一、 弗雷格的 “相等” 難題

弗雷格在 《論涵義和意謂》 中談到了 “相等” 問題。 主要討論兩種相等， 一是名稱的相等， 二是句子的相等。 該文章開篇寫道：

由于相等涉及許多問題……它是一種關系么？ 一種對象之間的關系？ 還是對象的名字或符號之間的關系？ ……a=a 是先驗有效的， 根據康德， 應該叫分析的， 而具有 a=b 形式的句子常常十分有意義地擴展了我們的認識， 并不能先驗地建立起來…… 如果我們現在把相等看成是 “a” 和 “b” 名字意謂的東西之間的關系， 那么看來， 如果 a=b 真， 則 a=b 和 a=a 就不能是不同的……a=b 要表達的似乎是 “a”和 “b” 這兩個符號或名字意謂相同的事物， 因此恰恰是這些符號； 也陳述了這些符號之間的關系……顯然， 與一個符號 （名稱， 詞組， 文字符號） 相關聯， 除要考慮被表達的事物， 即可稱為符號的意謂的東西外， 還要考慮那種我們要稱為符號的涵義的， 其間包含著給定方式的東西。

弗雷格在這段文字里表明， 兩個名稱相等， 不僅僅說名稱的意謂 （也有人譯為指稱或所指） 相同， 還要考慮名稱的涵義。 a=b 真， 則 a、 b 指稱對象相同， 但 a 和 b 的涵義不同。 名稱有意謂和涵義， 句子也有涵義和意謂。 弗雷格認為， 句子的意謂是它的真值 （真和假）， 涵義是其表達的思想。 兩個句子相等是說它們意謂相同， 而它們表達的思想不同。 例如 a=b 和 a=a 兩個句子， 兩個句子的真值相同， 但涵義不同。 a=a 表達了一個不足道的先驗知識， 而 a=b 則表達了后驗知識。

對于有些名稱來說， 涵義是清楚的， 但其意謂卻不好確定。 如 “最小的收斂級數” 關于其意謂是什么，并無定論， 弗雷格認為這個名稱是沒有意謂的， 這就是名稱有涵義無意謂的情況， 即空詞項。 與名稱相類似， 句子在間接語境、 從句或其他語境， 比如認知詞、 相信或模態語境中， 句子的意謂發生了變化。 在間接語境下， 句子無通常意謂， 只有間接意謂， 而其間接意謂是其通常的涵義。 復句中的分句在從句或其他語境中通常也沒有直接意謂， 只有涵義， 而其間接意謂是思想且是復句思想的一部分。 在這些情況下， 萊布尼茨律即同一保真替換不成立， 所謂同一保真替換指： “給定一個關于同一性的真陳述， 可以用它的兩個詞項中的一個替換另一個出現在任一個真陳述中的詞項， 而其結果將是真的”。

相等在外延語境中是不成問題的， 經典一階邏輯已經顯示了這一事實。 但正如弗雷格所注意到的， 相等在其他語境中， 比如內涵語境中， 并不一定成立， 而這正是造成人們困惑的地方。 現代邏輯意義上的內涵語境包括認知、 信念和模態等情況， 這遠遠地超出了弗雷格所理解的范圍， 內涵語境的典型形式是模態語境，所以， 我們下面的討論主要針對模態邏輯而言。 在模態語境中， 若用 “□” 表示 “必然”， 則 “相等” 難題的一個重要問題可用公式表示為：

1. x=y →□（x = y）

上述公式在模態邏輯中成立么？ 弗雷格沒有把這個問題深入探究下去， 他也沒有可能探究下去， 這是因為在弗雷格時代尚無模態邏輯理論。 但弗雷格旗幟鮮明地指出， 相等的兩個詞項在某些語境中不能保真替換， 這表明了走外延路線的經典邏輯的局限性， 我們還需要一些超出外延的內涵邏輯。

如上所述， 弗雷格的 “相等” 問題涉及如下幾個方面內容。 第一， 什么東西相等， 這種相等是否具有必然性？ 它們涉及涵義和指稱。 第二， 相等能否在所有語境中保持？ 進一步而言， 在內涵語境中是否可以同一保真替換？ 第三， 在詞項只有涵義沒有意謂的情況下， 如何看待詞項的相等及其相關命題的真假？ 這涉及空詞項問題。 我們把這些關于相等難題統稱為 “弗雷格之謎”。

二、 謂詞抽象和從言、 從物模態。

弗雷格的 “相等” 難題一直得不到較好解答， 是因為經典邏輯是一種外延邏輯， 邏輯外延化的傾向影響巨大， 以至于后來發展的模態謂詞邏輯依然帶有外延化的傾向， 所以， 它不能很好地處理弗雷格所提出的問題。 一個熟悉的例子是：

2. 晨星等于暮星。

按照弗雷格的理論， 該句中這兩個名稱的指稱對象相同， 但涵義不同。 指稱對象是外延的， 而涵義則是內涵的東西。 從語形層面看， 若要用形式語言完整地表達這個命題的意思， 則相關的公式既要體現出外延， 又要體現出內涵。 從語義層面看， 名稱的指稱比較好辦， 在模型的論域里直接指定一個對象即可。 而名稱的涵義， 按照摹狀詞理論，[3]

涵義是確定一個名稱對象的方式， 而這是不好刻畫的。 關于內涵語義， 影響最大的是克里普克的可能世界語義學， 尤其值得一提的是克里普克在其著作 《命名和必然性》 中， 用嚴格和非嚴格指示詞表達名稱的不同的指稱方式。 “如果一個指示詞在每一可能世界中都指稱同一個對象， 我們就稱為嚴格指示詞， 否則就稱為非嚴格的或偶然的指示詞”。[4]

例如， “行星的數目” 是非嚴格指示詞， 而 “9” 則為嚴格指示詞。 但是在克里普克的系統里， 這兩者的區分是事先給定的， 并且是在語義層面給定的區別。 在語形層面， 從一個模態公式里我們看不出一個詞項是嚴格指示詞還是非嚴格指示詞。 究其原因， 克里普克缺乏一個有效區分外延和內涵的邏輯工具。

在模態邏輯范圍內， 若要回答弗雷格 “相等” 難題， 必須要同時從外延和內涵兩方面著手， 單方面的解決方式是難以奏效的。 在模態邏輯中， 涉及內涵概念的除可能世界概念外， 還包括從言、 從物模態的區分，甚至包括嚴格指示詞和非嚴格指示詞的區分。 通常所講的從言、 從物模態區分是針對包含量詞的這類特殊的模態公式而言， 例如：

但是， 包含量詞的模態公式只是一類特殊的公式， 不具有普遍性， 對不含量詞的一般公式， 例如：

5. 行星的數目必然大于 7。

這個句子的從言、 從物模態就不好用公式表達了。 若用 τ 表示 “行星的數目”， b 表示 “7”， ＞表示大于關系， 則上面這個句子表示為：

對于這個句子， 我們無法在模態謂詞邏輯的形式語言中刻畫其從言模態和從物模態。 但在日常語言中， 我們認為 “行星數目” 的意謂是 “9”， 并對句 5 有兩種理解方式， 即：

7． 行星數目大于 7， 這是必然的。

和8． 行星的數目 （也就是 9） 必然大于 7。

前一種理解著重于命題 “某事物具有屬性 P” 是必然的。 后一種理解著重于某個特定事物， 該事物必然具有屬性 P 。 前面一種理解偏重于命題的必然性， 后一種理解偏重于事物的必然性， 我們稱前一種為從言模態，后一種為從物模態。 但是， 公式 6 無法體現出這一點， 從言、 從物模態的表述在這里遇到了困難。 對于公式6， 需要用一個恰當的方法把詞項 τ 的從言、 從物形式區別開來。

菲汀 （M. C. Fitting） 對謂詞抽象做了比較深入的研究， 其研究成果為我們提供了一個很好的技術平臺。[5]

謂詞抽象理論的出現， 才使得我們有一個工具表達一個詞項究竟是側重于詞項指稱的對象 （即從物模態）還是側重于詞項的指稱方式 （即從言模態）， 并且可以在不含量詞的普通公式中得到體現。 先引入一個新的符號λ， 稱為抽象謂詞， 這是一個特殊的謂詞。 在新的模態形式語言中， 運用抽象謂詞， 把句 6 中的詞項 τ的從物模態表示為：

而把句 6 中的詞項 τ 的從言模態表示為：

另一方面， 對于名稱的指稱方式， 也就是涵義， 這是語義層面的東西。 對于句子 5 中的 “行星的數目”，做從物理解則先考慮名稱的指稱即 9， 再考慮該對象 9 在不同可能世界中具有什么屬性。 對 “行星的數目”

做從言理解， 則先考慮該詞項指稱的方式變化情況。 換句話說， 在模態語境中該名稱的指稱對象可能是 9，也可能是其他對象， 在這之后， 再考慮該詞項所指稱的對象具有什么屬性。 這種考察的先后順序對于模態從言和從物的區分是重要的， 它是謂詞抽象理論的一個重要的語義特點。 依據菲汀謂詞抽象理論， 謂詞抽象語義的主要思想在于通過一個變元與一個常元綁定， 變元的指派不受其模態詞的影響， 在從物模態中， 某個變元先綁定一個常元， 再考慮其在可能世界中的屬性變化； 在從言模態中， 先考慮可能世界， 再考慮與常元綁定， 然后考慮屬性， 通過這樣的方式來區別從言和從物模態。[6]

簡言之， 就是把常元 τ 的指派過渡到一個變元 x 的指派。 在從物模態情況下， 即句 9， 首先考慮此詞項指稱的對象 “d” （這個 d 即對象 9）， 一個模型 M和賦值 V 在可能世界 w 中使得 V（τ）w 為 9。 考慮類似公式□（x>b） 的賦值， 使得 V（d/x）（□（x>b））w=1。 在這里， 令 V（d/x）（x）w =V（τ）w ， 由于在同一個模型 M 中， 指派 σ 對同一個變元的指派是不變的， 我們可簡寫為 V（d/x）（x）=V（τ）w。 據代入引理， 這兩個公式在模型 M 中的取值是相同的。 在與 w 的所有可通達世界v 中， 若 V（b）v 為 7 ， 顯然 9 大于 7， 即 V（d/x）（x> b）v =V（x>b）v=1。 在這里， 句 9 的 賦值為真 。 在從言模態的情況下， 即句 10 （τ 在現實世界指稱 9， 但在另一可能世界可能指稱 6）， 首先考慮的是模態詞， 考慮類似公式□（x>b） 的賦值， 使得 V（d/x）（□（x>b））w=0。 在與 w 的所有可通達世界 v 中， 若 V（b）v 為 7 ， 令 V（x）= V（d/x）（x） =V（τ）v ， 且 V（τ）v 為 6， 顯然 6 小于 7， 即 V（d/x）（x>b）v =V（x>b）v=0。 據 代入引理 ， 我們容易知道 V（d / x）（□（x>b））w=V（□（x>b））w=0。 在這里， 句 10 賦值為假。

可見， 謂詞抽象在語形和語義層面都可以很好地刻畫模態從言和從物形態， 使得模態語言表達能力更強。 它還可以結合可能世界對涵義做更細致的處理。 下面用謂詞抽象理論來分析弗雷格 “相等” 難題的三個方面。

三、 從謂詞抽象角度考察 “相等” 難題

首先用謂詞抽象理論來分析名稱相等的必然性問題。 對于句 2 即 “晨星等于暮星” 這個命題， 若我們的理解側重于名稱的意謂相同， 用從物命題表達即可； 若側重于指稱方式， 即涵義不同而意謂相同， 用從言命題表達即可。 現在， 我們用 τ 表示 “晨星”， 用 ξ 表示 “9” （τ 和 ξ 表示非嚴格指示詞）， 則句子 2 的謂詞抽象形態可以有如下幾種：

其中， （1） τ, ξ 均為從物狀態， （2） 中 τ 為從物狀態， ξ 為從言狀態， （3） 兩者恰好與 （2） 相反， （4） 為一般形態， 我們默認為是從言狀態。 引入謂詞抽象是為了區別內涵語境中從言和從物公式， 在外延語境中， 從言和從物的區別意義不大。 一旦進入內涵語境， 這種差別的意義就凸現出來了。 古人都知道晨星是晨星， 也知道暮星是暮星， 但可能不知道晨星是暮星。 對于前兩者， 古人知道任何一個對象都等于它自身這個道理，對于第三者， 古人不知道 “晨星” 這個名稱指稱的對象和 “暮星” 這個名稱指稱的對象是同一個事物。 發現晨星是暮星是一個天文學的發現。 現代人說古人不知道 “晨星是暮星” 時， 顯然是對這個句子作從言理解。

在這里， “知道” 表示為 “□”， 句子 2 用謂詞抽象可表示為兩個公式：

從物公式 11 表達的意思是兩個名稱所代表的對象同一， 說古人不知道這個道理， 這是有悖直覺的， 古人也不會做如此理解。 在這種情況下， 公式 11 表達是對象自身相等， 這種同一或相等是不隨可能世界改變而改變的， 因而， 公式 11 是成立的。

從言公式 12 表達的意思是相等的名稱指稱方式在某個可能世界是同一的， 說古人不知道 “晨星” 和“暮星” 的指稱方式相同， 這是符合直覺的。 兩個名稱相等， 并不代表它們的意謂在所有其他情況下都相同，它們的意謂隨著可能世界的變化而變化， 因而， 公式 12 不成立。

再回到句 1， 即 “x=y→□ （x=y）” 是否在模態邏輯中成立的問題。 引入謂詞抽象， 句 1 則有兩種表現方式， 一個是從言方式， 一個是從物方式。 若用 t1和 t2表示兩個項 （項 t1, t2指常元， 不一定為嚴格指示詞， 也可以為非嚴格指示詞）， 則分別表示為：

其中 x 和 y， 是變元， 可由常元進行替換。 已經知道， 模態謂詞邏輯關于相等有兩種系統， 一個是必然等同系統， 另一是偶然等同系統。 必然等同系統認為兩個事物相等則必然相等， 即自身同一具有必然性； 另一個認為是兩個事物相等但并不必然相等， 即自身同一不具有必然性。 那么， 句 1 所表達的關于相等的必然性可分析為如下幾種情況。 第一， 在必然等同系統中， 句 1 的從物方式即公式 14 成立。 句 1 的從言方式即公式13 還需要具體分析： 一方面， 若句 1 中等項涉及的是嚴格指示詞， 由于嚴格指示詞對謂詞抽象不敏感， 其從言句式和從物句式等價，[7]因而公式 13 依然成立； 另一方面， 若句 1 中等項涉及的是非嚴格指示詞， 則句 13不成立。 第二， 在偶然等同系統中， 這兩個式子都不成立， 根本就排除了相等問題的討論， 徹底回避了弗雷格相等難題， 當然這種面對難題的方式是不能令人滿意的。

可見， 關于兩個詞項相等， 若認為是兩個詞項的涵義相等， 可用謂詞抽象表達為從言形態， 在內涵語境中， 這種相等不具備必然性； 若認為是兩個詞項的意謂相等， 可表達為從物形態， 在內涵語境中， 這種相等具有必然性。 這兩種情況在引入謂詞抽象后， 都可以在邏輯上得到合適的處理， 產生困惑的根源在于弗雷格對內涵語境中的相等偏重于從言理解， 而忽略從物理解。 弗雷格提出涵義與意謂之分， 在哲學上給人諸多啟發， 但也容易給人一種錯覺， 那就是涵義和意謂似乎在邏輯中可以截然區分開來。 涵義即指稱方式， 屬于內涵， 反之， 意謂屬于外延。 在傳統模態邏輯中， 在語形層面， 勉強用量詞和模態詞結合來區分模態從言和從物狀態， 這樣， 完全看不出公式內涵和外延的區別； 在語義層面， 比如可能世界語義學， 僅僅用可能世界來表達內涵的東西， 這是不充分的。 這種截然二分的方式， 始終難以精確弗雷格關于名稱相等的疑問。 通過謂詞抽象分析發現， 在語形層面， 從言公式偏重指稱方式， 這有內涵的意味， 從物公式偏重指稱的對象， 這有外延的意味； 在語義層面， 通過謂詞抽象可直接穿透可能世界， 與可能世界配合可更靈活地在外延和內涵之間轉換。 因而， 抽象謂詞本身是一個兼帶內涵和外延意義的邏輯工具， 它表明內涵和外延在邏輯上并不是截然二分的東西。

接下來探討內涵語境中同一保真替換有效性問題。 這涉及命題的真值相等， 弗雷格認為命題的涵義是思想， 意謂是真值， 真值相同的命題在直接語境中可以保真替換， 但在間接語境中， 由于命題不具有通常的意謂， 所以不能保真替換。 我們同樣從外延和內涵兩方面著手方探究這個難題， 依然只考慮模態語境這一情況。 例如：

15. 9 必然大于 7

若要遵循弗雷格的本意， 我們只能認為這個句子所表達的命題 “9 大于 7” 是必然的， 這顯然是一種典型從言模態理解方式。 針對名稱 “9”， 卻可以有從言和從物兩種理解方式， 即：

但是由于 “9” 是嚴格指示詞， 其意謂不隨可能世界改變而改變， 這兩個公式都為真， 可以證明這兩個公式是等效的。 這說明， 謂詞抽象對嚴格指示詞是不敏感的。 已經知道句 5 “行星數目必然大于 7” 同樣有兩種理解方式。 考慮到 “行星數目等于 9”， 對句 15 進行替換可得到句 5， 則有如下情況。 第一種是對句 15 的從物形式句 16 進行替換， 得到從物句 9， 我們把這種替換稱為從物替換， 從真前提得到了真結論， 這種替換是沒有問題的。 第二種是對句 15 的從物形式句 16 進行替換， 得到從言形式句 10， 我們把這種替換稱為從言替換， 從真前提得到了假結論， 這種替換是不保真的。 但若句 5 中等項涉及的是嚴格指示詞， 這種替換依然是保真的。 第三種是對句 15 的從言形式句 17 進行替換， 得到從物形式句 9， 從真前提得到了真結論 ， 這種替換是沒有問題的。 第四種是對句 15 的從言形式句 17 進行替換， 得到從言形式句 10， 從真前提得到了假結論， 這種替換是不保真的。 但若句 5 中等項涉及的是嚴格指示詞， 這種替換依然是保真的。

對上述情況進行歸納， 則同一替換中需要考慮的因素有兩方面。 第一， 替換詞項是否為嚴格指示詞。 若替換詞項為嚴格指示詞， 則模態語境下同一替換是保真的。 嚴格指示詞和非嚴格指示詞的區分主要在于詞項的指稱方式不一樣， 可見指稱概念不僅僅是個外延概念， 還是一個重要的語義概念， 這又說明了在邏輯中，外延和內涵不是截然二分的。 第二， 進行替換的方式也是一個需要考慮的因素， 從物替換或從言替換所得到的結果是不一樣的。 所有模態語境下的從物替換都是保真的， 對于從言替換， 若替換詞是嚴格指示詞， 則該替換也是保真的。

由此可知， 同一保真替換在內涵語境中， 并非是不成立的， 若處理為從物替換， 即使是在內涵語境中，也是可保真替換的。 從言替換在內涵語境中， 可能不成立， 但若其詞項涉及的是嚴格指示詞， 則從言替換也是成立的。 弗雷格乃至后來受弗雷格所影響的人， 包括蒯因， 都把同一替換問題簡單化了。[8]對于同一保真替換， 需要考慮內涵語境這一個因素， 還需要區分從言和從物命題， 注意詞項的指稱方式， 包括嚴格指示詞和非嚴格指示詞的區別， 而不能籠統地說， 模態命題中的同一是不能保真替換的。

弗雷格還提到， 有些名稱只有涵義沒有意謂， 例如 “孫悟空” 這些詞項， 我們稱為空詞項。 引入空詞項之后， 使得相等問題更為復雜。 例如， 用 a 表示名稱 “齊天大圣”， b 表示名稱 “孫悟空”， 按照弗雷格的理論， a=b 還是一個真句子么？ 弗雷格的立場比較模糊： 一是拒絕面對這個問題。 弗雷格下面這段話清楚地表達了他的這一立場： “邏輯完善的語言 （概念文字） 應該滿足下列條件： 由已經引入的符號作為專名而合乎語法規則的構造起來的每一個表達式， 實際上也表示一個對象， 并且一個符號的意謂若不確定， 這個符號就不能作為一個專名引入”。二是即不肯定也不否定， 弗雷格舉了一個例子： “奧德賽在沉睡中被放到伊薩卡的岸上”?！皧W德賽” 是荷馬史詩中一個人物， 可能不存在， 弗雷格認為這個句子只有涵義而無意謂， 即這個句子沒有真值。 這個思想后被施特勞森加以闡發， 即著名的語義預設理論。顯然， 若 a 是 “齊天大圣”，b 是 “孫悟空”， 按照弗雷格第二種觀點， a=b 是一個無法判斷真假的句子， 它有涵義但無真值。弗雷格第一種方案是一種釜底抽薪式的方法， 回避問題從來就不是一個好建議， 第二種方案則超出了經典二值邏輯的范圍。 對于空詞項情況下 “相等” 難題， 弗雷格也沒有提出讓人滿意的方案。 這將要牽涉四個因素： 涵義、 意謂、 語境、 空詞項。 經典一階邏輯是不處理空詞項的， 但包含空詞項的推理大量地存在于我們日常生活中， 而這恰是一階邏輯和以一階邏輯為基礎的模態謂詞邏輯的短板。自由邏輯是一種處理空詞項的邏輯， 在自由邏輯的基礎上加入模態算子可構成自由模態邏輯。自由模態邏輯可涵蓋上述四個因素，最有可能對包含空詞項的 “相等” 問題做出合理解答， 我們應該把關于空詞項相等的問題所討論的范圍轉移到自由模態邏輯當中去。 對于空詞項 a 和等式 a=b， 與經典邏輯束手無策相比， 自由模態邏輯可有多種選擇，既可以放到正自由模態邏輯里去分析， 也可以放到負自由或中性自由模態邏輯里去分析。 每一種選擇都提供了一個系統的語形和語義框架， 進而可以對空詞項及其相等做出相應的刻畫。 限于篇幅， 此處就不再詳細討論。

四、 結語

現在， 對 “相等” 難題的三個方面， 給出我們的回答如下。

在模態語境里， 相對于模態謂詞邏輯必然等同系統而言， 相等的必然性可分解為如下幾種情況。 第一，專名相等， 視同為嚴格指示詞相等， 無論其從言形式還是從物形式， 都是必然相等的。 第二， 摹狀詞相等，視同為非嚴格指示詞相等， 這是弗雷格相等問題的主要困惑， 分為兩種情況： 其從物形式是必然相等的； 其從言形式不是必然的。 第三， 變元的相等， 可劃歸嚴格指示詞這種情況， 其相等是必然的。

弗雷格論及的同一保真替換， 在間接語境或內涵語境才會出問題。 這是因為既要考慮涵義還要考慮意謂， 而且其涵義和意謂還有可能會改變， 運用謂詞抽象對之進行分析， 同一保真替換可分為三種情況。 第一， 在所有情況下， 從物替換是保真的。 第二， 若等項涉及嚴格指示詞， 無論是從言替換還是從物替換都是保真的。 第三， 若等項涉及非嚴格指示詞， 則從言替換不保真。

關于空詞項及其相等的問題， 可以放到自由模態邏輯中加以考慮， 這同樣需要謂詞抽象這一工具。綜上所述， 弗雷格 “相等” 謎題涉及涵義、 意謂、 語境幾個因素。 謂詞抽象在語形層面， 既可以表達包含量詞的這一類特殊的模態公式的兩種模態， 還可以表達不含量詞的更一般的模態公式的兩種模態， 從而加強了模態謂詞邏輯形式語言的表達能力； 在語義層面， 它可以同時勾連指稱方式， 并與可能世界兼容， 這進一步完善了克里普克的模態語義理論。 謂詞抽象對諸如蘊涵、 否定等真值連接詞不敏感， 但對模態詞敏感，這一點正突出了謂詞抽象在內涵邏輯中的重要作用。 引入謂詞抽象這一工具， 可以穿透模態語境， 把涵義和意謂結合起來， 糾正外延和內涵截然二分這一錯誤傾向， 并對嚴格指示詞和非嚴格指示詞進行有效刻畫。 這樣， 關于 “相等” 問題的邏輯迷霧也就基本上消散了。

[參考文獻]

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