“弗完全”\\( paracomplete\\) 是“弗協調”\\( paraconsis-tent，又譯“次協調”、“亞相容”、“超一致”等\\) 的對偶\\( dual\\) 概念，此概念最早是由弗協調邏輯學家羅普瑞克、達·科斯塔、馬可尼等人在上世紀 80 年代中期引入的。弗協調邏輯的特異性質是一般意義的矛盾律在其邏輯系統中失效，而弗完全邏輯則是指那些一般意義的排中律在其中失效的邏輯系統。使得矛盾律失效也許會引起不小的爭議，但許多邏輯學家可以接受經典排中律在某些邏輯系統中的失效。因為盧卡西維茨、波斯特、布勞威爾、海廷等人在多值邏輯、直覺主義邏輯的工作，足以表明經典排中律在邏輯直覺明晰性上的缺乏。正是在這個意義上，達·科斯塔和馬可尼認為，直覺主義邏輯和一些多值邏輯都是弗完全的［1］。弗完全概念的提出，也使得諸多經典排中律在其中失效的邏輯系統因此而歸為了同類。

一 弗完全邏輯的提出與發展

需要首先明確的是，盡管直覺主義邏輯和一些多值邏輯可以劃歸為弗完全邏輯，但這三者之間在誕生緣由、發展歷程和構建的方法與目的上有著根本不同。本文所討論的弗完全邏輯，主要是指那些通過使用類似于構建弗協調邏輯的方法而構建出來的弗完全邏輯; 因而，本文考察弗完全邏輯思想和理論的角度，也是以弗協調邏輯為基始的。

羅普瑞克和達·科斯塔于 1984 年在《弗協調性、弗完全性和賦值》［2］一文中首次明確定義了“弗完全邏輯”概念: 如果某個理論允許一個命題及其否定同時都為假，那么該理論就是弗完全的; 允許一個公式及其否定可以同時為假，從而可用作弗完全理論之基礎的邏輯系統，就是弗完全邏輯。該文首次使用了弗完全理論、弗完全邏輯概念，但并沒有給出一個具體的弗完全邏輯系統。但很快，達·科斯塔和馬可尼便于 1986年在《弗完全邏輯注記》［1］一文中較為完整地給出了弗完全邏輯系統 P1，并象征性地給出了 P1的\\( 類似于弗協調邏輯 Cn\\( 1≤n≤ω\\) 的\\) 系列系統 Pn\\( 1≤n≤ω\\) ，特別是明確地給出了弗完全邏輯系統 P1的大體框架\\( 其語法和語義將在后文單獨介紹\\) 。達·科斯塔和馬可尼在該文中所構建的弗完全邏輯系統 P1的面貌大體類似于弗協調邏輯 C1，并且使得經典排中律失效的邏輯方法也與 C1相類似。因此，在這個意義上，達·科斯塔和馬可尼稱 P1與 C1是對偶的。這也是在弗協調邏輯領域第一次開始使用術語“對偶”。

此后，阿貝爾和雅瑪施塔于 1995 年在《論擬真勢邏輯》［3］一文中對 P1的一些具有明顯邏輯特征內定理進行了補充。此外，貝茲奧于 1999 年在《弗協調邏輯的前景》［4］一文中探討了弗協調邏輯和弗完全邏輯之間的對偶關系，他形象地用游戲比喻說，有的游戲可以雙方都贏，弗協調邏輯適用于此; 而弗完全邏輯則適用于那種雙方都可以輸的游戲。貝茲奧認為弗協調邏輯與弗完全邏輯猶如一對夫妻，他也由此而斷言，對于每一種弗協調邏輯都存在一個與之對偶的弗完全邏輯;并且，對于每一種弗完全邏輯也都存在一個與之對偶的弗協調邏輯。顯然，概念“對偶”在此處的意義已經更加明確和嚴格了。換言之，這意味著對偶并不是一個十分寬泛的概念。比如，商討邏輯是一種棄合型弗協調邏輯\\( 即放棄經典邏輯合取原則的一種弗協調邏輯，詳見張清宇《弗協調邏輯》［5］195－229。下述正加型弗協調邏輯亦參見該文獻\\) ，弗完全邏輯 P1只是正加型弗協調邏輯 C1的對偶邏輯，而不是商討邏輯的對偶邏輯。

作為弗協調邏輯 C1的對偶邏輯，弗完全邏輯 P1也具有與之類似的、可以容忍真矛盾\\( dialetheia 或 truecontradiction［6］3－6\\) 的邏輯特性; 這種特異的邏輯特性也可以作為某些真矛盾\\( 例如悖論\\) 的處理和解決方案。

比如，菲爾德于 2008 年在《從悖論中拯救真理》［7］一書中大篇幅地討論了悖論的弗完全解決方案; 李慧華、王文方則撰文《試論語義悖論的弗完全理論》［8］，對菲爾德的方案進行了深入解讀和剖析，并對其給予了積極評價。盡管菲爾德的弗完全方案與 P1不屬于同一種弗完全思想\\( 前者屬于普利斯特所建立的悖論邏輯［6］221－228的對偶邏輯，而后者屬于正加型弗協調邏輯的對偶邏輯\\) ，但兩者的基本思想是相通的，即都通過各自不同的邏輯措施，使得一般意義的排中律不再有效。而這種相通的基本思想，也使得它們具有相類似的邏輯功用\\( 即弗完全邏輯 P1也具有解決和處理某些“真矛盾”的邏輯功效，我們將在后文詳述\\) 。

二 弗完全邏輯 P1的公理模式、語義賦值及其特征

從以上語義賦值定義可見，弗完全邏輯 P1有如下語義賦值特征:

第一，賦值定義 1\\( 1\\) 要求: 當 A 為真時，則￢A 為假。這里，是“如果……那么……”，而不是像經典邏輯那樣是“當且僅當”。所以，當 A 為假時，對￢A 的值就沒有更多要求，即此時￢A 可真可假; 亦即，當 A 為假時，￢A 與 A 可以同時為假。

第二，賦值定義\\( 2\\) 要求: 當 A 為真時，則￢￢A 為真。但當 A 為假時，對￢￢A 的值沒有要求，即此時 A可真可假; 亦即，當￢￢A 為真時，￢￢A 與 A 可以同時為假\\( 當然亦可同真\\) 。綜合以上兩個賦值特征，A、￢A和￢￢A 之間的真假關系為\\( 見表 1 所示\\) : A 與￢A 不能同時為真，但可以同時為假; ￢A 與￢￢A 不能同時為真，但也可以同時為假。這兩個特征其實也就是說，一個命題及其否定可以同時都為假。所以，在這種二值的語義賦值之下，一般意義上的排中律不再有效。

第三，賦值定義 1\\( 7\\) 的直觀含義是指，如果 A和 B 的語義賦值遵守排中律，那么 A∧B、A∨B、A→B 的語義賦值也都遵守排中律。相對應的是，V\\( A*\\) = 0，則表示 A 的語義賦值不遵守排中律。由該賦值定義可知，這種賦值顯然與經典邏輯不同，即P1－公式的賦值是非真值函項的，其公式的值并非完全由它所包含的命題符的真值所決定。

三 弗完全邏輯 P1的可判定性及其擬真值表

P1是可判定的，即我們可以在有窮步內以能行程序判定一個公式是否為其定理。與經典邏輯不同，一個 P1－公式的值并不是完全由其子公式的值所決定，還涉及到這些子公式的否定式的值。所以，我們不能像經典邏輯那樣，僅僅直接使用真值表來判定一個 P1－公式是否為 P1－定理。為此，我們把一個公式 A 的子公式以及 A 的真子公式的否定，統稱為擬子公式，這樣 A 的值就由它的擬子公式所決定。由此，我們用構造擬真值表的方法來判定一個P1－公式是否為 P1－定理。以杜國平\\( 2006\\)［9］228所給 Cn的擬真值表為基礎，根據本文的定義 1，給定任意一個 P1－公式 A，其擬真值表的構造步驟如下。

第一步，相同于經典邏輯做真值表的情形，列出A 中所有出現的命題符，并列出這些命題符的各種取值情況。

第二步，為表中所有的命題符的否定各辟出一列，并逐行做如下運算:若已知命題符 p 在該行取值為 0，則將此行裂分為兩行: ￢p 在所得裂分的第一行的值為 1，此值左面的值保持跟裂分前的相同; ￢p 在所得裂分的第二行的取值為 0，此值左面的值保持跟裂分前的相同。

第三步，列出 A 的擬子公式并逐行計算它的值。若此擬子公式自身的所有的真擬子公式都已列出并且它們在各行中的值都已得到，則列出此擬子公式并逐行求值如下:

1． 當所考慮的擬子公式不是否定式時，求值同經典邏輯的方法。

2． 當所考慮的擬子公式為否定式￢ A' 時，在 A'

取值為1 的行中￢A'的取值為0; 在 A'取值為0 的行中￢A'的取值方法如下:

\\( 1\\) 如果 A'是否定式￢B\\( 即，要給出￢￢B 的取值\\) ，那么需看 B 和￢B 的值是否相等:

如果不等，那么￢A'與 A 的取值不等。

如果相等，那么將該行裂分為兩行，第一行￢A'

的取值為 1; 第二行￢A'的取值為 0。

\\( 2\\) 如果 A'為 B∧C，B∨C，B→C，則有兩種情況需要考慮:

①如果 A'形如 D∨￢D 或￢D∨D，那么將該行裂分為兩行，在第一行￢A'的取值為 1，在第二行￢ A'的取值為 0;②如果 A'并非形如 D∨￢D 或￢D∨D，那么當 B和￢B 的值不同并且 C 和￢C 的值也不同時，￢A'與A 的取值不等; 否則，該行裂分為兩行，在第一行￢ A'的取值為 1，在第二行￢ A'的取值為 0\\( 但當 A'形如 D∧￢D 時，￢A'的取值為 1\\) 。

通過上述的方法，可以最終得到公式 A 在 P1中的取值。若公式 A 在擬真值表的最后一列全部都取 1，則公式 A 是 P1－定理\\( 由公式的最后一列為真，根據系統 P1的可靠性，可推斷出該公式為系統的定理; 而根據賦值定義易證公理都是有效的，規則Ｒ1也是保真的，因而系統 P1是可靠性的\\) 。例如，通過擬真值表的方法可以有如下推論。

推論: 如下公式不是 P1－定理［Abar\\( 1995\\)［3］，

表\\( a\\) 的最后一列并非都取 1，表明一般意義排中律在 P1中不再有效; 表\\( b\\) 的最后一列也并非都取 1，表明雙重否定律在 P1中不再有效。

四 P1作為解悖方案的邏輯機制

為對 P1進行解悖方案的考察，首先，我們應該清楚什么是嚴格意義的邏輯悖論。張建軍曾基于對悖論構成要素的考察和國內外悖論定義的比較研究而給出如下定義: “邏輯悖論指謂這樣的一種理論事實或狀況，在某些公認正確的背景知識之下，可以合乎邏輯地建立兩個矛盾語句相互推出的矛盾等價式?！保?0］7盡管這樣的定義在學界尚有爭議，但如果僅從形式特征來考察，在悖論中“可以建構矛盾等價式”這一點是擁有共識的。而悖論對理論本身的危害正是來源于此。在經典邏輯中有一條定理: \\( A\ue03b￢A\\)→B，它意味著如果公式“A\ue03b￢A”成立，那么就會導致任意的公式都成立。具體到某個理論就是，如果某個理論中存在邏輯形式為“A\ue03b￢A”的命題，就會“在邏輯上”導致任意的命題都在該理論中成立。顯然，這樣的理論是沒有意義的，是不足道的\\( trivial\\) 。然而，這種“在邏輯上”導致的“不足道”的結果是基于一定邏輯基礎的，這個邏輯基礎就是經典邏輯。也就是說，以經典邏輯為基礎，存在悖論就意味著不足道，就意味著無意義。但事實上情況并非如此簡單，因為確實存在那些盡管自身包含悖論，但仍然有意義的理論，最典型的莫過于樸素集合論。盡管其中包含有眾所周知的羅素悖論，但將之使用于日常思維領域卻絲毫沒有什么障礙。當然，這些包含悖論的理論可以弗協調邏輯為基礎，但弗完全邏輯 P1也具有類似的作用。因為如下的擬真值表可以表明公式\\( A\ue03b￢A\\)→B 也不是弗完全邏輯 P1的定理。由于\\( A\ue03b￢A\\)→B 是\\( A→￢A\\) ∧\\( ￢A→A\\)→B的縮寫，所以下面我們列出后者的擬真值如表 3:

實際上，公式\\( A\ue03b￢A\\)→B 起到的作用與司各脫法則\\( A∧￢A→B\\) 的作用是類似的，也可以將之看作是司各脫法則的另一表達式。它們共同的后果是，都會導致前提不良后果在系統中的擴散，導致系統的不足道?？梢哉f，公式\\( A\ue03b￢A\\)→B 不再是定理，是弗完全邏輯 P1可以避免某些悖論的不良后果的最直接的邏輯機制體現。這也就是說，類似于弗協調邏輯，弗完全邏輯也具有某些處理真矛盾的能力。這些真矛盾可以是某些悖論、道義二難、司法沖突等。需要強調的是，弗完全邏輯 P1只能處理某些真矛盾。比如，對于悖論而言，弗完全邏輯不能處理寇里\\( Curry\\) 悖論以及類寇里悖論，因為該悖論的產生與否定詞并沒有直接的關系\\( 當然，對于該類型的悖論，弗協調邏輯也無力處理\\)［10］65。概括來講，弗完全邏輯只能處理與否定詞有直接關系的，并且邏輯形式為“A\ue03b￢A”的那些真矛盾。

那么，相對于弗協調邏輯 C1對真矛盾的處理能力，兩者差別在何處呢? 我們知道，在弗協調邏輯C1中，矛盾律受到限制，但排中律無限制; 在弗完全邏輯 P1中，排中律受到限制，但矛盾律無限制。而矛盾律的邏輯要求比排中律更強一些，所以相對來說，僅矛盾律受限制的 C1比 P1更弱一些，因而可以處理相對更多一些的真矛盾; 而僅排中律受限制的P1比 C1更強一些，因而其處理真矛盾的能力相對就要弱一些。而導致爆炸后果的\\( A\ue03b￢A\\)→B 與\\( A∧￢A→B\\) 是否有效，則是這種區別的最直接體現。由推論 2 可知，\\( A∧￢A→B\\) 在 P1中仍然成立，但由列出的擬真值表可知，這兩者都不是 C1定理，這就意味著 C1比 P1具有更強的真矛盾處理能力。更具體地說，弗完全邏輯 P1可以處理形如“A\ue03b￢A”的真矛盾，但弗協調邏輯 C1卻可以處理形如“A\ue03b￢A”和“A∧￢A”的真矛盾。例如，弗協調邏輯C1可以容忍“辯證命題”，但弗完全邏輯 P1則不可以。這也表明，P1的真矛盾處理能力要弱于 C1; 或者說，P1對真矛盾的容忍度要低于 C1。

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