知識是智能行為的核心,以顯性形式體現的獲取知識、知識加工以及利用知識進行交流的能力,是人和其它動物的區別。任何對智能行為的研究,無論是理論上的或者是經驗上的,都有一個共同的出發點,即知識科學,主要研究知識的基本形式以及如何獲取和處理知識。而邏輯是處理知識科學的重要的工具。

知識在日常生活中發揮著非常重要的作用。事實上,每個人的行為都基于自己的知識。關于知識問題的思考已經由來己久,古希臘的哲學家就曾經問道:“我們究竟能夠知道什么?”“說一個人知道什么的意思是什么?”這屬于認識論的范疇,主要研究知識的不同定義、知識的基本形式屬性、外在主義和內在主義觀點之間的爭論,同時還面臨著懷疑論者的挑戰。柏拉圖將知識定義為“正當性得到證明的真信念”,欣迪卡則認為知識是“在可能性的邏輯空間中為真”,欣迪卡的主要目的在于用形式化的方法研究知識的本質屬性。德雷特斯克則將知識定義為“由可靠的相互關聯所支持的信念”等,但關于知識尚無統一的認識。知識的穩定性不只是作為單個主體或單個命題的孤立的特征,而應該在包括更多的認知態度、認知主體和豐富的認知行動的指令框架中進行解釋,知識的穩定性在于它能夠在復雜的認知環境中成功地得到運作。邏輯往往可以看作是通往知識的一座橋梁,同時也突顯了邏輯的重要作用。知識科學包括自然科學和社會科學,如物理、化學、計算機科學等。下面就針對這些具體的知識科學闡釋邏輯在知識研究中的重要作用。

19世紀的邏輯學家們所研究的歸納推理部分地涉及到經驗科學,可將其視為知識科學。但是,在20世紀末,邏輯發展成為數學的特殊分枝,即邏輯的數學轉向。

20世紀中期為“邏輯的黃金時期”:弗雷格\\(Gottlob Frege\\)在1893年的《概念文字》中發展了謂詞邏輯;羅素 \\(Russell\\)和 懷 特 海\\(Whitehead\\)在1910年至1913年出版了他們的三卷本的《數學原理》,以邏輯的方法重建了純數學的基礎;而哥德爾\\(Kurt Godel\\)證明了任意一個包括自然數在內的邏輯系統都是必然地不完全的\\(即,允許真值形式的邏輯系統在系統內是不可證明的\\)。這嚴重地打擊了邏輯學家們的積極性。盡管如此,仍然不能阻止邏輯學家們前進的步伐,隨后邏輯學家丘奇\\(Alonzo Church\\)發展了更有表達力的邏輯系統\\(例如組合邏輯和高階邏輯\\),塔斯基\\(Alfred Tarski\\)構造了最重要的現代邏輯,即獨立的語義理論。希爾伯特證明了協調性,主要是受數學的影響。拉姆齊描述了理論的作用,特別是經驗理論,主要是從語義學角度進行的研究。普謝溫茨基對科學理論的形式語義學方面的研究做出了巨大的貢獻。而斯尼德運用形式化機制對經典量子力學進行了分析。早期的邏輯論題和一般科學方法論是緊密結合在一起的,包括穆勒、皮爾士、塔斯基、卡爾納普、欣迪卡等。同時,邏輯和科學哲學之間也存在著密切的關系,當今邏輯也關注信息的一般結構和推理的多主體行為等論題。

一、邏輯

語義和語形之間的關系是邏輯、語言和計算機科學研究的核心。邏輯主要是對推理的研究,故邏輯學家既要研究推理行為也要研究推理結果,既研究推理的規范也研究對規范的刻畫,既研究推理的歸納論證,也研究推理的演繹論證。

邏輯學既與哲學、數學以及語言學關系密切,也與心理學、法學相互促進。邏輯對于科學理論的研究主要表現在以下幾個方面。

\\(1\\)句法。埃因霍溫的自動數學理論可應用于數學的實際計算機形式化中。\\(2\\)結構。在量子力學的邏輯研究中,運用到了希爾伯特空間“隱藏的變元”的結果。阿什比在討論有窮機器時就用到了句法理論,得出“相互同態的力是同構的”結果。\\(3\\)語義學。語義學在幾何學、語言學和機械“決定論”領域中都具有重要的作用。\\(4\\)語用學。欣迪卡的“博弈論語義學”具有廣泛的用途。

在數學和計算機程序中發揮著重要作用的語義關系是一種邏輯等價關系,在語形運算中試圖隨意刪除或者增加語義是不可能的。例如,邏輯定理的等價描述\\(例如“不存在最大的素數”和“存在有無窮多的素數”\\)實質上都可以看作是同一個定理,此時更看重的是推演或者邏輯蘊涵。兩個表達式是邏輯等價的,當且僅當每一個表達式都可以推出另一個表達式。語形轉換是弱蘊涵表達式,稱為可靠的轉換,但邏輯學家們更關注語形轉換的完備集,運用這種形式可以生成所有可能的蘊涵表達式。

可靠性和完全性是評價數理邏輯優劣的標準,轉換或者推理規則,也是計算機科學中的許多領域研究的重點。同時數學公理、語法或者特殊程序,在抽象層面上是完全的。在數學中的推理形式只能是可靠的推理或者演繹。

二、非演繹推理形式

在經驗科學中,絕大多數推理都不是演繹的。通過觀察而得到的推理理論通常不可能是可靠的,而嚴格地說結論可能是或然的。所以放棄可靠性或許會使推理變得更有用,但這樣就無法保證結論是必然真的。

事實上,非演繹推理是普遍存在的,在大多數情況下,非演繹推理時常是正確的?？梢?不可靠推理具有一定的作用,推理中對不正確的推理和\\(例如在觀察到10只白天鵝之后得出所有的天鵝都是黑色的\\)不可靠但可能是正確的推理\\(例如經過同樣的觀察推出所有天鵝都是白色的\\)進行區分。

在不可靠推理中存在有不同的形式:對于缺少前提的推理,可利用假設分析的方法,通過觀察概括出結論;另一種是對特殊對象的觀察行為做出解釋。概率是對不可靠推理的可靠性進行預測以確定其觀察所依賴的基礎的重要方法。

可以對哪些不可靠推理進行有意義的區分?如何根據演繹對每一個不可靠推理進行區分?對于任意的演繹推理,都可以區分出必要條件和充分條件嗎?歸納可靠性和演繹可靠性有哪些區別?這些問題是大多數邏輯學家所關心的中心論題。

在邏輯發展過程中,推理的主要形式究竟是哪一個?其主要特征是什么?通俗地說,推理處理的是形式論證,即從前提推出結論。根據前提和可接受的結論之間的關系,可以得到不同的推理形式。例如,如果增加新的知識之后,結論仍然是有效的,那么該論證就是演繹的。如果只允許演繹論證,那么該推理形式就是演繹的,演繹推理是不可廢止的\\(non-defeasible\\)。邏輯系統是特殊的形式化的推理形式。

邏輯的形式化有許多特殊的推理形式:例如,模態邏輯、時態邏輯、相干邏輯和直覺主義邏輯,其中每一種形式化都是一個確定的演繹推理。這些演繹邏輯并不能必然地確定哪一個論證是演繹有效的,哪一個論證不是演繹有效的。

另一方面,非演繹推理形式是可廢止的:盡管作為結論根據的前提不能被駁倒,但結論卻可能被新增的知識所駁倒。例如,論證“鳥通常會飛;X是鳥;因此X會飛”是非演繹的,因為X可能是一個企鵝。論證“在一生中每天太陽都升起;我確實不知道太陽在最后的某一天沒有升起;因此,太陽將在未來的每一天都升起”不是演繹的,因為如果太陽明天沒有升起,結論就是無效的,但前提卻是真的。關于X的論證稱為似然推理\\(plausible reasoning\\):關于一般情況和異常情況的推理。似然推理包含演繹推理:如果知道X是一個普通的鳥,該論證將是演繹有效的。這種似然推理稱為“超演繹的”\\(supra-deductive\\),或者稱之為準演繹的\\(quasi-deduc-tive\\)。另外一個準演繹推理就是反事實推理,或“假設分析”\\(what-if\\),即以虛假前提為開始。例如,論證“如果你在早晨不叫醒我,我將確信會錯過晨練”是一個反事實論證,因為前提和結論在預期的解釋中都是假的。如果確定環境條件已經發生了變化,這樣的論證用來說明將會發生什么樣的變化。

另外還有稱為“非演繹的”\\(a-deductive\\)的推理形式。上面的“太陽升起”的例子屬于歸納推理,非演繹的推理形式就是將特殊的觀察\\(也稱為證據\\)概括為一般的規則或者假說\\(hypotheses\\),要求前提和可接受的結論之間具有形式化定義的推理關系,這一點和演繹中的衍推相類似。

非演繹推理形式還包括溯因推理\\(abduction\\),該概念是由皮爾士\\(C.S.Peirce\\)提出來的,表示把某些證據作為解釋性的前提\\(即前提可從證據推演出來\\)。例如,“所有從袋子中取出來的豆都是白色的;這些豆是白色的;因此,這些豆是從該袋中取出來的”是一個溯因推理。近年來,溯因推理在邏輯程序研究領域比較流行,表示已經知道了一般的解釋之后,但并不能確定其前提是否是真的;溯因推理則可看作是前提缺失的假設分析。溯因推理和歸納推理可以相互補充:在特殊的情況下,如果已知前提和結論都成立,利用歸納推理可以推出一般的規則;而已知一般的規則和特殊結論,以及它的某些前提,溯因推理可推出特殊的前提。另外,在溯因推理和似然推理之間也存在有很強的關系:溯因推理可以回答“如果希望推出鳥會飛,就需要假設鳥X是一只普通的鳥”。

以上對推理的分類形式可用圖1表示。

【圖1】

三、似然推理

非單調推理也稱“似然推理”。單調性指隨著前提集的增加\\(或減少\\),結論集也隨著相應的增加\\(或減少\\)。換言之,單調性就是指如果在已知前提中增加一個新前提,那么結論仍然是有效的,該性質也稱為不可廢止性。任意非演繹推理形式都是可廢止的,故任意非演繹推理形式都是非單調的。非演繹推理形式中的非單調性在使用時需要進行某種限制,例如缺省推理\\(default reasoning\\)。

似然推理是“根據已知信息所進行的推理比演繹推理更優越”,比演繹推理更自由或者更可信。相應地,根據似然推理主體可接受的論證集\\(也稱為推理關系consequence rela-tion,可定義為L×L的子集,其中L為語言\\)可以分成演繹部分和似然部分。演繹部分對應的論證不包括某些特殊規則。

似然推理中的非單調推理類似于:從鳥可以推出會飛,但從鳥和企鵝就不能推出會飛。Kraus等人提出,通過允許例外的規則,除了單調性規則外,演繹推理還有其它性質。

一般地,命題演繹推理可以通過下面的規則刻畫:

在這些規則中,對應于有背景知識的隱性主體,αβ表示推理者存疑地接受從α到β的推理。另一方面, 表示經典演繹推理\\(關于同樣的背景知識\\)?？梢詫@些規則進行組合:例如,根據自返性和右弱性,每當α γ蘊涵α γ,即后承關系 是超經典的\\(supra-classical\\)。

Krau等人證明上面五條規則刻畫了演繹推理。存在等價規則集:例如,切割可以用下面的右并且進行替換,左或者可用右蘊涵替換。

這兩條規則顯然都是通過單調性———謹慎單調性推出的,特別地,利用似然推理,使前提得到了增強,這種似然推理可稱為偏好\\(preferential\\)推理,因為可以通過假設狀態間的偏好序來模型語義,其中的狀態為模型集,且規定αβ當且僅當每一個最大偏好狀態滿足α同時也滿足β\\(一個狀態滿足一個公式當且僅當它的所有模型滿足該公式\\)。通過減弱偏序狀態之間的偏好關系條件使得偏好推理變得更弱;這使得左或者規則無效,但其它的規則不變,該種推理稱為累積\\(cumulative\\)推理。切割和謹慎單調性可推出:如果αβ,那么α γ,當且僅當,α∧βγ,即似然推理可以在前提中得到累積。

據前可推出演繹推理者是有偏好的\\(對應于空偏好關系\\),偏好推理者是可累加的。通過對推理形式X和Y進行對比。如果可以構造,對每一X推理者,滿足規則Y的論證的唯一最大子集,這樣就可以將偏好推理歸約\\(reduction\\)為演繹推理。反之,單調性\\(如果γ α且γ/β,那么α/β\\)論證不是演繹判斷。

許多邏輯學家經過論證,得出邏輯是必然單調的,非單調性邏輯顯然是矛盾的。但是,基于數學推理性質的單調性和邏輯的單調性之間是有區別的。

Kraus等人利用演繹的元邏輯的推理關系對多種形式的非演繹推理進行了形式化。

例如謹慎單調性規則事實上是合理性假設\\(rationality postu-lates\\),需要被任意理性推理的主體類所滿足。這一點至關重要,他們構造的方法也可以作為分析其它形式推理的方法。

四、歸納和溯因推理

歸納是將特殊證據概括為一般規則的過程。簡單的歸納形式就是從樣本到總體的推理:觀察到Fs中有百分之Y是Gs;因此,\\(近似地\\)所有的Fs的百分之Y是Gs。

該論證模式和下面的推理非常類似:所有的觀察Fs是Gs;因此,所有Fs是Gs。

該歸納規則不需要利用實質蘊涵:樣本中所有對象都滿足P\\(y\\);因此,總體中所有對象都滿足P\\(y\\)。

這些歸納生成的公式存在有關鍵性的問題:通常地,在一般規則中所使用的謂詞P并沒有在觀察中顯性地給出。

下面談談假設概括\\(hypothesis generation\\)。

在科學哲學中,經常忽略假設概括。例如,在《猜想與反駁》\\(Conjectures and Refutations\\)一文中詳細地描述了這樣一種情況:希望驗證猜想,但卻無法回答在猜想開始的第一步是如何提出的。另外,如果希望主動地進行科學發現或者學習\\(在人工智能的子領域中稱為對機器學習的對象的研究\\),必須利用假設概括這條規則。假設概括并不是完全非理性的,且該問題轉化為:理性假設對什么樣的歸納進行限制才能假設概括呢?

事實上,美國哲學家Charles Sanders Peirce在1903年已經考慮到該問題。其推理的形式如下。觀察到了奇怪事情C:但是如果A是真的,C將當然是真的,因此,根據似然推理有:A是真的。

這樣,對A并不能進行溯因推理“如果A是真的,C理所當然是真的”[5]57。

Peirce稱該假設概括的過程是溯因推理\\(abduction\\),并將溯因推理定義為“解釋假設的形式化過程”,即“溯因推理純屬于構造某些可能的事實”。

現在的“溯因推理”具有多層含義,在哲學上,已經習慣上將溯因推理看作“關于最佳解釋的推理”。在人工智能領域中,溯因推理通常被視為從結果到原因的推理,或者從證據到解釋的推理,但并沒有做出概括。另一方面,歸納的目的是在個體進行觀察之后再做出概括。而在歸納論證模式中,同樣并未用原因來解釋結果。

Peirce認為溯因假設概括的邏輯形式可以簡化為“從C,A C,溯因A”或者,引入符號 表示溯因推理,“如果AC,那么C A”。利用Kraus等人的后承關系方法來對理性假說進行形式化表示假設概括。首先給一般的規則:

確證和證偽指如果β是可能的前提,已知觀察α和γ是建立在β\\(和α\\)上的預測,那么β無法通過觀察γ為真的規則得到確證,但可以通過觀察γ是假的得到證偽。

五、證實的歸納

前面的公理集主要關注的是歸納以及基于解釋推理的溯因,還有就是推理假說,可以通過觀察加以證實。該觀點是由亨普爾\\(Carl G.Hempel\\)最先提出,并給出推理的公理集\\(或者稱為充分條件\\)和證實的實質定義。

下面是亨普爾給出的充分條件,主要是對元語言進行了形式化的處理:

這些公理是合理的,如果證據太弱無法將不相容的公理排除———換言之,需要把觀察看作是完全性公理。

亨普爾對充分條件進行形式化處理的主要原因是為了驗證確證的實質定義,但并不能保證它們在任何含義下都是完全的。下面的理性公理集表示確證歸納相對于恰當的語義設計是完全的。

如前,不允許矛盾觀察\\(和亨普爾的不同\\)———一個弱衍推形式可以從預測右弱化推出,且將弱自返性變為獨立規則,同時增加了兩個新的規則。驗證\\(verification\\)指將預測γ增加到證實觀察α中推出前提β,強證實指的是任意γ都可被α所確證。右并,其基礎假定是觀察完全足以使所有的“在同向上的點”得到確證。左或可以看作是在解釋推理中所討論的對左弱化的一個變形。而左弱化指在確證情況下無效。左或是通過單獨觀察確證前提可以通過對析取進行弱化推出。

和公理相對應的語義是可證完全的,該語義是由Kraus等人通過對似然推理的偏好語義的變形得到的。事實上,關于確證歸納公理和在3部分中所考慮的公理具有緊密的聯系:例如,強證實和謹慎單調性完全等價。

不足之處在于,如果將右弱化和右增加進行組合將會導致該系統的坍塌,即任意的觀察都可以證實任意的假設。解釋假設卻可以進行任意增加,但并不必進行弱化;證實假設可以任意地弱化,但僅在確定條件下得到增強。為了證實假設概括的公式,使假設都得到解釋,并且能通過觀察得到證實。解釋和證實歸納之間的區別涉及到證實悖論。

六、結論

邏輯學有特定的學科范圍嗎?至少可從兩個方面來思考:一是方法論的,即邏輯學是關于信息表達和推理中普遍存在的模式;其二為以內容為導向的,即邏輯學是某種認知科學,并伴有與其經驗范圍間的某些特定聯系。也有的將邏輯學看作是一種研究“思想的規律”、語言和意義的“普遍語法規則”、全部可能本體論的柏拉圖全域、人類認知的基礎或者人類或機器所做的信息過程抽象的結構的科學等。

總之邏輯的推理形式除了演繹之外,還有非演繹的推理,這些推理也可以采用適當的方法進行形式化的處理。邏輯應該關注形式化的事情,比如語言和系統限制、多樣性的結構等。邏輯學主要部分包括表達力、演繹力和計算力等問題。同時邏輯也應該是一般的法則,包括語言與本體論的平衡、組合性、復雜性的保持、翻譯等內容,總之邏輯應該是一個多元的跨學科的專業。