新西蘭著名邏輯學家 A. N. 普萊爾\\( Arthur N.Prior\\) 是時態邏輯的創始人,他之所以能提出時態邏輯,在于他對命題的真值有不同于經典邏輯的看法.經典邏輯的創立者弗雷格認為,命題或句子的真值就是命題的指稱,句子的涵義是思想,而思想是無時間性的,因此命題的真值不隨時間的變化而變化.羅素認為,真值是命題的性質和標志,命題的真值也不能隨時間而變化.現代經典邏輯關于命題真值的看法一度成為主流.但是,經典邏輯顯然不能很好地處理用自然語言表達的日常推理,因為自然語言中的句子和經典邏輯中的句子或命題有很大區別.經典邏輯中的命題沒有時態的標志,其真值不會受時態的影響,而自然語言中的陳述句顯然并非如此.普萊爾吸收了古代邏輯學家和近現代邏輯學家的一些有益的思想,用模態邏輯的方法建立了時態邏輯,其影響是深遠的.本文將對普萊爾早期的時態邏輯思想進行梳理.在此需要提示讀者,命題、句子和陳述在不同的邏輯學家看來有不同的含義,為了敘述的方便本文對三者不加區分.
一、關于命題的真值
經典邏輯學家認為命題的真值不能隨時間而變化,導致經典邏輯不能很好地處理自然語言中的時間因素和日常推理.為了更好地刻畫自然語言中的推理,邏輯學家對經典邏輯進行了補充.
羅素認為,自然語言中的句子更像命題函數而不是命題,如"蘇格拉底是不死的"可以看作"如果 t是任何時間,蘇格拉底在 t 時活著"[1].蒯因持有和羅素類似的觀點,認為時間可以和地點、個體一樣成為專名,真正的命題是包括時間因素的,命題的真假沒有時間的問題.
普萊爾指出,從文藝復興時期開始人們就有了類似上述的觀點,邏輯學家不再對模態和時間因素感興趣了.如波爾 - 羅亞爾邏輯認為,動詞\\( 在陳述句中\\) 的唯一普遍的功能是表達斷定,"是"\\( is\\) 作為純粹的動詞是命題中主要的形式元素.這時的邏輯學家可能是受觀念論的影響,認為命題是通過系詞把兩個觀念連接起來的,時間因素不應進入系詞,而應進入詞項之中[2]104 -105.普萊爾引述了哈密爾頓派的邏輯學者懷特利\\( Richard Whately\\) 、曼塞爾\\( H. L. Mansel\\) 、博文\\( Francis Bowen\\) 、福勒\\( Thomas Fowler\\) 等人的觀點,說明在文藝復興之后到現代邏輯產生之前,人們普遍認為系詞在命題中只有現在時態,而指稱時間是詞項的任務.普萊爾認為,這種觀點沒有提供足夠的證據,只是把原來的陳述粗暴地重新表述為一個多余的從句.如把陳述 p 重新表述為"that p,is the case"的形式.但是,這樣一來人們對邏輯的興趣轉移到詞項上了,而時態因素同樣就在詞項上,詞項仍然可能有一個邏輯形式.懷特利和博文分別把"This man was honest"和"Hecame yesterday"轉化為"He is one formerly-honest"和"He is the person who came yesterday",普萊爾認為這種轉化會帶來一定的問題,假如當"he"指稱的對象在過去那個時間之后去世了,把這樣的句子轉化為現在時態后,其主語就是不存在的對象[2]106,按照弗雷格或羅素的觀點,這樣的句子是無意義的或假的.福勒對此似乎不能給出滿意的說明.文恩注意到命題真值可以隨時間而變化,但他并不認為這有什么特殊的重要性,因為我們也可以和對待時間一樣對待地點.約翰遜\\( W. E.Johnson\\) 反對出于符號化的目的把兩個命題之間的蘊涵關系看作全稱直言判斷的主項和謂項之間的關系.他認為在假言演繹推理\\( hypothetical syn-thesis\\) "如果命題 A 真,那么命題 B 真"中,說 A 和B 在有些情形或時間為真,在另一些情形或時間為假,這樣的情形和時間的差異是不存在的.他還說,提及不同時間的命題是不同的命題[2]110.盡管漢密爾頓派的觀點在這一時期一直占主流地位,但其他一些邏輯學家也提出了一些有價值的不同的觀點.密爾\\( John Stuart Mill\\) 認為,我們斷定的過去、現在和未來不是主語或謂語所表示的東西,而是整個句子要表示的東西.可是,這種思想在當時沒有引起足夠的重視,沒有發展出時態邏輯[2]107.凱恩斯 \\( J. N. Keynes\\) 認為判斷\\( judgment\\) 包含著對時間的指稱,一個判斷在一定的時間內為真,在另一些時間為假.他還引用博桑斯特\\( Bosanquet\\) 的觀點,在判斷的時間和謂詞的時間之間做出了區分.布爾在 An Investigationof the Laws of Thought\\( 1853\\) 中把"X 蘊涵 γ"看作"X 為真的時間完全包含在 γ 為真的時間中",他把每個命題符號看作代表該被符號化的命題為真的時間[2]108 -109.
另一個值得注意的邏輯學家是皮爾士\\( Charles Sanders Peirce\\) ,他雖然沒有提出時態邏輯,但認為時間因素應該是邏輯學感興趣的問題.
他說,沒有發展到對其形式引進時態修飾的邏輯會導致極大的混淆.他還把時間和模態聯系起來.皮爾士與文恩和麥科爾\\( Hugh MacColl\\) 一樣都認為兩個命題之間的蘊涵關系應該被看作全稱直言命題的主項和謂項之間的關系.他還進一步認為所有條件句都包含一個暗含的量化,如果沒有其他的東西,就是在可能事態上的量化,可以引進時間作為這樣的變量[2]112.這些思想是普萊爾時態邏輯思想的重要來源.
此外,斯特勞森的思想也對普萊爾有所啟發.
普萊爾認為,1906 年之后,形式邏輯學家對于時間相當 一 致 地 采 取 了 凱 恩 斯 - 約 翰 遜 - 羅 素\\( Keynes-Johnson-Russell\\) 路線,直到斯特勞森\\( P.F. Strawson\\) 才打破了這種束縛.斯特勞森并不主張引進時態 - 差別\\( tense-distinctions\\) 的邏輯,而是認為時態 - 差別是形式邏輯不能處理的重要的東西.他也不主張陳述在一個時間真而在另一個時間假,而是認為同一個句子在一些場合\\( occa-sion\\) 真,在另一些場合假.這種觀點和羅素沒有本質不同,只不過羅素主張通過改造公共語言,避免公共語言的缺陷,而斯特勞森更傾向于保持自然語言免受形式邏輯的攻擊[2]116.普萊爾指出,遺憾的是公共語言的主要用途直到斯特勞森才受到邏輯學家的注意.
斯特勞森認為,用適當的陳述代換陳述的"形式"對于形式邏輯學家研究的衍推\\( entailment\\) 關系是不充分的,會帶來通常所說的"蘊涵怪論"問題[4].斯特勞森認為"衍推理論"必須由"指稱理論"去補充,這里的指稱是指時態以及"這里"、"那里"、"他"、"這個"、"我"等代詞.從形式上看,斯特勞森的邏輯與羅素和文恩的邏輯并沒有什么本質的不同[2]116 -117.
普萊爾關于命題的真值隨時態的不同而變化的思想主要來源于古希臘邏輯和中世紀經院哲學.他指出: "古代和中世紀邏輯學家認為如下兩條是理所當然的: \\( i\\) 時態 - 差別是邏輯思考的真正主題,\\( ii\\) 在一個時間為真的東西在另一個時間為假,反之亦然."[2]104這種現象在亞里士多德的邏輯著作中可以見到,麥加拉學派的第奧多魯更把時態看作模態,并進行討論.
經典邏輯認為時間因素是命題本身所包含的一個因素,而普萊爾認為最基本的原子命題只有現在時態,時態算子和原子命題的復合才能表示時態命題.從下面普萊爾對巴坎公式的分析可以看到,只有認為命題的真值是可以隨時間的變化而變化的,才能用模態邏輯的方法靈活處理用自然語言表達的邏輯和推理.
二、時態與模態
普萊爾認為命題的真值可以隨時間的變化而變化.在此基礎上,他用模態邏輯的方法來處理時態問題.普萊爾指出,自然語言中的模態詞"可能的"、"必然的"可以有多種意思,正如刻畫條件句中的"如果,那么"關系可以產生很多蘊涵一樣.
因此,必須給模態詞一個確定的意義,規定一定的標準.波蘭邏輯學家盧卡西維茨在這方面已經做出了貢獻,他給出了模態邏輯的 8 個標準: 1. NLN與 M 等價;①2. NMN 與 L 等價; 3. CLpp; 4. CpMp;5. CMpp 是被排斥的; 6. CpLp 是被排斥的; 7. Mp是被排斥的; 8. NLp 是被排斥的.盧卡西維茨稱滿足這些條件的模態邏輯系統為"基本模態系統"[3].這里 M 和 L 分別表示弱模態算子"可能的"和強模態算子"必然的",它們是從陳述得到陳述的一元算子.普萊爾采取對模態的廣義的理解,放棄了 1 和 2[2]3.
盧卡西維茨把模態邏輯看作多值邏輯[2]6,因為二值邏輯中沒有滿足"基本模態邏輯"條件的可充當模態算子的函數,但是在三值以上的邏輯中有這樣的函數.普萊爾用多值邏輯的方法對時態邏輯進行了研究.
普萊爾引進時態算子 P 和 F,其意思分別是"It has been the case that"和"It will be the casethat".普萊爾不把"It has been the case that p"這種形式的陳述看作關于陳述 p 的陳述,而是看作由模態算子 P 作用于 p 而形成的新陳述[2]8.可以看出,普萊爾對陳述的觀點與經典邏輯是不同的,這是能構造時態邏輯的關鍵.經典邏輯把"相信p"這樣的陳述看作是關于 p 的陳述,普萊爾把它看作關于 p 的主語的陳述.普萊爾引進時態算子是作用于命題的,時態命題和不含有時態算子的命題都被看作是命題.如果認為時態算子不能作用于命題,就會毀掉整個時態邏輯,因為這會導致不能對時態命題使用時態算子,時態算子不能有復合形式.普萊爾又引進時態算子 S,表示"It isthe case that",并得到等式: SSp = Sp = p,SFp = FSp= Fp 和 SPp = PSp = Pp[2]10.
引進時態算子會帶來一些問題,如 NFp 和FNp 不一定相等,NPNp 和 Pp 有所不同.但是普萊爾暫時假定它們被看作相等的,首先建立了類似于劉易斯的 S4和 S5的時態系統[2]11.
普萊爾認為可以采用二價的時態算子,從而引進了 Pnp 表示"It was the case n days ago that p"\\( 以"天"為時間單位\\) ,P1p 表示"It was the casethis time yesterday that p".類似地,Fnp 表示"Itwill be the case n days hence that p",F1p 表示"Itwill be the case this time tomorrow that p",F0p 表示"It will be the case no time-units hence thatp"[2]11 -12.普萊爾指出,如果把 M\\( 或"可能的"\\)定義為"It either is or will be the case that",把 L\\( 或"必然的"\\) 定義為"It either is and always willbe the case that",這些算子將滿足盧卡西維茨的模態算子條件,并且會有劉易斯 S4系統的 M 和 L 的所有形式性質.這些模態詞與麥加拉學派邏輯學家第奧多魯的模態一樣[2]12.普萊爾給出了如下類似于 S4的時態系統:
定義: Df. L: Lp = ΠnFnp
Df. M: Mp = ΣnFnp
規則: 代入,分離,引進量詞 Π1,Π2,Σ1,Σ2的盧卡西維茨規則,和特殊的規則
RF: 如果 α,那么 Fnα.
公理: 任何經典命題邏輯的完全的公理集合,以及
1. CFnNpNFnp
2. CNFnpFnNp
3. CFnCpqCFnpFnq
4. CFopq
5. CFmFnpFSmnp
6. CFmΣnFnpΣnFmFnp
其中公理 5 的 Smn 表示區間 m 和 n 的和[2]13.在假定時間只有兩天\\( 今天和明天\\) 的情況下,普萊爾為該系統的聯結詞和模態詞構造了四值真值表.但是須要在時間為無窮的情況下,用真值組成的無窮序列作為命題的取值對象,才能刻畫類似于 S4的時態系統[2]6.
普萊爾引進了洛斯\\( \ue558os'\\) 所用過的概念 Utp 來建立類似于 S5的模態系統.Utp 的意思是"p 在t".這個系統包括如下定義、規則和公理[2]19 -20:
定義: Df. M: Mp = ΣtUtp
Df. L: Lp = ΠtUtp
規則: 代入,分離,引進量詞 Π1,Π2,Σ1,Σ2的盧卡西維茨規則,和特殊的規則
RU: 如果 α,那么 Utα.
公理: 任何經典命題邏輯的完全的公理集合,以及
1. CUtNpNUtp
2. CNUtpUtNp
3. CUtCpqCUtpUtq
4. CΠtUtpp
5. CΠt'UtpUtp
普萊爾同樣假定了兩個時間\\( 今天和明天\\) ,給出了該系統的聯結詞和模態詞的多值真值表.要確定公式是否為定理,須構造二值的無窮序列作為真值的真值表或無窮值真值表來判定[2]22.
把時態命題邏輯推廣到謂詞邏輯,會面臨巴坎公式帶來的問題.按經典邏輯的觀點,只有在命題的邏輯主語指稱的對象存在的情況下命題才有真值.但是對量化理論中的變元 x 和 y 的存在有不同的理解,一種理解是把它們看成潛在的存在,一種理解為現存的存在,它們分別類似于蒯因的替換量化和指稱量化[5].普萊爾的時態邏輯采取后一種理解,由此帶來的問題反映在巴坎公式中.巴坎公式是由美國邏輯學家巴坎\\( Ruth Bar-can Marcus\\) 于 1946 年把劉易斯模態系統和量化理論合并而得到的,表述為 CMΣx\ue788xΣMx\ue788x,在類似于 S5的 時 態 邏 輯 系 統 中 可 表 述 為CΣtUtΣx\ue788xΣxΣtUt\ue788x.巴坎公式解釋為"如果存在時間使得某事物在該時間 \ue788 無時間地為真,那么存在某事物使得它在某時間 \ue788 無時間地為真",如果前提中的時間是將來的時間或過去的時間,而某事物現在還未存在或已經不存在了,會導致巴坎公式不成立[2]26 -27.特別是當巴坎公式變成CFΣx\ue788xΣFx\ue788x 時,被解釋為"如果情況將是某物\ue788,那么存在某物將要 \ue788"\\( If it will be the case thatsomething \ue788's,then there is something which will\ue788\\) .結論斷定已經存在的某物將要 \ue788,而前提并沒有作這樣的擔保[2]29.
三、巴坎公式的消解
巴坎公式給普萊爾時態邏輯帶來了困難,只有在假定了在某未來時間將要存在的東西已經存在或一直存在,即假定所有真實的個體都是永恒的\\( sempiternal\\) ,才能承認該公式的合理性.普萊爾設想了對這個假定的形而上學辯護.一個例子是可能將存在某個飛到月球的人,雖然它將不是現存的任何人,符號表示為 FΣx\ue788x.但是,人不是量化理論中的 x 和 y 這樣意義上的個體,x 和 y 這樣的個體只代表個體的名字,而所有真正的個體確實一直是存在的.因此,雖然將飛到月球的真正的個體還沒有成為人,但是這些真正的個體現在確實是存在的,并且一直存在.這樣將拯救巴坎 公 式,因 為 這 時 FΣx\ue788x 和 ΣFx\ue788x 變 成 了FΣxKψx\ue788x 和 ΣKψxFx\ue788x,分別解釋為"It will bethe case that something is a person and flies""Some-thing is a person of whom it will be the case that heflies"[2]29 -30.作上述設想就像假定了對象的永久的池塘\\( permanent pool of things\\) 一樣,這些對象可以只是潛在地存在著,還不是現實的存在.這類似于中世紀的擴大\\( ampliatio\\) 理論[2]30.這種理論認為,盡管對象還沒有存在,但已經有關于它們的事實.普萊爾拒絕這種假設和辯護,他認為時態 - 差別的邏輯在不作這種假定的情況下仍然能產生,假定永恒的\\( sempiternal\\) 個體存在的邏輯不是好邏輯[2]30.
拒絕接受永恒個體的存在,會導致量化理論的改變.按照普萊爾,假定沒有永恒個體的情況下專名必須限制為只能指稱現存的\\( 在作出命題的當時存在的\\) 個體.這樣就有下述結論: "我現在不存在"意為"現在沒有關于我的事實",這句話是自相矛盾的.但是 PnNΣ\ue788\ue788x,"It was the case ndays ago that x does not exist",和 FnNΣ\ue788\ue788x,"It willbe the case n days hence that x does not exist"只能代表假命題,而 NPnΣ\ue788\ue788x,"It was not the case ndays ago that x exists"很可能是真的.同樣道理,NLp 和 MNp,NLNp 和 Mp 也不等價[2]35.
對于普萊爾來說,當 x 代表一個專名時,"x 存在"邏輯上等價于"存在關于 x 的事實".如果對于不再存在和還沒有存在的個體現在也有關于它的事實,普萊爾認為我們不知道關于它的現在的事實是什么.對于不再存在和未出生的人,你說他是藍眼睛的和不是藍眼睛的都無法判定真假.
普萊爾指出,我們需要一個把"x 存在"和"存在關于 x 的事實"等價的時態邏輯[2]31 -32.如果 x 不存在,就沒有關于 x 的現在的事實.這樣,普萊爾把對象和它存在的時間相關聯起來.
現在普萊爾的量化方式導致 Lp 和 NMNp,NLNp 和 Mp 不等價,也導致巴坎公式不成立.因此,普萊爾想要建立的系統是一個巴坎公式在其中不可證明的系統,而不是類似于 S5的系統.否定NLNp 和 Mp 等價,可能導致量化理論的不一致,因為在量化理論中"某物 \ue788"\\( Something \ue788's\\) 和"并非所有事物非 \ue788"是等價的.怎樣避免這種情況呢?
普萊爾的處理方式是,在所建立的 Ut 系統中讓 M等價于 ΣtUt,"對某個 t,在 t",而不是 Σt,"對某個t".類似地,L 等價于 ΠtUt.由此得出 ΣtUtp 等價于 NΠtNUtp 而不是 NΠtUtNp.同樣,排中律也可采用適當的形式,變成 AUtpNUtp 而不是 AUtpUtNp.
巴坎公式也可采用 CΣtΣxUt\ue788xΣxΣtUt\ue788x 形式而不是 CΣtUtΣx\ue788xΣxΣtUt\ue788x 形式,前者是成立的.這樣既避免了 NLNp 和 Mp 等價,又避免了巴坎公式的困難[2]36.由此可見,解決問題的關鍵是引進了 U算子.這樣一來,我們必須放棄把 M 定義為 NLN,雖然 CNLNpMp 不成立,但是 CMpNLNp 成立.我們還有規則"若 α,則 NMNα".CMLpLp 成立,但CNLpLNp 不成立[2]37.普萊爾指出,按照蒯因的邏輯不能作出上述兩種區分[2]36.
普萊爾首先構造的滿足上述條件\\( 避免巴坎公式的\\) 不包含 M 和 NLN 或 L 和 NMN 等價的系統,是 Heyting 的直覺主義演算基礎上增加盧卡西維茨系統的規則 L1,L2,M1,M2 得到的系統.但是這個系統也不能滿足他的需要.雖然 CMpNL-Np 和 CLpNMNp 成立,但也會產生太多的東西,如CNMpLNp.該系統增加 CNNpp 將會得到 CNMN-pLp.再者,我們沒有采用直覺主義邏輯而拋棄經典邏輯的充分理由[2]38.
普萊爾想構造的系統 Q 滿足: \\( a\\) 包含在 S5中但不包含 S5,包含經典命題系統但不被它包含.\\( b\\) 不包含較弱的劉易斯系統 S1-S4,或者模態化的直覺主義演算,或者 \ue558-模態系統\\( 注: 盧卡西維茨建立的一個模態系統\\) ,也不包含在這些系統之中.該系統滿足盧卡西維茨模態邏輯的前 6 個條件[2]39.但是普萊爾沒有進一步地詳細給出公理系統,只證明了它的大致特征[2]48.普萊爾只是給出了在假定有兩個時間\\( 今天和昨天\\) 的情況下系統 Q 的聯結詞和模態詞的 6 值真值表,但是要確定出 Q 的定理必須用在時間無窮的情況下的真值表,其中的真值也可以看作由數字 1,2 和 3 組成的序列.
羅素邏輯系統要求邏輯專名必須存在,而弗雷格的專名所指不一定存在,但是包含這樣的專名的句子無真值.普萊爾把時態邏輯系統 Q 與羅素的名字謂詞演算合并的量化時態邏輯系統稱為ΣT1,也建立了另一個適應于 Les'niewski 本體論改造的時態邏輯系統,被稱為 ΣT2.在 ΣT2中,任何時間作出的表達式在所有時間都構成陳述,并且也有真值.得到這樣的結果不需要改造量化理論,也不承諾所有個體都是永久性\\( sempiternity\\) 的[2]63.
四、結束語
普萊爾采用和經典邏輯不同的哲學觀點建立時態邏輯.他認為原子命題和帶有時態算子的命題都是同樣的命題,原子命題只有現在時態,命題的真值隨時間的不同而變化,充當命題邏輯主語的專名只能指稱現存的對象,永恒的個體是不存在的.但是,普萊爾的方法也帶來了一些問題,說不能真正命名還未產生的未來的個體是自然的,但是說不能命名不再存在的個體似乎有違自然語言的習慣.普萊爾最初給出的時間單位是天,但是到底該如何確定時間的單位也成為有爭議的話題.普萊爾認為承認永恒個體的邏輯不是好邏輯,但似乎沒有給出充分的論證,事實上像數字這樣的永恒個體還是存在的.盡管如此,時態邏輯仍然發展成內容豐富的邏輯學分支,它在許多領域都有著巨大的應用價值,這是因為時態邏輯更接近于自然語言的表達方式,能更靈活地處理日常推理.
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