一、貝葉斯主義與假說確證
關于經驗證據給予假說多大支持程度的考量是確證理論\\( confirmation theory\\) 研究的主要內容。
18 世紀英國數學家貝葉斯\\( Thomas Bayes\\) 提出并證明了著名的貝葉斯逆概定理，用于描述以新證據為條件來修改假說概率的過程。定量確證的進路正是源自貝葉斯等人的確證方案對于確證程度的量化分析。簡化版的貝葉斯定理可以寫作“P\\( h︱e\\) = P\\( e︱h\\) P\\( h\\) / P\\( e\\) ”，這個公式告訴我們怎樣依據特定的證據 e 來改變某一假說 h的驗前概率\\( prior probability\\) P\\( h\\) ，使之具有新的經過 修 改 的 驗 后 概 率 \\( posterior probability \\)P\\( h︱e\\) 。而根據貝葉斯定理來確定假說 h 相對于證據 e 的條件概率 P\\( h︱e\\) 則被稱為貝葉斯條件化。由此，我們可以這樣來刻畫假說的確證: 證據 e 確證了假說 h，當且僅當 P\\( h︱e\\) ＞ P\\( h\\) 。
也就是說，h 相對于 e 的確證度就是 P\\( h︱e\\) 與P\\( h\\) 之間的差量。在這里我們可以看到，貝葉斯確證理論是基于兩個基本的假定的。其一是假定確證函項 C\\( h，e\\) 是一個概率函項 P\\( h︱e\\) 。其二是假定驗前概率到驗后概率的轉變是通過貝葉斯條件化來實現的。
若要把貝葉斯定理有意義地用于假說的檢驗，競爭假說至少要有兩個以上。為了簡便起見，下面的討論也就只考察兩個競爭假說的情形，于是貝葉斯定理可以相應地寫作。
P\\( h1︱e\\) = P\\( e︱h1\\) P\\( h1\\) / P\\( e︱h1\\) P\\( h1\\) + P\\( e︱h2\\) P\\( h2\\)在此處，h1 是受檢假說，h2 是唯一與之競爭的假說?！罢堊⒁?，在一般情況下，h1 和 h2 之間的關系并不等于 h 和瓙 h 之間的關系; h 和瓙 h 之間具有邏輯的和無條件的互斥性和窮舉性，而 h1 和h2 之間的互斥性和窮舉性卻是有條件的，即相對于一定的知識背景，這知識背景主要地是由兩個競爭假設即 h1 和 h2 出現于其中的特定時期和特定領域來決定的?！?/p>
假設張三被告知一個袋子里的 100 個小球全都是黑色的，但張三卻沒親眼見過任何一個小球。
現在張三想要檢驗這個全稱概括的真偽。相關的背景知識是，張三知道這袋小球是從某家商店買來的，而這家商店所賣的 100 個一袋的袋裝小球只有兩種類型，一種就是全都是黑色的，另一種是雜色的，其中只有 20% 的小球是黑色的。如果張三從袋子中抽出一個小球，發現是黑色，這對他的看法應該會有怎樣的影響呢?
在這里，h1 表示袋子里的小球都是黑色的，h2表示袋子里的小球并非都是黑色的，e 表示抽出了一個黑球。在張三還沒著手檢驗之前，P\\( h1\\) 和P\\( h2\\) 都是一樣的，均為 0． 5，而 h1 對 e 的預測度P\\( e︱h1\\) 是 1，h2 對 e 的預測度 P\\( e︱h2\\) 是 0． 2。
在抽出了第一個球是黑球的情況下。
P\\( h1︱e\\) = \\( 1 × 0． 5\\) ÷ ［\\( 1 × 0． 5\\) + \\( 0． 2 × 0． 5\\) ］= 0． 83顯然，h1 的可能性提升了不少。如果把第一次抽得的小球放回袋里并搖勻袋里的小球，然后再進行第二次抽球，并且第二次抽到的也是黑球，那么，若以 0． 83 作為新的驗前概率的值，新的驗后概率的值。
P\\( h1︱e\\) = \\( 1 × 0． 83\\) ÷ ［\\( 1 × 0． 83\\) + \\( 0． 2 × 0． 17\\) ］= 0． 96上述的例子展示了貝葉斯主義如何刻畫最為一般的確證模式，即正面事例對全稱的科學定律的確證效應。實際上，貝葉斯主義與證偽主義的觀點也是相容的，也能刻畫負面證據對假說的否證效應。比如說，張三從袋子里抽出了一個白球，那么根據相關的背景知識，顯然 P\\( e︱h1\\) 就變為0 了，因為根據 h1，袋子里是不可能裝有非黑色的小球的。這樣一來，P\\( h1︱e\\) = \\( 0 × 0． 5\\) ÷ ［\\( 0 × 0． 5\\) + \\( 0． 2 ×0． 5\\) ］ = 0 或 P \\( h1︱e\\) = \\( 0 × 0． 83 \\) ÷ ［\\( 0 ×0. 83\\) + \\( 0． 2 × 0． 17\\) ］= 0也就是說，無論在檢驗的什么階段，也無論受檢假說的確證程度有多高，受檢假說始終面臨被證偽的可能性，對于這一點，貝葉斯確證理論也能有所反映。
此外，貝葉斯主義還可以較好地處理傳統的“假說 － 演繹”檢驗方法所面對的一個著名的難題即迪昂問題\\( Duhem’s Problem\\) 。在觀測證據否證受檢假說及其輔助假說的合取式的情況下，貝葉斯主義能提供一套方法計算出觀測證據分別對受檢假說和它的輔助假說的支持程度，從而在此基礎上確定那個或哪些假說應該被拋棄或修改。
至此，我們大致介紹了貝葉斯主義作為確證理論的主要功能和優點，下面我們來看看貝葉斯確證理論的某些局限。
二、作為確證函項的概率函項與概率解釋理論的相關問題
根據貝葉斯確證理論的第一個假定，確證函項是一個概率函項。我們知道，由于對貝葉斯定理中的概率的不同解釋導致了貝葉斯主義內部的分歧，從而形成了邏輯貝葉斯主義與主觀貝葉斯主義兩個不同的派別，前者主張為概率尋找先驗的或邏輯的基礎，后者則主張為概率尋找私人的或主觀的基礎。
邏輯解釋的基本思路是，概率是證據與結論之間的一種邏輯關系。這種解釋認為，只要是具備正常理性能力的個人，在面臨同樣證據的前提下，他們對于某個特定的預測或假說都會持有同樣的置信度，概率即合理置信度\\( degree of rationalbelief\\) 。換句話說，給定假說 h 和證據 e，h 相對于e 只有一個概率值。根據邏輯解釋，人們是先通過確定某些命題之間的等可能性進而確定其他命題的概率的，而確定等可能性的依據則是無差別原則。但現已為人所知的是，邏輯解釋賴以確定基本概率的無差別原則會導致悖論?！捌湓蛟谟?，無差別原則的根據是主觀認識上的無差別，如果不加限制，就會有很強的主觀任意性?！?/p>
主觀解釋派認為，概率所代表的假說 h 與證據 e 之間的關系不是純邏輯關系，概率是對特定個人的置信度\\( degree of belief\\) 的測度，概率值僅僅代表一種主觀置信度，這種置信度是私人的。
只要某人的置信度是一個合適的數值，置信度可以是多樣的。然而，主觀解釋還是規定，合宜的置信度數值要以滿足概率演算的規則為前提，也只有這樣，個人的置信度才是一貫的\\( coherent\\) 。顯然，這也是一種邏輯要求。
主觀解釋派的開創者拉姆齊\\( Frank Ｒamsey\\) 和德·菲耐蒂\\( Brunode Finetti\\) 把某人在就特定事件打賭時所愿意付出的賭注跟那局賭博的賭注總額的比率即賭商\\( betting quotient\\) 視作這個人對于該事件的置信度，以此為出發點推導出: 一個人的置信度是合理的，就必須滿足標準的數學概率論公理。
在貝葉斯主義的框架內，由于假定了確證函項是一個概率函項，所以全稱的科學定律的確證其實面臨著問題。
全稱的科學定律會涉及潛在無限的對象集合，波普爾\\( Karl Popper\\) 就斷言這樣一個定律的驗前概率為零。讓我們用 u 來表示一個全稱的科學定律。
因為 P\\( u\\) =0，所以通過貝葉斯定理來計算的驗后概率 P\\( u︱e\\) = P\\( e︱u\\) P\\( u\\) / P\\( e\\) =0。由于貝葉斯確證理論是假定確證函項是滿足標準的數學概率論公理的，亦即確證函項是一個概率函項，因此在這里就是 C\\( u，e\\) = P\\( u︱e\\) ，也就是說，對貝葉斯主義者而言，對于任何證據 e，確證函項C\\( u，e\\) = 0。這意味著全稱的科學定律總是確證度為零，而無論證據對其提供怎樣的支持。波普爾認為這是很荒謬的，他說，貝葉斯主義者“不曾考慮到以下可能性: 我們可以從經驗中越來越多地學到普遍定律，即便沒有使它們的概率有所增加; 亦即我們可以越來越好地檢驗與確認\\( corrob-orate\\) 它們中的一部分從而增加其確認度，但并不改變其概率，而使概率值保持為零?！?/p>
因此，波普爾認為顯而易見的是，在科學中隨處可見的普遍定律是能夠得到肯定性的確證的，因而他拒斥貝葉斯確證理論的假定“C\\( u，e\\) = P\\( u︱e\\) ”。
以上的論點主要取決于任何全稱的科學定律u 的概率為零，即 P\\( u\\) = 0。這一論斷是與概率解釋密切相關的，波普爾當年提出這個論斷的時候，他接受的是邏輯解釋。根據邏輯解釋，要使用貝葉斯方法，我們必須把驗前的無知定量化。如此一來，“看起來似乎必然是這樣，我們應把某個領域的所有可能的假說都列出來，并且在它們之間分配概率，也許應當運用無差別原則賦予每種假說同樣的概率?？墒?，這樣一張清單從什么地方開始呢? 也許可以充分地認為，在任何領域中可能的假說的數目都是無限的，而這將導致每個假說的概率為零，并且貝葉斯游戲無法開始。如果所有 理 論 都 具 有 零 概 率，那 么，波 普 爾 就 贏了?！?/p>
然而，后來已經有一些學者證明了可以給全稱的科學定律賦予非零的邏輯概率?？墒?，我們也知道，概率的邏輯解釋畢竟會導致無差別原則悖論。
“主觀貝葉斯主義者論證說，無論把零概率賦予所有假說和理論的論證多么有力，實際情況都并非是: 一般人尤其是科學家會把零概率賦予得到了充分確證的理論?！凑账麄兊难芯?，科學家們把許多定律當作是理所當然的。天文學家在應用光的折射定律時以及那些從事空間項目的科學家們在運用牛頓定律時，都毫無疑慮，這證明他們賦予了那些定律即使不是等于 1、也是接近于1 的概率?！?/p>
然而，需要指出的是，即便實際的情況真的可能如此，但對于主觀解釋，在學理上，波普爾的論點也是有效的，因為概率是作為賭商被引入的。比如說，令 u = 所有渡鴉都是黑的，并假定張三被迫使就 u 是否為真進行打賭。張三永遠也不能贏得打賭，因為“所有渡鴉都是黑的”
永遠也不能得到確定無疑的認可。然而，只要有一只不是黑色的渡鴉碰巧被觀察到，張三就會賭輸。這樣一來，對張三而言，唯一可以合理地接納的賭商就是零，這其實也可以被看作是對這場賭局的一種拒絕。換句話說，基于大棄賭論證，如果張三采納了任何非零的賭商，無論賭商是多么的小，那么他只會輸錢，但永遠也不能贏得分毫。這表明，在主觀解釋之下，如果我們引入賭商作為概率，那么，對于任何全稱的科學定律 u，理論上我們必定會有 P\\( u\\) =0。既然對于任何全稱的科學定律 u，P\\( u\\) = 0，所以波普爾的論證的余下部分顯然還是可以被認可的。不過，這個論證也并不能完全反駁主觀貝葉斯主義。我們可以把它看作是對主觀貝葉斯主義的有效應用領域所附加的一個條件。也就是說，在所涉及的假說是單稱陳述而非全稱陳述的情況下，我們才能有效運用主觀貝葉斯確證理論。
三、貝葉斯條件化與理論框架的確定性問題
根據貝葉斯確證理論的第二個假定，概率的更新是通過貝葉斯條件化進行的。對貝葉斯主義者而言，初始概率只能依照貝葉斯條件化作出改變，因而某個理論框架在此已是被隱含地接受了的，因為貝葉斯主義者難免要把他們最初的概率建基于某個理論框架之上。只要這個理論框架成立，貝葉斯主義者的計算會給出合理的結果，但是如果該理論框架在一個特定的事例中不再成立的話，那么同類型的計算就會給出完全不恰當的結果。因此，英國哲學家吉利斯\\( Donald Gillies\\) 指出，貝葉斯主義可以被有效地運用，僅當我們是在這樣一種情況下，即存在著一個確定并已知的理論框架，我們可以合理地設想這一框架在研究的過程中是不會改變的。
為了說明這一點，吉利斯對經典統計學家奈曼 \\( Jerzy Neyman \\) 的 一 項 研 究 進 行 了 考察。
這是奈曼對幼蟲在試驗田的樣方中的分布的研究，隨著研究的深入，之后的統計檢驗的結果使他放棄了最初的假定并提出了一個更好的模型，而這個模型是基于一個不同的假定的。
吉利斯認為，在貝葉斯主義的框架內是很難產生這種推理模式的，其獲得成果的關鍵在于運用了經典統計學所使用的檢驗方法論。奈曼的研究的具體情況如下。
害蟲防治的問題導致了關于幼蟲在小樣方中的分布的研究。一片種植了某類作物的試驗田被分成了若干塊小樣方，然后點算在每塊樣方中所發現的所有幼蟲。各個樣方中的幼蟲數量自然是有相當大的變化的。奈曼想找出一個數學模型來說明這種變化。他想到的第一個模型是泊松分布，其參數 λ 具有某個數值。這大致相當于假定幼蟲在整片田里是隨機分布的。這看起來是一個非常似真的假說，而奈曼本人也明確地表示這是由他的直覺所強烈暗示的。其實奈曼之前也曾經在涉及細菌在培養皿中的分布這個十分類似的問題上使用過相同的假說，并且取得了相當大的成功。盡管如此，奈曼還是遵循經典統計學方法論的做法，將當前這個關于泊松分布的假說訴諸一連串檢驗。奈曼實施了卡方檢驗，一共做了五次試驗，只有一次檢驗結果是確證該假說的。依照這些結果，這個關于泊松分布的假說無疑是不正確的。毫無疑問，幼蟲的實際分布現象與數學模型所假定的機制之間似乎存在著非常大的差異。
在奈曼試圖找出一個更好的新假說去描述幼蟲的分布的過程中，他運用了從該領域的專家貝爾博士\\( Geoffrey Beall\\) 那里獲得的關于幼蟲的背景知識。這促使他設想幼蟲會在衣蛾產卵的地點周圍成堆地分布。衣蛾產卵的地點會服從泊松分布，而幼蟲本身則不然。奈曼想出了一個針對這種情況的數學模型，從而得出的結論是，幼蟲的分布情況是服從他所提出的“A 型分布”的。接下來，奈曼像之前那樣使用相同的數據再次進行了五次卡方檢驗，所有的檢驗都確證了假說。顯然，奈曼的成功表明了經典統計學的優點。奈曼本人指出，在這個事例中，為了使被觀察到的頻率與所預測的頻率相一致，對數學模型作出調整是極其重要的。此外，奈曼對自己新提出的 A 型分布絕非是自以為是的，他認為 A 型分布像泊松分布一樣也是有其局限性的。事實上，他表示，有些生物\\( 比如說介殼蟲\\) 在其棲息地上單位區域的分布并不服從 A 型分布。一項研究揭示了支配這些生物的分布的變化過程是比所描述的要復雜得多的，因此，如果期望對此能有一種統計學上的處理方式，那么必然要付出新的努力去構造一個合適的數學模型。
吉利斯不認為貝葉斯派統計學家能像經典統計學家奈曼那樣成功地實施這項研究。他的分析，貝葉斯主義者會以同樣的方式開始研究，亦即提出一組可能的假說 Hλ，其中 0 ＜ λ ＜ ∞。在此，Hλ 正是具有參數 λ 的泊松分布。接下來的步驟就是設定一個驗前概率分布 p\\( λ\\) ，用以表征貝葉斯派統計學家對于各個假說的驗前概率。p\\( λ\\) 會根據證據 e 轉變為驗后分布 p\\( λ︱e\\) 。然而，我們難以看出所有這些借助貝葉斯條件化的概率轉變是如何能催生出問題的解決方案即 A 型分布的。貝葉斯主義的運作機制所能做到的似乎僅僅是改變統計學家對于 λ 的特定取值的概率。這也恰恰說明了貝葉斯主義有賴于理論框架的確定性。在研究的開始階段，理論框架是關于泊松分布的假定。如果這個框架是恰當的，就像關于培養皿中的細菌的例子那樣，那么貝葉斯主義可以令人滿意地處理這個問題。然而，這個理論框架對于田地里的幼蟲的例子是不恰當的。理論框架不得不由關于泊松分布的假定轉變為關于 A 型分布的假定，因而貝葉斯條件化的步驟不能應對這樣的一種信念轉變。對此，貝葉斯主義者可以提出反駁，說最初的一組可能假說就應該把泊松分布和 A 型分布都包括在內。如果能這樣做的話，貝葉斯條件化就能很好地處理這個問題。然而，這個建議的困難在于，正如前面已經指出的，奈曼只是在關于泊松分布的假定遭受一連串卡方檢驗的反駁之后才思考其 A 型分布的。在研究的開始階段，奈曼肯定是沒有把 A 型分布的可能性考慮在內的。事實上，A 型分布就不曾出現在奈曼開展研究之前的概率論和統計學的文獻中。若堅持要為貝葉斯主義辯解，也許還可以說，在研究開始時，對問題進行恰當的分析有機會在這個階段就能引入 A 型分布。吉利斯相當懷疑這種可能性究竟能有多大，他讓我們可以這樣來設想一下。相應于這種進路的方法論，對貝葉斯派統計學家來說，就是在一開始就對問題作冗長的分析、咨詢相關領域的專家以及引入所有可能有關的各種各樣的分布。盡管貝爾博士的看法催生了 A 型分布，但由于專家的意見往往會不盡一致，所以其他專家的看法也許會催生其他可能的分布，比如說 B型分布、C 型分布、D 型分布等等。此外，除了 A型分布，其他分布有時候對于這類問題而言是必要的，就像奈曼關于介殼蟲的分布的討論所表明的那樣。接下來，貝葉斯主義者就可以確定他對于所有這些假說的驗前概率的分布，然后以此開展進一步的研究。然而這樣一種進路經常被證明是完全浪費時間的。因為貝葉斯主義取決于理論框架的確定性，所以貝葉斯派統計學家面臨著一個困境。要么他們必須在研究的最開始階段就考慮一整系列可能的假說，要么他們必須承擔風險，有可能永遠得不出那個構成問題解決方法的假說。他們的困境正是來自于貝葉斯主義的本質，即信念的轉變只限于通過貝葉斯條件化來完成。
對此，吉利斯指出，僅僅借助貝葉斯條件化來對驗前概率函項作出改變的方案是太保守了，為了取得進步，在必要的時候，對驗前概率函項作出比之前所設想的要劇烈得多的改變也是可取的。
誠然，吉利斯對貝葉斯進路的這一批評是合情合理的?！爸怀姓J一種改變信念的方式即貝葉斯條件化，這等于否認任何信念系統的整體改變，而這種整體性改變無論對于科學家還是普通人是時常發生的，科學進步和個人進步往往是在這種劇烈的信念改變中取得的?！?/p>
總之，要想恰當地運用貝葉斯主義，就要確保在依據證據作出概率轉變的過程中所假定的理論框架是不變的。否則，不管在什么階段，只要這個框架發生了變化，都會使得概率不是根據貝葉斯定理和貝葉斯條件化來轉變的。
但這也可被視為貝葉斯主義在假說確證方面的局限。
參考文獻:
［1］陳曉平． 貝葉斯方法與科學合理性［M］． 北京: 人民出版社，2010．
［2］張大松． 科學確證的邏輯與方法論［M］． 武漢: 武漢出版社，1999．
［3］Popper，K． Ｒ． \\( 1959\\) ，The Logic of Scientific Discovery［M］． Ｒoutledge，2002．
［4］［英］查爾默斯． 科學究竟是什么［M］． 魯旭東譯． 北京:商務印書館，2011．
