一、案例背景

“列方程解決實際問題”是蘇教版小學五年級數學下冊中重要的教?W內容。對于這部分內容的教學，數學課標中強調盡量將實際問題抽象成方程式的過程，會列方程解答相關實際問題，初步體會方程的意義和思想。在列方程解決相關實際問題的過程中，初步掌握列方程解決實際問題的基本思路和思考過程，體會其特點和價值。在列方程解決實際問題中透徹地理解實際問題中的數量關系是尤為關鍵的。但是，從課堂教學的效果來看，學生對題目中的數量關系理解不清，不能準確地找到合理、合適的等量關系，所以要對應著等量關系列出方程更是難上加難。
二、案例敘述
1.出示例題。西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米，小雁塔高多少米？
2.分析例題。指名說出題目告訴了我們哪些條件？要我們求什么問題？
生：條件有大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。
師：誰比小雁塔高度的2倍少22米？
生：是大雁塔的高度。
師：你能把第二條件補充完整再說一次嗎？
生：大雁塔的高度比小雁塔的2倍少22米。
師：很好。經過你的補充，這個條件就很完整了。那要求的問題呢？
生：問題是小雁塔高多少米。
3.列出等量關系。提出要求：你能用簡明的文字和符號將大雁塔和小雁塔高度之間的關系表示出來嗎？全班一起討論交流，耗費了3～4分鐘，由班級中較好的三位學生回答。
生1：小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度
生2：小雁塔的高度×2=大雁塔的高度-22
生3：小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22
4.學生根據數量關系列出方程進行解答，并引導學生進行檢驗。
5.鞏固練習。
杭州灣跨海大橋全長大約36千米，比香港青馬大橋的16倍還多0.8千米。香港青馬大橋全長大約多少千米？
學生獨立解答。
巡視之下，發現很多學生都沒有列出方程。
師：一個人的想法是有限的，眾人的智慧是無限的。誰來說一說這道題的等量關系是什么？
生1：等量關系是大橋全長36千米。
師：這是等量關系嗎？
生1：…
師：誰來幫幫他？
生2：我覺得應該是杭州灣大橋的全長+0.8=香港青馬大橋×16
師：大家同意嗎？
生3：他說的不對。應該是杭州灣大橋的全長-0.8=香港青馬大橋的全長×16
師：還有哪位同學有不同的想法？
……
又耗去了七八分鐘，下課鈴聲響了。我就把全班學生的作業都收了回來，想看看這道題的完成情況。批改之后，情況很不好。
課下對學生的答題情況進行了歸類與整理：
從測試結果可以看出：學生雖然已經學過用方程解決問題，但是對于列方程解決稍復雜的實際問題還是有一定困難的，特別是不會列方程和列方程有問題，足可見學生對于掌握列方程解決實際問題的核心方法沒有理解清楚，簡單點說就是不會找尋相應的等量關系。
三、案例反思
1.數量與數量關系的混淆
數量是對現實生活中事物量的抽象。在現代漢語中，一些表示數量的后綴名詞的具體形式已經被根深蒂固地保留下來了，比如2只鴨子、5枝鉛筆、20本書等。從課堂發言來看，并不是所有學生都能清楚明白數量的基本意義和基本形式。例如，生1的回答“等量關系是大橋全長36千米”就是錯誤的，這個條件只是一個數量，表示的是杭州灣大橋的長度是36千米。
數量關系，至少是兩個數量之間有所聯系。從這一點看，生1的回答也是錯誤的，他的回答只含有一個數量。數量關系至少是兩個數量之間產生聯系，光有一個數量是無法構成數量關系的。例如，紅球比黃球多、小明比小紅矮等這些都是一些蘊含基本數量關系的條件，也可以用算式的形式進行表達：紅球的個數>黃球的個數，小明的身高如果在教學中把這兩個知識點解析清楚，也就不會出現生1的發言了。以案例中兩道題為例，學生讀完題目后，會清楚準確地知道“西安大雁塔高64米”和“杭州灣跨海大橋全長大約36千米”這兩個條件都是數量，所求的問題“小雁塔高多少米和”“香港青馬大橋全長大約多少千米”很明顯也是兩個數量，所以剩余的兩個條件“比小雁塔高度的2倍少22米”和“比香港青馬大橋的16倍還多0.8千米”就是找尋數量關系的關鍵性條件了。從兩個條件的敘述也可以看出，除了“小雁塔高度”和“香港青馬大橋的全長”這兩個數量外，“2倍”“22米”“16倍”“0.8米”這四個數據也是數量，很明顯兩個條件蘊含了三個數量，已經滿足了數量關系有兩個數量的基本要求，是可以組成數量關系的。
這樣的教學處理很好地縮小了學生尋找蘊含數量關系條件的范圍，降低了整理等量關系的難度，既為學生列方程解決實際問題打下了基礎，也為后續的數學學習做好了鋪墊。
2.數量關系與等量關系的區分
“等量關系”是數量關系中的一種，特指數量間的相等關系。以常見的四則運算等量關系為例，至少是三個數量之間有所聯系，才能組成一個等量關系。以常見的等量關系為例，速度×時間=路程、原有的-用去的=還剩的等都是有三個數量，并且這三個數量之間有一定的關系，才能組成一個等量關系。
以列一步計算的方程解決問題為例，“一頭藍鯨重165噸，大約是一頭非洲象的33倍。這頭非洲象大約重多少噸？”蘊含數量關系的條件是“大約是一頭非洲象的33倍”，把缺失的部分補充完整是“一頭藍鯨的重量大約是一頭非洲象的33倍”。學生對于這樣的等量關系比較好整理：一頭非洲象的重量×33=一頭藍鯨的重量、一頭藍鯨的重量÷一頭非洲象的重量=33，一頭藍鯨的重量÷33=一頭非洲象的重量。一頭藍鯨的重量和一頭非洲象的重量以及33倍這三個數量之間存在著一定的聯系，所以可以組成三個非常標準的等量關系。因為這道題的等量關系比較簡單，大部分學生都可以直接根據等量關系選擇用算術方法進行解答。
案例中兩道題的關鍵性條件包含四個數量，但是因為有了列一步計算方程解決實際問題的學習，再輔以平時對等量關系的針對性訓練，可以提高學生尋找等量關系的能力，自然提高了列方程解決實際問題的能力。
列方程解決實際問題的核心是找出相應的等量關系。對于較為簡單的問題可以選擇列方程，也可以選擇用算術方法解決。而對于較復雜的問題，在尋找等量關系時，還可以結合畫線段圖、畫示意圖等一些抽象變形象的方法理解題目中蘊含的信息，更好地讓學生建立數量之間關系，找出最為關鍵的等量關系式，為學生運用方程解決實際問題掃清障礙。
編輯 謝尾合