大到 L+N中，在塔斯基語義中，N 被認為是 L+N的底模型，除此之外，還需要對一元謂詞 T 做出解釋。當然，T 的解釋必定是自然數集 N 的某個子集，設為 X。由此，就可以對 L+N中所有語句進行賦值，賦值的規定如常，細節略去。下面使用 X荽A 表示語句 A 在 N 與 X 構成的解釋中為真。特別地，X 荽T‘A’，當且僅當‘A’屬于 X。

這里，T 不是一個普通的謂詞符，而是用來表示真謂詞的符號。那么，什么時候 T 才能被視作是真謂詞呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式對某個語言中的每個語句 A 都成立，才能認為 T 是該語言的真謂詞：T‘A’當且僅當 A（［Tarski 1936］，155-156）。此模式就是著名的塔斯基 T-模式。此模式在塔斯基語義下的表現形式如下：X 荽T‘A’，當且僅當 X 荽A。 （1）X 作為 T 的解釋，很自然應當包含且只包含 L+N中所有在 N 與 X 構成的解釋中為真的語句。換句話說，式子（1）應對 L+N中每個語句 A 成立，只有這樣，T 的解釋 X 才被認為是 L+N的真謂詞。然而，塔斯基證明，這是不可能做到的，因為若不然，則在L+N中，可以構造這樣的語句 λ，滿足：X 荽λ，當且僅當 X 荽劭T‘λ’ （2）這樣，把 λ 代入到式子（1）中會導致矛盾。這個結論常被稱為“塔斯基定理”，而證明中所用語句 λ 因它斷定它自己不真，故相當于說謊者語句。

接下來轉入 L+N的艾爾布朗語義。首先，M 是艾爾布朗語義中 L+N的底模型。然而，這個模型也可看做是 L+N的真正意義上的一個模型，其中因為不含任何 Tt 形式的語句，因此謂詞符 T 實際被解釋為某種空謂詞。一般而言，我們會考慮這樣的模型 M′，它包含 M，同時還包含了某些 Tt 形式的語句。在模型M′下，對公式 A 規定相應的賦值 M′ 荽HA 如下：（1）M′ 荽Hs=t，當且僅當項 s，t 作為符號串完全相同；（2）M′ 荽HTt，當且僅當 Tt 屬于 M′；M′ 荽HLess（s，t），當且僅當 Less（s，t）屬于 M′；Add、Mult 型的原子公式類似規定，略去；（3）M′ 荽H坌xA，當且僅當對任何閉項 t，M′ 荽HA（t/x）；其他如命題聯接詞型或存在量詞型語句類似規定。

在 L+N的艾爾布朗語義下，我們希望 T 被解釋為 L+N中的真謂詞。什么樣的 M′適合這一條件呢？按塔斯基 T-模式，如果 T 在模型 M′下被解釋為 L+N中的真謂詞，那么中必需包含所有在 M′下為真的語句，即 M′對 L+N中每個語句 A 都滿足：M′ 荽HT‘A’，當且僅當 M′ 荽HA。 （3）在此情況下，使用先前提到的語句 λ，同樣可以導出矛盾。因此，在 L+N的艾爾布朗語義下，塔斯基定理同樣成立：L+N不可能包含它自身的真謂詞。

這里順便指出，艾爾布朗語義下的塔斯基 T-模式與塔斯基語義下的 T-模式似乎并無太大的區別，但是對于［Hsiung 2009］所提出的 T-模式的一個推廣，情況似乎并不明了，究竟如何在艾爾布朗語義下表達 T-模式的這個推廣似乎是值得深入研究的問題。

三、亞布魯悖論

根據前一節的比較，可以看出塔斯基 T-模式在 L+N的艾爾布朗語義下的表達類似于在 L+N的標準塔斯基語義下的表達，而塔斯基定理作為一個純粹的語義學定理，在艾爾布朗語義下同樣成立。所有這些都不會令人驚奇，因為 L+N的艾爾布朗語義與標準的塔斯基語義本來就是相當接近的。然而，它們的差異是存在的。一個最明顯的差異就反映在 L+N的艾爾布朗語義與非標準塔斯基語義上。

美國邏輯學家亞布魯（S．Yablo）在文［Yablo 1993］中提出了以他名字命名的悖論。這個悖論含有可數無窮多個語句：Y（0），Y（1），……，每個語句都斷定它后面的每個語句都不真。這些語句蘊涵矛盾，這是因為假設 Y（0）為真，根據 Y（0）所說，對于 k>0，Y（k）為假。因而，一方面，Y（1）為假，另一方面，對于所有k>1，Y（k）為假。這樣，Y（1）為真，與 Y（1）為假矛盾。于是，Y（0）必為假。同理，這個語句的其他每個語句都為假，因而，Y（0）又必為真，矛盾。

為了能在一階語言 L+N中分析亞布魯悖論，我們需要考慮 L+N中的一階算術理論。這個理論由關于Less、Add、Mult 的公理以及歸納公理模式構成。例如，Less 公理有四條：（1）坌x Les（sx，Sx）；（2）坌x Les（sS x，x）；（3）坌x坌y（Less（x，y）→Less（x，S y））；（4）坌x 坌y（Less（S x，y）→Less（x，y））。歸納公理模式一如往常為：（A（0）∧坌x（A（x）→A（Sx））→坌x A（x）），這里 A（x）是 L+N中的公式。其余公理略去，可參見［Hinrichs ＆Genesereth 2006］。下面用 PA 表示以上述公式作為公理的一階理論。

現在，使用哥德爾算術化的方式不難在語言 L+N中對任意自然數 n，尋找到語句 Y（n），使得 Y（n）在PA 中等價于語句坌x（Less（n，x）→劭T‘y（x）’）。注意，這里‘Y（x）’表示把 x 對應的數字代入到 Y（x）中得到的公式的哥德爾數字。這實際上相當于把亞布魯悖論形式化到了 L+N中，以后就用語句集{Y（n）|n 是自然數}表示亞布魯悖論。我們考慮語句集{Y（n）|n 是自然數}與{T‘Y（n）’圮Y（n）|n 是自然數）的并集，記這個集合為 Υ。

首先注意，語句集 Υ 是 PA 一致的。這是因為在 PA 中，從集合 Υ 的任何有窮子集都不會推出矛盾，然而 PA 的推演滿足緊致性定理，因此，整個 Υ 就是 PA 一致的。然而，集合 Υ 是 PA ω 不一致的（見［Ketland 2005］，299）。這一點可以從上一節 L+N的標準塔斯基解釋不滿足 Υ 可以看出。因而，在塔斯基語義下，只有 PA 的非標準模型能滿足 Υ。換言之，T 的解釋只有包含某個非標準數才能使 Υ 中語句（在非標準的塔斯基語義下）都為真。

在 L+N的艾爾布朗語義下，情況就有所不同。問題出在艾爾布朗語義中個體對象僅僅包含 L+N中的閉項，而沒有哪個閉項能夠表達非標準模型中的非標準元。因而，在艾爾布朗語義下，沒有任何模型能滿足語句集 Υ。這一點與先前提到的 H-邏輯后承不滿足緊致性相關。事實上，不難看出坌x（T‘Y（x）’圮Y（x））是{T‘Y（n）’圮Y（n）|n 是自然數}的H-邏輯后承，但它卻不是后者的 T-邏輯后承。我們再次看到，H-邏輯后承要強于 T-邏輯后承。因而，Υ 可 H-衍推出邏輯矛盾，而不能 T-衍推出矛盾，就是在意料之中的了。

四、語言層次

眾所周知，為了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了語言分層的方式來規定真謂詞。事實上，僅需把 T 解釋為 LN中所有在 N 中為真的語句的哥德爾數構成的集合 X，則式子（1）一定對中任意語句A 都成立。在這個意義上，L+N雖然不能含有它自身的真謂詞，但是它包含 LN的真謂詞。L+N因而被稱為 LN的元語言。

分層的想法同樣適用于艾爾布朗語義?；氐较惹疤岢龅陌瑺柌祭收Z義中 L+N的底模型 M。注意，M 中不含任何帶真謂詞符的語句，因此 T 在 M 中實際被解釋為空謂詞。但是，若規定 M1是 M 與所有使得M 荽HA 成立的語句 T‘A’的并集，則對 L+N的任意語句 A，都有：M1荽HT‘A’，當且僅當 M 荽A。特別地，對 LN的語句，有：M1荽HT‘A’，當且僅當 M1荽A。因此，L+N同樣包含了這樣的 T，它被解釋為 LN的真謂詞。

對語言進行分層規定真謂詞的做法歷來為學者所詬病，其中毛病之一如克里普克指出，這種做法無法對超窮的層次進行規定（見［Kripke 1975］，59~61）?？死锲湛伺u的要點在于超窮層次要求對之前層次的真謂詞外延進行累積，但真謂詞的外延累積會導致矛盾。這一點是熟知的事實。此處，我們說明類似的累積在艾爾布朗語義也同樣導致矛盾，甚至無需等到超窮層次，這種矛盾在第二層次就會產生。

為此，我們規定 M2是 M1與所有使得 M1荽HA 成立的語句 T‘A’的并集?？紤]說謊者語句 λ，因為 T‘λ’不在 M 中，所以，M荽Hλ。由此，T‘λ’在 M1中，所以，M1荽Hλ 不成立。根據 M2的規定，T‘λ’不在 M2中。但由此由 M1累積出來的，T‘λ’必在 M1中，這就出現矛盾了。由此可見，在 L+N的艾爾布朗語義中，模型如果按累積規定下去至多到第一個層次就必須終止。

能使層次一直進行下去的辦法主要有兩種，一種是按克里普克的歸納構造方法，修改模型上的賦值引入真值空缺（見［Kripke 1975］）；另一種就是按古普塔和赫茲伯格的修正理論，在構造模型的時候不進行累積只進行修正（見［Gupta 1982］和［Herzberger 1982］）。本文限于經典邏輯，所以只考慮第二種辦法。

在艾爾布朗語義中，可這樣來規定不具累積效應的模型：以 M 作為起點，設之為 MH0；然后，對任意序數 α，規定 MHα+1就是所有使得 MHα荽HA 成立的語句 T‘A’的并集；最后，對極限序數 α，規定 MHα就是前面所有階段 MHβ的下極限，也就是說，MHα包含語句 A，當且僅當存在一個小于 α 的序數 γ，使得對任意大于 γ 但小于 α 的 β，MHβ都包含 A。通過這樣的規定，我們就不難在艾爾布朗語義中展開修正理論了。

五、結論

前面的分析總結起來，有以下幾點：塔斯基 T-模式在艾爾布朗語義中的表達類似于塔斯基語義中的表達，而且使用說謊者悖論同樣能夠在艾爾布朗語義中得到塔斯基定理；亞布魯悖論在塔斯基非標準模型中可以得到滿足，但是在艾爾布朗語義中卻是不可滿足的；語言分層的思想在（經典）塔斯基語義中到第 ω 階段一般情況下不能繼續，但在艾爾布朗語義中甚至到第二階段就不得不終止。

可以看到，艾爾布朗語義下的真理論與塔斯基語義下的真理論既有共通之處，又有某些讓人感興趣的差異。當然，這個對照分析還比較初步，我們主要的目的是拋磚引玉，希望引起讀者注意，艾爾布朗語義下的真理論本身還是有許多問題值得考慮的。