一、引言
在全球范圍內，通貨膨脹已經成為一種普遍的經濟現象。
隨著通貨膨脹迅速蔓延和資本市場波動加劇，通貨膨脹與資本市場尤其是股票市場的關系問題已經成為金融學研究的熱點問題之一[1]。
20 世紀 70 年代以前，西方經濟學家一般認為股票代表著實物資產的求償權，因此當經濟出現通貨膨脹時，股票應該是規避通貨膨脹風險的一種較好的資產。1930 年費雪提出關于實際利息率獨立于通貨膨脹率的假說，認為資產的名義收益率等于實際收益率與通貨膨脹率之和，股票是通貨膨脹保值資產，股票名義收益率與通貨膨脹率呈正相關關系[2]。Anari、Kolari 以股票價格指數的對數增量和物價指數分別代替股票收益和通貨膨脹率進行研究，利用 1953 年到 1998 年期間共 564 個月度數據對美國、加拿大、英國等六個發達國家進行了實證檢驗，實證結果表明投資者在股票持有期較長時間段內，這些國家股票市場費雪效應在統計意義上顯著成立[3]。
但并不是所有研究結果都是支持費雪效應結論的。一些文獻表明股票收益率與通貨膨脹率之間的關系并不是呈現正相關的關系。Nelson 證實通貨膨脹率與股票收益率呈負相關關系。
Adrangi 等對墨西哥和韓國的股票市場數據分析，Lee 對新興市場國家或地區如新加坡、韓國、香港等股市的檢驗，都發現收益率與通貨膨脹率統計意義上非正相關關系。針對實證結果出現的費雪效應悖論，一些學者從經濟學角度提出了一些經濟假說如：風險溢價假說、稅收效應假說、貨幣幻覺假說、代理假說、波動性假說、名義契約假說等[4]理論予以解釋。
還有一些研究證實了通貨膨脹與股票收益比較復雜的關系，如 Boudoukah 等研究發現，股票收益與通貨膨脹之間的統計結果與投資資產的時間長短有關，短期內預期股票收益率與通貨膨脹呈反向變化，但是長期來看二者呈正方向變化。韓學紅等認為如果通貨膨脹率的上升動力來自于供給沖擊， 那么兩者負相關；如果來自于需求沖擊則正相關；同一時期的正負相關關系取決于供給和需求沖擊動力的相對強度。
以前的研究局限于特定國家通貨膨脹與整體股票收益率之間的關系，鮮有論文對通貨膨脹與某一類股票 （如農業類股票） 的收益關系進行研究。本研究擬用現代數學方法—小波理論分析通貨膨脹率與農業股票收益率在不同尺度下\\(Differenttime horizons\\)的相關關系，得到投資者的投資與農業股票有效期限建議。論文的第二部分介紹了小波分析的基本原理，第三部分描述了小波分析的文獻綜述，第四部分闡述了實證數據的來源和統計分析，第五部分對通貨膨脹率和農業股票收益率兩者之間的關系進行了實證分析，第六部分從經濟理論上對實證結果進行了分析。
二、小波分析方法的基本原理
時間序列研究是金融數量分析中常見的方法，其包括兩種基本方式，分別稱為頻域和時域分析。時域分析具有良好的時間表述能力，但不能得到關于時間序列變化的更多性質；頻域分析具有較好的頻率定位功能，但適合對象僅為平穩的數據信號，經濟學中的數據大多為具有明顯的趨勢或周期特征的非平穩時間序列，頻域分析的適用對象較為狹窄。
1807 年，法國數學家傅里葉\\(Fourier\\)證明出任何周期函數都可以用一系列正弦級數或余弦級數來表示，開創了傅里葉分析。
傅里葉分析又稱調和分析，主要研究函數的傅里葉變換及其性質，成為分析學中逐漸形成的一個重要分支。傅里葉分析描述了時域與頻域之間內在的聯系，可以揭示整個時間范圍內信號的全部頻譜成分，是研究信號的周期現象不可缺少的工具。建立在傅里葉分析基礎上的快速傅里葉變換\\(Fast Fourier Transform，FFT\\)技術奠定了現代數字化技術的理論基礎。盡管傅里葉變換具有很強的頻域局域化能力，但是它明顯的缺點是無法反映非平穩信號在局部區域的頻域特征及其對應關系，即 FFT 在時域沒有任何分辨率，無法確定信號奇異性的位置。
從傅里葉分析演變而來的小波分析的優點恰恰可以彌補傅立葉變換中存在的不足之處。小波分析的思想來源于伸縮與平移方法，是以犧牲部分頻域定位性能來取得時-頻局部性的折衷。小波變換不僅能夠提供較精確的時域定位，還能提供較精確的頻域定位。我們所面對的真實物理信號，更多的表現出非平穩的特性，小波變換成為處理非平穩信號的有力工具。
小波理論的興起，得益于其對信號的時域和頻域局域分析能力及其對一維有界函數的最優逼近性能，也得益于多分辨率分析概念，以及快速小波變換的實現方法。1981 年由 Morlet 提出小波分析\\(Wavelet Analysis\\)方法，它具有時-頻多分辨功能，成為較好研究時間序列問題的工具，其能夠充分反映原信號在不同時間尺度中的變化趨勢，揭示出隱藏在時間序列中的多種變化周期。
小波變換把原始信號轉化到時間以及頻率二維平面上，可以把原始信號中看不見的信息在時-頻域上顯示出來。1988 年，Daubechies 創立了支持離散小波的二進制小波理論，得出了二進小波的正則性與多項式表示的條件，并構造了具有有限支集的正交小波基。通過小波分析，可以得到時間序列在某一時刻的頻率特征及在時間-頻率域上的變化規律。
Meyer & Mallat 的研究將信息處理計算機視覺領域中的多尺度分析思想成功引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的創新概念，將此前的所有具體正交小波的構造方法統一起來，進而給出將時間序列或圖像分解為不同頻率通道的分解和重構快速算法，即 Mallat 算法。Mallat 算法在小波分析發展中具有里程碑的意義。
Mallat 算法基本思想是信號的分解功能，可以將信號多層分解，每一層分解是將上次分解得到的低頻信號再分解成低頻和高頻兩部分。算法如下：
【公式】
其中，j 為分解尺度，k，m 為平移系數，h0，h1分別是低通和高通濾波器， Aj，m是低頻信號，為尺度系數，Dj，k是高頻信號，為小波系數。利用分解后的低頻信號以及高頻信號可以重構原來的序列，小波系數的重構關系可以表述為：
【公式2】
原始信號可以分解為高頻部分 D1和低頻部分 A1；低頻部分 A1可以下一步的分解為低頻部分 A2和高頻部分 D2，如此經過 5 次分解之后，原始信號 A 就分解為 6 個部分，關系為 A=A5+D5+D4+D3+D2+D1，式中 D1，D2，D3，D4，D5分別為第 1 層至第 5層分解得到的高頻信號，A5為第 5 層分解得到的低頻信號。多分辨分析對低頻信號部分進行進一步分解，而高頻部分不再分解，如果要進一步分解，可以將 A5分解成低頻部分 A6和高頻部分 D6在實際應用時，原始信號的分解層數根據具體問題研究需要而定。
三、小波分析方法應用的文獻綜述
國外學者首先利用小波分析對經濟管理中的問題進行了深入的探討和應用。這方面的先驅研究工作由 W. Goffe，J.Ramsey，C. Lampart，R. Gencay 等學者完成[5]，盡管他們這些學者當時在經濟學界并不為人熟悉。
Yogo\\(2008\\)將小波方法應用于二戰后美國 GNP 序列的分析，將數據分解為周期大于 32 季度的趨勢項，周期在 4~32 季度的周期項，以及周期小于 4 季度的噪聲項。達到的周期項與Baxter and King 帶通濾波法所達到的結果相似[6]。
Fernandez\\(2005\\)的研究收集了 1990-2002 年 G7 國、新興亞洲市場、中東等 8 個股票市場指數，利用小波多尺度分析的方法實證結果表明 G7 國的股票價格對歐洲、中東等地區股票有顯著影響，但在各種尺度上歐洲、中東等股票對 G7 國的股票影響不強[7]。Naccache\\(2011\\)用小波分析框架分析了石油價格的周期，以 MSCI\\(Morgan Stanley Capital International\\)作為全局指標，分析了石油價格與 MSCI 指標的關系，得到石油價格變化的周期大約為 20-40 年[8]。
Shahriar Yousefi\\(2005\\)對原油價格序列進行小波分解，對不同尺度下的數值進行建模并預測，最后達到的數值與現實期貨數值進行比較，從而判斷期貨的價格是否被準確定價[9]。Rania Jammazi\\(2012\\) 將神經網絡技術與小波分析結合起來，利用 Harr 將原油價格分解為不同層次，再利用神經網絡理論進行預測，其預測的穩健性通過一些節點的收入和輸出值來達到檢驗[10]。
國內學者也于 2000 年左右開始將小波分析應用于金融時間序列建模及相關應用領域的研究，取得了較好的結果，解決傳統數量分析方法所無法解決的問題。劉會玉等\\(2004\\)的研究以小波診斷技術為基礎，對近 50 年江蘇省糧食產量變化進行了多時間尺度的分析。研究結果發現無論是大尺度還是小尺度，在未來的一段時間內，江蘇省都將進入新一輪的糧食減產時期，針對糧食產量變化的這一趨勢，進行了原因分析，并提出相應的建議。
張明陽等\\(2005\\)對湖南省建國以來糧食產量變化進行多尺度分析。分析結果表明：建國以來湖南省糧食產量變化具有明顯的 5 年、13 年和 27 年的特征時間尺度和相應的周期性變化特征，并且特征時間尺度有逐步增加的趨勢[11]。
在經濟與金融領域，預測問題是十分重要的一個方面，國內外許多學者利用小波分析對其經濟數據進行了預測。梁強等\\(2005\\)利用小波多尺度分析的功能，把握油價的非線性波動特征，對 Brent 油價進行了跨度為 1 年的趨勢預測，將其預測結果與運用 ARIMA，GARCH，Hoft-Winters 等方法得到的結果進行了對比，表明基于小波分析的長期趨勢預測法的預測能力是其他方法不能比擬的，反應了小波方法在石油價格長期預測方法中的有效性。
常振海、張德生和劉薇\\(2009\\)把小波多分辨分析理論和去噪理論人民幣對港幣的匯率的研究中，建立了 AR\\(1\\)-GARCH\\(1，1\\)擬合模型，研究表明其波動序列不具有明顯的杠桿效應，而且與不去噪序列相比，預測精度明顯提升。
高靜等\\(2006\\)對上證指數間隔 10 分鐘的時間序列數據進行了小波多分辨率分解與重構，并采用混合的預測方法對其進行預測，得到了比較滿意的預測結果。隨著對小波分析研究與應用的逐漸深入，以小波理論為基礎的各種組合模型開始被應用于時間序列數據的分析和預測中，使得預測更具有可靠性。
曹躍群等\\(2009\\)的研究運用小波變換對 1976-2006 年間農民收入的波動關系進行預測分析，實證檢驗結果顯示：全國農民人均純收入增長具有 7 年和 40 年左右的特征時間尺度，與農民人均純收入變化存在著 7 年和 40 年兩個主要周期振蕩保持一致。兩個特征時問尺度疊加，可以預見在未來的數年內，全國農民人均純收入將呈現絕對值快速增長、增長率在波動中有所放緩的特征。
葛根等\\(2009\\)提供了一種小波分頻技術結合 Volterra 自適應濾波器的預測石油價格趨勢的方法，分別計算各層時間序列的最佳延遲時間和嵌入維數來重構其空間，最終用 Volterra 自適應濾波器法預測各層時間序列，重構成預測油價。實驗證明該方法比直接混沌時間序列全局預測和一階局域預測的精度更高，可預測范圍更大。
張華等\\(2010\\)的分析研究中提出基于二進正交小波變換和殘差 GM\\(1，1\\)-AR 方法的非平穩時間序列預測方案。首先利用Mallat 算法對非平穩時間序列進行分解和重構，分離出非平穩時間序列中的低頻信息和高頻信息；其次對高頻信息構建自回歸模型，對低頻信息則用灰色殘差模型進行擬合；最后將各模型的預測結果進行疊加，從而得到原始序列的預測值。該方法不僅能充分擬合低頻信息，而且可避免對高頻信息的過擬合。實驗結果表明，這種方法比傳統的非平穩時間序列預測方法具有更高的預測精度。
楊天宇等\\(2010\\)提出新的時間序列分析方法—小波降噪方法，利用 1992-2009 年間的季度數據，估計了中國的產出缺口。估計結果將小波降噪、HP 濾波、BK 濾波、UC 卡爾曼濾波、SVAR 方法估計的產出缺口進行了比較。顯示小波降噪方法具有更強的預測通貨膨脹能力，能準確反映中國 1992 年以來的經濟周期波動，而且具有較好的穩定性。
陳紅霞等\\(2011\\)運用小波多分辨分析方法，實證檢驗了我國1996-2010 年間同業拆借市場利率期限結構對通貨膨脹的預測性能。結果表明：小波方法能夠準確地揭示我國市場利差和通貨膨脹的發展趨勢，有利于辨識它們之間長期的因果關系[12]。
葉青等\\(2012\\)應用小波變換模極大值方法分析在次貸危機中美國證券市場的突變情況。研究發現，小波模極大值方法準確定位了金融資產價格異常點的具體時刻：檢測出了 2 類奇異點，這些奇異點對應了美國次貸危機主要發展階段的重大經濟事件，反映出危機中美國經濟系統異常對金融市場造成的影響[13]。
周博等\\(2013\\)利用 Mallat 算法將金融時間序列分解成一個低頻信號和若干個高頻信號；對不同頻率的時間序列建立多維泰勒網動力學模型；通過共軛梯度法訓練模型參數，并進行預測；將各模型的預測結果進行疊加，得到原始序列的預測值。實驗結果表明，這種金融時間序列預測方法具有較高的預測精度和預測方向正確率。
四、數據來源和統計分析
居民消費物價指數 CPI，又稱“生活費用指數”，反映一定時期內居民所購買的生活消費品 （包括貨物商品和勞務） 的價格變動趨勢和程度的相對數，是對城鎮居民人口消費價格指數和農村人口居民消費價格指數進行綜合匯總計算的結果，理論上通常被認為是描述通脹水平的最常用數據指標。CPI 指數可以觀察和分析普通商品的零售價格和勞務價格變動對城鄉居民實際生活費支出的影響程度，它是政府制定物價水平和確定工資多少等宏觀政策的重要依據，當前所有國家都編制這種指數。
CPI 既能較為準確地反映經濟發展的現實，也具有國際通用的特點，有可操作性和時效性?；诖?，文章選擇 CPI 作為衡量通貨膨脹水平的指標。我國農業類上市公司主要包括傳統農業、飼料企業、種子企業、養殖類企業等類型，是目前我國良好業績的農業類的代表性公司。農林指數以數值的形式反映了以農林牧漁等行業為主的上市公司平均交易價格水平，選擇以月度數據為觀察數據，這樣與 CPI 月度數據統計口徑一致。
因小波理論應用于多尺度分析需要的樣本數量為 2n，n 為自然數。文章樣本期間選擇 n=6，樣本數為 64 個。時間跨度從2007 年 6 月到 2012 年 12 月。CPI 數據來源為財新網統計數據庫，農林指數月度收盤價數據來源于中經網統計數據庫。
農林指數月度收益率 Rt定義為：Rt=lnpt-lnpt-1\\(3\\)其中，pt為 t 月份的農林指數指數月度收盤價。表 1 給出了 CPI和農林股票收益率R 的描述性統計量。無論是 CPI 還是 R， 樣本峰度\\(Kurtosis\\)都大于 3，說明于正態分布，或者說有更厚的尾部，屬于尖峰分布。無論是 CPI 還是 R，其 JB 統計量的 P 值都較小，說明這兩個變量的分布明顯不同于正態分布。下面對 CPI 和 R 進行平穩性檢驗。利用計量經濟學Eviews 軟件對 CPI 進行 Augmented Dickey-Fuller 檢驗。其檢驗式 （檢驗時不包括趨勢項和截距項） 表示為：△CPIt=-0.570909CPIt-1\\(-4.99\\) DW=2.15ADF=-4.9934，而統計量在檢驗水平為 1%、5%和 10%下的臨界值分別為：-2.6、-1.946、-1.61。ADF 統計值都小于這三個臨界值，消費者價格指數 CPI 是一個平穩時間序列。對農林股票收益率 R 進行 Augmented Dickey-Fuller 檢驗，同樣地，檢驗式中不包括趨勢項和截距項。其相應的檢驗式可以表示為：△Rt=-0.92Rt-1-0.01669△Rt-1\\(-7.29\\) DW=2.01ADF=-7.283，而統計量在檢驗水平為 1%、5%和 10%下的臨界值分別為：-2.6、-1.946、-1.61。ADF 統計值都小于這三個臨界值，所以農林股票收益率 R 也是一個平穩時間序列。
五、多尺度關系實證分析
現運用小波函數對通貨膨脹率和農業股票收益率這兩列時間序列進行小波變換，將其分解成不同尺度的成分。常見的小波函數是 Harr 小波、Symlet 小波、Daubechies 小波、Meyer 小波等。針對不同的問題類型，可以選擇不同的小波函數。文章研究采用 Daubechies 正交小波對 CPI 和 R 進行分解。
小波分解后第一層尺度為 21，是周期 1~2 個月的分量，即頻率為 0.5~1 的分量；第二層尺度為 22，是周期 3~4 個月的分量，即頻率為 0.25~0.5 的分量。小波分解的前兩層周期為 1~4個月，是時間序列中的季節因素和不規則分量，第 3 層到第 5層為時間序列的周期波動分量。第三層尺度為 23，是周期 5~8個月的分量，即頻率為 0.125~0.25 的分量，可視為短期波動。
第四層尺度為 24，是周期 9~16 個月的分量，即頻率為0.063~0.125 的分量，可視為中期波動。第五層尺度為 25，是周期 17~32 個月的分量，即頻率為 0.031~0.063 的分量，可視為長期波動 （見圖 1）。
為了找出股票收益率 R 和 CPI 在不同尺度下的相關關系，分別建立一元線性回歸模型，R=b0+b1*CPI+ε，估計結果如表 2。
從實證結果看，擬合優度 R2隨著研究尺度的增加，其值也在增加，當分析周期達到 32~64 月時，R2達到 0.7889。通貨膨脹率與股票收益率在不同尺度下呈現不一致的關系。在中尺度（17~32 月） 和大尺度 （33~64 月） 的分析周期上，兩者具有統計意義上顯著地正相關關系，符合費雪提出的關于實際利息率獨立于通貨膨脹率的假說，并且可以看到在分析周期最大時，相關系數 b1達到最大為 18.76。而在短尺度 （0~16 月） 分析周期上，兩者又具有統計意義上的負相關性。
六、研究結論及分析
當前資本市場尤其是股票市場已成為各國投資者關注的投資重點市場。通貨膨脹水平與某一類特定股票的收益率之間存在的定量關系，決定了股票市場能否起到投資者所期望的保值、增值效果。在此基礎上，對投資者的投資類型以及投資期限提出指導性參考意見，這些內容都是投資者與學者所關注的熱點問題。
從經濟原理上看，通貨膨脹會對股票這類金融資源產生影響。通貨膨脹表現的價格變化會對資源進行重新配置，對投資、消費等經濟活動均產生影響，因而對于農業類上市公司股票這種資源來說也受其影響。
第一，從短尺度分析周期看，通貨膨脹可能會產生貨幣幻覺效應和財富收入效應，這種效應對農業類股票收益產生影響。Modigliani 等提出的貨幣幻覺假說認為投資者會犯主觀評價錯誤，即由于通貨膨脹的原因，通常會低估農業股票價值，從而導致投資人低估了通貨膨脹時期的農業上市公司權益資產價值，造成農業股票報酬率與通貨膨脹率之間的負相關關系。另外，財富收入效應認為從短期看通貨膨脹的發生會引起工資不同程度的上漲，工資上漲會讓投資者暫時產生自認為的收入增長現象，人們在短期內會認為自己的財富增長，而增加一部分消費。這種效應有可能使人們的可支配收入減少，導致減少對農業股票市場的投資，這樣通貨膨脹的財富收入效應對股票收益的影響是反向的。貨幣幻覺效應和財富收入效應這兩個理論復習表明了農業股票報酬率與通貨膨脹率之間的反方向關系。與文章實證結果是相符、一致的。
第二，從中尺度分析周期看，通貨膨脹的產出效應會對農業股價產生正方向的影響。在資源的產出量還沒有達到社會最大化水平時，國家的宏觀經濟層面出現了輕微通貨膨脹現象，其名義工資在中等時間尺度，即一兩年時間內會上升，而實際工資則表現為下降，農業類上市公司會增加生產要素投入，擴大再生產，使得企業的實際利潤增加，于是農業類股票價格就會伴隨企業利潤增加而上升。另外，在中尺度 （17~32 月） 時間范圍內，人們對通貨膨脹的預期，將導致普通債券預期價格下跌，對資本市場構成利好。理性投資者會將資金從債券市場轉移股市，可能會特別關注國家普遍扶持的農業類上市公司。綜合這兩方面的分析，在中尺度分析視角下，通貨膨脹作用于農業股票收益率的方向是正向的，與文章的實證結果相符。
第三，從大尺度分析周期看，通貨膨脹預期會對農業股價產生影響。經典的費雪效應理論表明了股票收益率與通貨膨脹率應該呈正相關關系。近似地，可以認為名義股票收益率等于實際收益率與預期通貨膨脹率之和。從較長時間的分析周期看，農業股票代表農業上市公司的實際資產的所有權，通貨膨脹可以引起農業上市公司的業績增長，農業股票收益率也應增加，農業股票可以作為通貨膨脹的一種保值手段。這樣從大尺度分析通貨膨脹預期對股價的影響，兩者是正方向的，文章的實證分析結果支持了費雪效應假說。
小波分析理論具有時間序列多分辨率分析的特點，已廣泛地應用于信號處理、圖像壓縮、模式識別、復雜數值分析和大氣空間科學等眾多一般非線性科學領域。其多分辨率方法在時- 頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口固定不變大小，其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。運用小波分析的基本理論方法，研究通貨膨脹率與農業股票收益率在不同尺度下的相關關系，得到在中尺度（17~32 月） 和大尺度 （33~64 月） 的分析周期上，兩者具有統計意義上顯著地正相關關系，支持了費雪效應假說；而在短尺度 （0~16 月） 分析周期上，兩者又具有統計意義上的負相關性，出現了費雪效應悖論。
